Giáo án và PPT Toán 11 kết nối Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu và trả lời câu hỏi:

Trạm vũ trụ Quốc tế ISS (tên Tiếng Anh: International Space Station) nằm trong quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất khoảng 400 km (H.1.1). Nếu trạm mặt đất theo dõi được trạm vũ trụ ISS khi nó nằm trong góc 45° ở tâm của quỹ đạo tròn này phía trên ăng-ten theo dõi, thì trạm vũ trụ ISS đã di chuyển được bao nhiêu kilômét trong khi nó đang được trạm mặt đất theo dõi? Giả sử rằng bán kính của Trái Đất là 6 400 km. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. GÓC LƯỢNG GIÁC

a) Khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác.

Hoạt động 1: Góc lượng giác

GV cho học sinh thảo luận và thực hiện hoạt động 1.

GV đưa ra câu hỏi:

+ Với những điểm ta vừa học trên, thì mỗi góc lượng giác được xác định bởi những yếu tố nào?

Sản phẩm dự kiến:

a) Phải quay kim phút một khoảng bằng vòng tròn.

b) Phải quay kim phút một khoảng bằng vòng tròn.

c) Có 2 cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12, đó là quay ngược chiều kim đồng hồ và quay theo chiều quay của kim đồng hồ.

Kết luận:

Trong mặt phẳng, cho hai tia Ou, Ov. Xét tia Om cùng nằm trong mặt phẳng này. Nếu tia Om quay quanh điểm O, theo một chiều nhất định từ Ou đến Ov, thì ta nói nó quét một góc lượng giác với tia đầu Ou, tia cuối Ov và kí hiệu là (Ou, Ov).

Quy ước:

- Chiều quy ngược với chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương, chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.

- Số đo của góc lượng giác:

Nếu tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng ta nói tia Om quay góc , quay đúng 2 vòng ta nói nó quay góc ; quay theo chiều âm nửa vòng ta nói nó quay góc , quay theo chiều âm 1,5 vòng ta nói nó quay góc ,…..

- Khi tia Om quay góc thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo , Số đo lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov được kí hiệu là

Kết luận:

Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo góc của nó.

Chú ý:

Cho hai tia Ou, Ov có vô số góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov. Mỗi góc lượng giác như thế đều kí hiệu là (Ou, Ov).

Số đo của các góc lượng giác này sai khác nhau một bội nguyên của .

Ví dụ 1: (SGK – tr.7).

Lời giải: (SGK – tr.7).

Luyện tập 1:

Ta có:

- Góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov, quay theo chiều dương có số đo là

- Góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov, quay theo chiều âm có số đo là

b) Hệ thức Chasles

Hoạt động 2: 

GV cho học sinh thảo luận, thực hiện hoạt động 2 và rút ra kết luận về hệ thức Chasles

GV đưa ra câu hỏi:

+ Nếu có 3 tia bất kì Ox, Ou, Ov và dựa vào hệ thức Chasles thì ta có thể tính toán được số đo của (Ou, Ov) hay không?

Sản phẩm dự kiến:

a) Quan sát Hình 1.5 ta có:

b)  Ta có:

Lại có:

Vậy tồn tại một số nguyên để .

Hệ thức Chasles:

Với ba tia Ou, Ov, Ow bất kì, ta có:

Nhận xét:

Từ hệ thức Chasles, ta suy ra: Với ba tia tùy ý Ox, Ou, Ov ta có:

Hệ t thực này đống vai trò quan trọng trong việc tính toán số đo của góc lượng giác.

Ví dụ 2.

Hướng dẫn giải (SGK – tr.8).

Luyện tập 2

Số đo của các góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov là:

Vậy các góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là

2. ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ ĐỘ DÀI CUNG TRÒN

a) Đơn vị đo góc và cung tròn

Hoạt động 3: 

GV yêu cầu học sinh nhắc về đơn vị dùng để đo góc và quy đổi từ độ sang phút.

GV đưa ra câu hỏi:

+ Hãy nêu công thức tính độ dài đường tròn?

Sản phẩm dự kiến:

- Đơn vị dùng để đo góc là: Độ.

- Góc góc bẹt.

- Đơn vị độ được chia thành những đơn vị nhỏ hơn:

Đơn vị rađian: Cho đường tròn (O) tâm O, bán kính R và một cung AB trên (O)

Ta nói cung tròn AB có số đo bằng 1 rađian nếu độ dài của nó đúng bằng bán kính R. Khi đó ta cũng nói rằng góc AOB có số đo bằng 1 rađian và viết:

.

Quan hệ giữa độ và rađian:

+ Công thức tính độ dài đường tròn .

+ Độ dài đường tròn là nên nó có số đo là .

+ .

Công thức:

và

Chú ý:

Khi viết một số đo của một góc theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ rad sau số đo. 

Chẳng hạn góc được hiểu là .

Ví dụ 3: (SGK – tr.9).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.9).

Luyện tập 3:

a) Đổi từ độ sang rađian:

b) Đổi từ rađian sang độ:

Chú ý:

b) Độ dài cung tròn.

Hoạt động 3:

GV cho học sinh thảo luận, thực hiện hoạt động 3 và xây dựng công thức tính độ dài của cung tròn.

Sản phẩm dự kiến:

a) Độ dài cung tròn có số đo bằng 1 rađian là .

b) Độ dài của một cung tròn có số đo rad là .

Công thức:

Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo rad thì có độ dài .

Ví dụ 4: (SGK – tr.9).

Hướng dẫn giải: (SGK – tr.9).

Vận dụng 1:

Bán kính quỹ đạo của trạm vũ trụ quốc tế là

Đổi

Vậy trạm ISS đã di chuyển một quãng đường có độ dài là:

.

3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC

a) Đường tròn lượng giác

Hoạt động 4:

GV cho học sinh thảo luận, thực hiện hoạt động 4 

Sản phẩm dự kiến:

a) Ta có =

Điểm M trên đường tròn sao cho = được xác định như trên hình vẽ dưới đây:

b) Ta có: sđ(OA, ON) =

Điểm N trên đường tròn sao cho được xác định như trên hình vẽ dưới đây:

Kết luận:

- Đường tròn lượng giác là đường có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 1, được định hướng và lấy điểm làm điểm gốc của đường tròn.

- Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo (độ hoặc rađian) là điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho .

Ví dụ 5: (SGK – tr.10).

Hướng dẫn giải: (SKG – tr.10).

Luyện tập 4

Ta có: , điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng được xác định trong hình dưới đây:

Ta có: , điểm N trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng được xác định trong hình dưới đây:

b) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác

Hoạt động 5: 

GV yêu cầu học sinh nhắc lại khái niệm các giá trị lượng giác và thực hiện hoạt động 5

Sản phẩm dự kiến:

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Khi đó:

+ sin của góc là tung độ của điểm , kí hiệu là

+ côsin của góc là hoành độ của x₀ của điểm M, kí hiệu là

+ Khi (hay là ), tang của là  , kí hiệu là ;

+ Khi và (hay ), côtang của là , kí hiệu là

. 

Kết luận

+ Hoành độ của điểm được gọi là côsin của , kí hiệu .

+ Tung độ y của điểm được gọi là sin của , kí hiệu là .

+ Nếu , tỉ số được gọi là tang của kí hiệu là .

+ Nếu , tỉ số được gọi là côtang của , kí hiệu là .

+ Các giá trị được gọi là các giá trị lượng giác của .

Chú ý

a) Ta gọi trục tung là trục ; trục hoành là trục .

b) Từ định nghĩa ta suy ra:

+ các định với mọi giá trị của và ta có:

.

+ xác định khi

+ xác định khi .

+ Dấu của các giá trị lượng giác của một góc lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.

Ví dụ 6: (SGK – tr.12).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.12).

Luyện tập 5:

a)  Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng được xác định trong hình sau:

b) Ta có:

c) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

d) Sử dụng máy tính cầm tay để đổi số đo góc và tìm giá trị lượng giác của góc

Ví dụ 7: (SGK – tr.13).

Ví dụ 8: (SGK – tr.13).

Luyện tập 6:

a) Tính: ;

Dùng máy tính cầm tay fx570VN PLUS.

+ Để tính ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện .

Vậy .

+ Để tính ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện .

Vậy .

b) Đổi sang rađian ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện

Vậy 179°23'30" ≈ 3,130975234 (rad).

c) Đổi rad sang độ ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện

Vậy

4. QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

a) Các công thức lượng giác cơ bản

Hoạt động 6:

GV cho học sinh thảo luận, thực hiện hoạt động 6 và xử lí bài toán

+ Đường tròn lượng giác tâm 0 với điểm A(1; 0) là tâm. Có điểm M(x,y) năm trên đường tròn.

Sản phẩm dự kiến:

a) Theo định nghĩa, ta có: 

Do đó,

Từ hình vẽ ta thấy (theo định lý Pythagore và đường tròn đơn vị có bán kính ).

Vậy .

b) Theo định nghĩa với:

 , ta có:

=>

Do đó,

Vậy .

Hệ thức cơ bản:

Ví dụ 9: (SGK – tr.14).

Hướng dẫn giải: (SGK – tr.14).

Luyện tập 7:

Vì nên . Mặt khác:

ta có:

          .

Do đó, và 

.

b) Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt.

Hoạt động 7:

a) Giả sử .

Từ Hình 1.12a, ta thấy hai điểm và đối xứng với nhau qua trục hoành , do đó ta có.

Theo định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, ta lại có:

và . 

Suy ra .

và .

Suy ra hay .

b) Ta có: 

; 

Vậy

Góc đối nhau và

Góc bù nhau ( và )

Góc phụ nhau ( và )

Góc hơn kém ( và )

Chú ý (SGK – tr.15)

Nhờ các công thức trên, ta có thể đưa việc tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác bất kì về việc tính giá trị lượng giác của góc với .

Ví dụ 10: (SGK – tr.15).

Hướng dẫn giải: (SGK – tr.15).

Luyện tập 8:

a)

                          .

b)

                       .

Vận dụng 2.

a) Thời điểm 6 giờ sáng, tức t = 6, khi đó B(6) = .

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 6 giờ sáng là 87 mmHg.

b) Thời điểm 10 giờ 30 phút sáng, tức , khi đó: 

B(10,5) =

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 10 giờ 30 phút sáng xấp xỉ mmHg.

c) Thời điểm 12 giờ trưa, tức , khi đó =

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 12 giờ trưa là 80 mmHg.

d) Thời điểm 8 giờ tối hay 20 giờ, tức , khi đó:

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 8 giờ tối là .

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Từ nội dung bài học, GV yêu cầu HS hoàn thành các bài tập trắc nghiệm sau:

Câu 1: Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về “đường tròn lượng giác”?

A. Mỗi đường tròn là một đường tròn lượng giác.

B. Mỗi đường tròn có bán kính R = 1 là một đường tròn lượng giác.

C. Mỗi đường tròn có bán kính R = 1, tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.

D. Mỗi đường tròn định hướng có bán kính R = 1, tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.

Câu 2: Tính giá trị biểu thức P = tan10^o.tan20^o.tan30^o.....tan80^o

A. P = 0   B. P = 1   C. P = 4   D. P = 8

Câu 3: Biết A, B, C là các góc của tam giác ABC, mệnh đề nào sau đây đúng:

A. sin(A+C) = -sinB     B. cos(A+C) = -cosB.

C. tan(A+C) = tanB     D. cot(A+C) = cotB.

Câu 4: Cho P = sin(π+α).cos(π−α) và Q = sin(−α).cos(+α). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. P+Q = 0   B. P+Q = -1   C. P+Q = 1   D. P+Q = 2

 Câu 5: Tính độ dài l của cung trên đường tròn có bán kính bằng 20cm và số đo .

A. l = 3,93cm.   B. l = 2,94cm.   C. l = 3,39cm   D. l = 1,49cm

 Sản phẩm dự ki

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

Câu 1: Một máy kéo nông nghiệp với bánh xe sau có đường kính là 184 cm, bánh xe trước có đường kính là 92 cm, xe chuyển động với vận tốc không đổi trên một đoạn đường thẳng. Biết rằng vận tốc của bánh xe sau trong chuyển động này là 80 vòng/phút.

Câu 2: Một đường tròn có bán kính 20 cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo 35⁰