Giáo án và PPT Toán 11 chân trời Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

BÀI 2. CÁC QUY TẮC ĐẠO HÀM (5 TIẾT)

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

GV yêu cầu HS thảo luận và trả lời:

Giả sử hàm số f(x) và g(x) lần lượt có đạo hàm tại x₀ là f'(x₀) và g'(x₀). Làm thế nào để tính đạo hàm của các hàm số là tổng, hiệu, tích hoặc thương của f(x) và g(x) tại x₀?

Ví dụ: Hãy tính đạo hàm của hàm số: C + ?

- GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ

Hoạt động 1: Tìm hiểu đạo hàm của hàm số

- GV yêu cầu HS nhắc lại cách tính đạo hàm bằng định nghĩa.

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 1.

+ Dự đoán đạo hàm của hàm số y = xⁿ.

- GV nhận xét, chốt đáp án, từ kết quả đó giới thiệu quy tắc tính đạo hàm của hàm số trên.

- HS đọc hiểu Ví dụ 1.

- GV cho HS làm bài độc lập hoàn thành phần HĐTH 1.

- GV mời 1 HS lên bảng trình bày.

Sản phẩm dự kiến:

Nhắc lại lí thuyết

Cho hàm số xác định trên khoảng và .

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn 

Thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại , kí hiệu là hoặc .

Vậy: .

HĐKP 1:

a) Ta có:

.

Vậy ta có: .

b) Từ kết quả bài trước ta có:

Dự đoạn:

Quy tắc 

Hàm số với có đạo hàm trên và .

Ví dụ 1 (SGK – Tr.42)

Thực hành 1

Ta có:

Khi đó:

2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Y =

Hoạt động 2: Tìm hiểu đạo hàm của hàm số y =

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 2.

- GV mới 1 HS lên bảng trình bày.

- GV nhận xét, chốt đáp án, giới thiệu quy tắc tính đạo hàm của hàm căn thức.

- GV lưu ý với HS: “Trong công thức có chứa dưới mẫu số, do đó x_o > 0”

- HS đọc hiểu Ví dụ 2.

- GV cho HS làm bài độc lập hoàn thành phần HĐTH 2.

- GV mời 1 HS lên bảng trình bày.

- GV đặt câu hỏi đưa ra nhận xét. 

+ Cho hàm số y = x^α, α là số thực. Hãy tính đạo hàm của hàm số đó. Tính đạo hàm của hàm số khi α =  

+ Nhắc lại các kết quả của bài trước khi tính đạo hàm của C (C là hằng số) và

- HS đọc hiểu Ví dụ 3.

- GV cho HS làm bài độc lập hoàn thành phần HĐTH 3.

- GV mời 1 HS lên bảng trình bày.

Sản phẩm dự kiến:

HĐKP 2:

Ta có:  

Vậy .

Quy tắc

Hàm số có đạo hàm trên khoảng và .

Ví dụ 2 (SGK – Tr.43)

Thực hành 2

Ta có:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 4 là:

.

Với thì .

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 4 là:

Nhận xét

a) Cho số thực . Hàm số được gọi là hàm số lũy thừa ( với tập xác định ).

Ta có:

Với ta nhận được:

b) Ta có: ; . 

Ví dụ 3 (SGK – Tr.43)

Thực hành 3.   

a) Ta có: .

Khi đó .

b) Ta có: .

Khi đó

3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Hoạt động 3: Tìm hiểu đạo hàm của hàm số lượng giác

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 3.

+ Tính đạo hàm của hàm số y = sin x cho biết

- GV gọi 1 HS trình bày bài.

- GV giao thêm nhiệm vụ cho nhóm: 

+ Áp dụng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số: cos x; tan x; cot x.

- Từ kết quả của hoạt động trên, GV giới thiệu quy tắc tính đạo hàm của hàm số lượng giác.

- HS đọc hiểu Ví dụ 4.

- GV cho HS làm bài độc lập hoàn thành phần HĐTH 4.

- GV mời 1 HS lên bảng trình bày.

Sản phẩm dự kiến:

HĐKP 3

Ta có: 

Vậy .

Quy tắc

Ví dụ 4 (SGK – tr.44)

Thực hành 4

Ta có: .

Vậy .

4. ĐẠO HÀM

Hoạt động 4: Tìm hiểu đạo hàm

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 4.

+ Áp dụng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = e^x cho biết = 1

+ Áp dụng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = ln x cho biết

- GV đặt câu hỏi mở rộng: 

+ Tính đạo hàm của hàm số y = a^x.

+ Tính đạo hàm của hàm số y = log_a x

(Gợi ý: Sử dụng a^x = e^{xln a}; log_a x = , sau đó áp dụng định nghĩa để tính.) 

- GV tổng kết, giới thiểu quy tắc tính đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit.

- HS đọc và trình bày Ví dụ 5.

- GV cho HS làm bài độc lập hoàn thành phần HĐTH 5.

- GV mời 2 HS lên bảng trình bày.

Sản phẩm dự kiến:

HĐKP 4

a) Ta có: 

Vậy .

b) . .

Vậy .

Quy tắc

Ví dụ 5 (SGK – tr.44)

Thực hành 5

a) Ta có:

Khi đó .

b) Ta có: .

Khi đó .

5. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG CỦA HAI HÀM SỐ

Hoạt động 5: Tìm hiểu đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 5.

- Từ kết quả của hoạt động trên, GV giới thiệu quy tắc tính đạo hàm của tông, hiệu, tích, thương của hai hàm số.

- GV đặt câu hỏi mở rộng:

+ Nếu u = c (c là hằng số) thì công thức (1) được biểu thị như thế nào? 

+ Nếu u = 1 thì công thức (2) được biểu thị như thế nào?

- HS đọc hiểu ví dụ 6.

- HS đọc hiểu ví dụ 7.

- GV cho HS làm bài độc lập hoàn thành phần HĐTH 6.

- GV mời 2 HS lên bảng trình bày.

Sản phẩm dự kiến:

HĐKP 5

.

Vậy .

Quy tắc

Cho hai hàm số có đạo hàm tại điểm thuộc tập xác định. Ta có:

• 
• 
• (1)
• (với (2)

Chú ý: 

• Với ( là hằng số), ta có:
• Với , ta có: (với .

Ví dụ 6 (SGK – tr.45)

Ví dụ 7 (SGK – tr.45)

Thực hành 6

a) Ta có:  

b) Ta có:  

6. ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP

Hoạt động 6: Tìm hiểu đạo hàm của hàm hợp

- GV yêu cầu HS hoàn thành HĐKP 6.

- GV nhận xét, giới thiệu định nghĩa hàm hợp.

- HS tìm hiểu Ví dụ 8, GV gọi 2 HS đứng tại chỗ trình bày lại.

- GV giới thiệu quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp.

- HS tìm hiểu Ví dụ 9, GV gọi 3 HS đứng tại chỗ trình bày lại.

- GV cho HS làm bài độc lập hoàn thành phần HĐTH 7.

- GV mời 2 HS lên bảng trình bày.

- HS tìm hiểu bảng đạo hàm.

Sản phẩm dự kiến:

HĐKP 6

a) Ta có: .

b) Ta có:

.

.

.

Có

Vậy ta có: .

Định nghĩa hàm hợp

Cho là hàm số của xác định trên khoảng và lấy giá trị trên khoảng ; là hàm số của xác định trên khoảng và lấy giá trị trên . Ta lập hàm số xác định trên và lấy giá trị trên theo quy tắc sau: .

Hàm số được gọi là hàm hợp của hàm số với .

Ví dụ 8 (SGK – Tr.46)

Quy tắc

Cho hàm số có đạo hàm tại là và hàm số có đạo hàm là thì hàm hợp có đạo hàm tại là .

Ví dụ 9 (SGK – tr.46)

Thực hành 7

a) .

b) .

c) .

Bảng đạo hàm (SGK – Tr.47)

7. ĐẠO HÀM CẤP HAI

Hoạt động 7: Tìm hiểu đạo hàm cấp hai

- GV yêu cầu HS hoàn thành HĐKP 7.

- GV giới thiệu đạo hàm cấp hai.

- HS tìm hiểu Ví dụ 10.

- GV đặt câu hỏi gợi mở: “Vậy đạo hàm cấp hai được áp dụng tính đại lượng nào trong vật lý?”. Từ đó đưa ra ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai.

- HS tìm hiểu Ví dụ 11.

- GV cho HS làm bài độc lập hoàn thành phần HĐTH 8.

- GV mời 2 HS lên bảng trình bày.

- GV cho HS làm bài độc lập hoàn thành phần Vận dụng.

+ Vận tốc của hòn sỏi tại thời điểm t là gì?

+ Gia tốc của hòn sỏi tại thời điểm t là gì?

- GV mời 1 HS lên bảng trình bày.

Sản phẩm dự kiến:

HĐKP 7:

a) Vận tốc tức thời tại thời điểm là:

.

b)

Gia tốc của chuyển động tại thời điểm là: .

Định nghĩa

Cho hàm số có đạo hàm tại mọi .

Nếu hàm số có đạo hàm tại thì ta gọi đạo hàm của là đạo hàm cấp hai của hàm số tại , kí hiệu hoặc .

Ví dụ 10 (SGK – Tr.48)

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai là gia tốc tức thời tại thời điểm của vật chuyển động có phương trình .

Ví dụ 11 (SGK – Tr.48)

Thực hành 8

a) Ta có: .

Có

Vậy .

b) Ta có: .

Vậy

Vận dụng

Vận tốc của hòn sỏi tại thời điểm là: 

Gia tốc của hòn sỏi tại thời điểm là: 

Gia tốc rơi của hòn sỏi lúc là .

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = - x⁴ + 4x³ - 3x² + 1 tại điểm x = -1.

A. f '(- 1) = 4

B. f '(- 1) = 14

C. f '(- 1) = 15

D. f '(- 1) = 24

Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số y = (x³ - 2x²)²

A. f '(x) = 6x⁵ - 20x⁴ + 16x³

B. f '(x) = 6x⁵ + 16x³

C. f '(x) = 6x⁵ - 20x⁴ + 4x³

D. f '(x) = 6x⁵ - 20x⁴ - 16x³

Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số y = (x² - 2)(2x - 1)

A. y' = 4x

B. y' = 3x² - 6x + 2

C. y' = 2x² - 2x + 4

D. y' = 6x² - 2x - 4

Sản phẩm dự kiến:

Câu 1: C

Câu 2: A

Câu 3: D

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

Câu 1: Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ, tính theo nghìn đô-la, để sản xuất x mặt hàng là C(x) = và công ty lên kế hoạch nâng sản lượng trong t tháng kể từ nay theo hàm số x(t) = 20t + 40. Chi phí sẽ tăng nhanh thế nào sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó?

Câu 2: Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tự do của một vật được cho bởi công thức s(t) = 0,81t², trong đó t là thời gian được tính bằng giây và s tính bằng mét. Một vật được thả rơi từ độ cao 200 m phía trên Mặt Trăng. Tại thời điểm t = 2 sau khi thả vật đó, tính:

a) Quãng đường vật đã rơi;

b) Gia tốc của vật.