Nội dung chính Toán 9 kết nối Bài 28: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

BÀI 28. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP VÀ ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP CỦA MỘT TAM GIÁC

1. Đường tròn ngoại tiếp một tam giác

HĐ1: Đường tròn đi qua thì cũng đi qua vì .

HĐ2: Vì là giao điểm 3 đường trung trực nên , nên đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác .

=> Kết luận: Đường tròn ngoại tiếp một tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó.

HĐ3 a)

 b) Ta có (do cùng vuông góc với ) và là trung điểm nên là đường trung bình của tam giác , tương tự ta cũng có là đường trung bình  của tam giác . 

 c) Do là đường trung bình của tam giác nên là trung điểm . Từ đó, do là trung trực của đoạn nên . Vậy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và .

=> Kết luận: Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyển và bán kính bằng một nửa cạnh huyền.

Luyện tập 1

Tam giác có nên là tam giác vuông. 

Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là 2,5 cm.

HĐ4: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là giao điểm của các đường trung trực và các đường trung trực trong tam giác đều cũng là đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác. 

 b) Trong tam giác đều, đường trung trực của một cạnh xuất phát từ một điểm trùng với đường trung tuyến xuất phát từ điểm đó đến cạnh đối diện. Do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm tam giác đều. 

 c) Trong tam giác đều, đường phân giác xuất phát từ một đỉnh trùng với đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh đó nên là phân giác . Do đó  .

 Ta có .  

=> Kết luận: Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng .

Luyện tập 2:

Từ Ví dụ 2 ta có mối liên hệ cm.

2. ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP MỘT TAM GIÁC

HĐ5:

a) Ta có , tương tự nên Do đó các điểm cùng nằm trên một đường tròn có tâm là .

b) Do tại nên tiếp xúc với tại . Tương tự, ta cũng có tiếp xúc với tại và tiếp xúc với tại

=> Kết luận: Đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác. Tam giác đó được gọi là ngoại tiếp đường tròn. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác lấy giao điểm 3 đường phân giác của tam giác.

HĐ6:

a) Trong tam giác đều, đường phân giác xuất phát từ một đỉnh trùng với đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh đó nên trọng tâm trùng với tâm đường tròn nội tiếp .

 b) Gọi là chân đường cao hạ từ xuống . Do là tam giác đều nên ta có nằm trên đường trung tuyến của tam giác và

=> Kết luận: Đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a có tâm trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng .

Luyện tập 3:

a) Do tam giác đều nên đường phân giác cũng là đường trung tuyến. Lấy giao điểm 3 đường trung tuyến của tam giác thì đó chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .

 b) cm.