Nhận biết khái niệm giới hạn của dãy số.
Vận dụng các phép toán giới hạn để tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản.
Tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng được kết quả đó để giải quyết một số tình huống thực tiễn giả định hoặc liên quan đến thực tiễn.

Năng lực

Năng lực chung:

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá
Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm
Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng:

Tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích dữ liệu tìm ra mối liên hệ giữa các đối tượng đã cho và các phương pháp đã học, từ đó có thể áp dụng kiến thức đã học để nhận biết và tính toán các bài toán về giới hạn của dãy số.
Mô hình hóa toán học, giải quyết vấn đề toán học, giao tiếp toán học.
Sử dụng công cụ, phương tiện học toán.

Phẩm chất:

Có ý thức làm việc nhóm, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo cho HS => độc lập, tự tin và tự chủ.
Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

- Giáo viên: Giáo án, sách giáo khoa, phiếu học tập.

- Học sinh: Vở, nháp, bút.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

KHỞI ĐỘNG
a) Mục tiêu: Tạo tâm thế và định hướng chú ý cho học sinh, tạo vấn đề vào chủ đề.
b) Nội dung hoạt động: HS chú ý lắng nghe và thực hiện yêu cầu.
c) Sản phẩm học tập: Kết quả câu trả lời của HS.
d) Tổ chức hoạt động:

- GV chia thực hiện đặt câu hỏi cho HS:

+ Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

.
.
.
.
Nếu , thì .
Nếu , thì .
Nếu , thì .
Nếu , thì .

+ HS suy nghĩ và trả lời câu hỏi

- GV nhận xét, dẫn dắt HS vào nội dung ôn tập bài “giới hạn của dãy số”.

HỆ THỐNG LẠI KIẾN THỨC
a. Mục tiêu: HS nhắc lại và hiểu được phần lý thuyết của bài. Từ đó có thể áp dụng giải toán một cách dễ dàng.
b. Nội dung hoạt động: GV hướng dẫn HS nhắc lại phần kiến thức lí thuyết “giới hạn của dãy số”.
c. Sản phẩm học tập: Câu trả lời của HS về các bài tập giới hạn của dãy số và chuẩn kiến thức của GV.
d. Tổ chức thực hiện:

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “giới hạn của dãy số” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

I. Giới hạn hữu hạn của của dãy số

1. Định nghĩa

- Dãy số có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, khi hiệu .

* Chú ý: Ngoài ký hiệu , ta cũng sử dụng các kí kiệu sau: hay khi .

* Nhận xét: Nếu ngày càng gần tới 0 khi n ngày càng lớn thì .

- Dãy số có giới hạn hữu hạn là a khi n dần tới dương vô cực nếu

Kí hiệu

* Chú ý:

- Một dãy số có giới hạn thì giưới hạn đó là duy nhất.

- Không phải dãy số nào cũng có giới hạn, chẳng hạn như dãy số với

2. Một số giới hạn cơ bản

a) với k là số nguyên dương cho trước.

b) với c là hằng số, k là số nguyên dương cho trước.

c) Nếu thì

d) Dãy số với có giới hạn là một số vô tỉ và gọi giới hạn đó là

II. Định lí về giới hạn hữu hạn

a) Nếu thì:

b) Nếu với mọi n và thì và

III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

- Trong trường hợp tổng quát: Cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa mãn được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

- Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là:

IV. Giới hạn vô cực

- Ta nói dãy số có giới hạn khi , nếu có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: hay hay khi .

- Ta nói dãy số có giới hạn khi nếu

Kí hiệu hay hay khi

BÀI TẬP LUYỆN TẬP, VẬN DỤNG
a. Mục tiêu: HS biết cách giải các dạng bài tập thường gặp trong bài “giới hạn của dãy số” thông qua các phiếu bài tập.
b. Nội dung hoạt động: HS thảo luận nhóm, thực hiện các hoạt động cá nhân và hoạt động nhóm để hoàn thành phiếu bài tập
c. Sản phẩm học tập: Kết quả thực hiện của HS.
d. Tổ chức thực hiện:

Nhiệm vụ 1: GV phát phiếu bài tập, nêu phương pháp giải, cho học sinh làm bài theo nhóm bằng phương pháp khăn trải bàn.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Tính giới hạn dãy số đa thức hoặc phân thức hữu tỉ ; dãy số có chứa căn; dãy số chứa lũy thừa.

Phương pháp giải:

- Chia tử và mẫu cho với là lũy thừa có số mũ cao nhất của và , sau đó áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn là đa thức bậc, ta đặt làm nhân tử chung, sau đó sử dụng định lí 2 về giới hạn.

- Đánh giá bậc của tử và mẫu. Sau đó, chia cả tử và mẫu cho với k là số mũ lớn nhất của và (hoặc rút là lũy thừa lớn nhất của và ra làm nhân tử). Áp dụng các định lí về giới hạn để tìm giới hạn.

- Chia cả tử và mẫu cho trong đó a là cơ số lớn nhất.

Bài 1.

a) Tính

b) Tính

c) Tính

Bài 2.

a) Tìm

b) Tính

c) Tính

Bài 3.

a) bằng bao nhiêu?

b) Tính