Đáp án Toán 11 kết nối tri thức Bài tập cuối chương 2

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II

A - TRẮC NGHIỆM

Bài tập 2.22: Khẳng định nào sau đây là sai...

Đáp án:

C.

+) Mỗi dãy số tăng đều bị chặn dưới bởi số hạng đầu  vì  do đó đáp án A đúng.

+) Mỗi dãy số giảm đều bị chặn trên bởi số hạng đầu  vì   do đó đáp án B đúng.

+) Một dãy số bị chặn không nhất thiết phải là dãy số tăng hoặc giảm. Chẳng hạn ta xét dãy số  có số hạng tổng quát: .

Ta có nhận xét rằng dãy số này đan dấu nên nó không tăng, không giảm.

Mặt khác ta có:  suy ra dãy số  bị chặn.

Vậy đáp án C sai.

+) Đáp án D đúng do dãy số   không đổi thì mọi số hạng luôn bằng nhau và luôn tồn tại m, M để  với mọi

Bài tập 2.23: Cho dãy số...

Đáp án:

Xét từng đáp án, ta thấy:

+) Đáp án A, dãy số có số hạng tổng quát là:  có số hạng đầu , không thỏa mãn.

+) Đáp án B, dãy số có số hạng tổng quát là:  có số hạng đầu  không thỏa mãn.

+) Đáp án C, dãy số có số hạng tổng quát là  có số hạng đầu , không thỏa mãn.

+) Đáp án D, dãy số có số hạng tổng quát là:  có số hạng đầu  thỏa mãn.

Bài tập 2.24: Cho dãy số (un) với un=3n+6. Khẳng định nào sau đây là đúng...

Đáp án:

Ta có: , với mọi .

Do đó,  là cấp số cộng có công sai .

Bài tập 2.25: Trong dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, dãy số...

Đáp án:

1. Nhận xét thấy dãy số cho bởi công thức truy hồi có: với mọi . Do đó, dãy số này là một cấp số nhân với số hạng đầu  và công bội .

Bài tập 2.26: Tổng 100 số hạng đầu của dãy số...

Đáp án:

Ta có: , với mọi

Do đó, dãy số  là một cấp số cộng có  và công sai .

Tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là:

.

B - TỰ LUẬN

Bài tập 2.27: Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, chuông của một chiếc...

Đáp án:

Vì đồng hồ đánh chuông báo giờ đúng và số tiếng chuông bằng số giờ nên ta có:

- Lúc 1 giờ đồng hồ đánh 1 tiếng chuông.

- Lúc 2 giờ đồng hồ đánh 2 tiếng chuông.

...

- Lúc 12 giờ trưa đồng hồ đánh 12 tiếng chuông.

Do đó, từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh số tiếng chuông là

 (tiếng chuông)

Đây là tổng 12 số hạng của cấp số cộng có số hạng đầu , công sai .

Vậy tổng số tiếng chuông đồng hồ trong khoảng thời gian từ 0 đến 12 giờ trưa là

 (tiếng chuông).

Bài tập 2.28: Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích...

Đáp án:

Vì ban đầu có một tế bào và mỗi lần một tế bào phân chia thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với .

Vì cứ 20 phút lại phân đôi một lần nên sau 24 giờ sẽ có  = 72 lần phân chia tế bào và  là số tế bào nhận được sau 24 giờ.

Vậy số tế bào nhận được sau 24 giờ phân chia là

 (tế bào).

Bài tập 2.29: Chứng minh rằng...

Đáp án:

1. a) Giả sử là cấp số cộng với công sai d. Khi đó với , ta có:

 và

Suy ra  hay  (đpcm).

1. b) Giả sử cấp số nhân có công bội là q. Khi đó với , ta có:

;

.

Suy ra:

.

Bài tập 2.30: Tìm ba số, biết theo thứ tự đó...

Đáp án:

Giả sử 3 số cần tìm là  với .

Ta có:

Theo Bài 2.29a, vì  lập thành một cấp số cộng nên: .

Do đó, . Từ đó suy ra .

Gọi d là công sai của cấp số cộng thì  và

Sau khi thêm các số 2; 3; 9 vào ba số  ta được ba số là  hay

 và theo đề bài thì 3 số này lập thành một cấp số nhân.

Áp dụng Bài 2.29b, ta có:

Giải phương trình bậc hai trên ta được  hoặc.

+) Với , ta có cấp số cộng gồm 3 số

+) Với , ta có cấp số cộng gồm 3 số .

Vậy có hai bộ ba số cần tìm là  và .

Bài tập 2.31: Mặt sàn tầng một (tầng trệt) của một...

Đáp án:

1. a) Đổi .

Gọi u_i là độ cao từ bậc thang thứ i (của cầu thang) so với mặt sân.

Vì mỗi bậc thang cao 0,16 m, mặt bằng sàn cao hơn mặt sân 0,5 m nên bậc thang đầu tiên sẽ cao hơn so với mặt sân là  hay .

Từ các bậc sau thì: bậc sau cao hơn bậc liền trước nó 0,16 m, nên độ cao so với mặt sân của hai bậc thang liên tiếp cũng hơn kém nhau .

Hay

Do đó, độ cao từ các bậc thang so với mặt sân, từ bậc 1 đến bậc 25 tạo thành một cấp số cộng với  và công sai.

Vậy công thức tính độ cao của bậc cầu thang thứ n so với mặt sân là

1. b) Vì mặt sàn tầng hai có cùng độ cao với bậc thứ 25 (bậc cao nhất) của cầu thang.

Nên độ cao mặt sàn tầng hai so với mặt sân cũng là độ cao từ bậc thứ 25 so với mặt sân.

Vậy độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân ứng với  là

.

Bài tập 2.32: Một hình vuông màu vàng có cạnh 1 đơn vị...

Đáp án:

+ Chia lần 1: Hình vuông màu vàng lớn có cạnh bằng 1 đơn vị thì có diện tích bằng 1 (đvdt). Chia hình vuông này thành 9 hình vuông nhỏ hơn và hình vuông ở chính giữa được tô màu xanh, thì hình vuông màu xanh đầu tiên này có diện tích bằng  (đvdt).

+ Chia lần 2: 8 hình vuông màu vàng còn lại, mỗi hình vuông này lại được chia thành 9 hình vuông con và tiếp tục tô xanh hình vuông chính giữa, khi đó mỗi hình vuông xanh nhỏ hơn có diện tích . 8 hình vuông xanh nhỏ hơn có diện tích bằng 8S₁.

Cứ tiếp tục như vậy, mỗi lần chia ta sẽ tạo thành 8 hình vuông xanh nhỏ hơn tiếp đối với mỗi ô vuông vàng nhỏ.

Do đó, quá trình này được tiếp tục lặp lại năm lần, thì trừ lần đầu tiên, 4 lần sau, mỗi lần chia diện tích ô vuông xanh tạo thành lập thành một cấp số nhân có:  và công bội .

Vậy tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh là:

 (đvdt).