Giáo án điện tử Toán 11 cánh diều Chương 1 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

NHIỆT LIỆT CHÀO ĐÓN CÁC EM ĐẾN VỚI BUỔI HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Đất theo một quỹ đạo là đường elip (Hình 32). Độ cao h (km) của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất được xác định bởi công thức , trong đó t là thời gian tính bằng phút kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo. Tại thời điểm t bằng bao nhiêu thì vệ tinh cách mặt đất 1 000 km; 250 km; 100 km?

BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

NỘI DUNG BÀI HỌC

Phương trình tương đương

Phương trình sinx = m

Phương trình cosx = m

Phương trình tanx = m

Phương trình cotx = m

Giải phương trình lượng giác cơ bản bằng máy tính cầm tay

1. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Khi giải phương trình, cần lưu ý điều gì đầu tiên?

Cần lưu ý tới điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình)

HĐ1

Cho hai phương trình (với cùng ẩn x):

x² ‒ 3x + 2 = 0 (1)

(x – 1)(x – 2) = 0 (2)

1. a) Tìm tập nghiệm S₁ của phương trình (1) và tập nghiệm S₂ của phương trình (2).
2. b) Hai tập S₁, S₂ có bằng nhau hay không?

Giải

1. a)

• Ta có: (1)

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S₁ = {1; 2}.

• Ta có: (2)

Vậy phương trình (2) có tập nghiệm S₂ = {1; 2}.

1. b) Hai tập S₁, S₂ bằng nhau vì cùng là tập {1; 2}.

ĐỊNH NGHĨA

Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình  đương đương với phương trình  thì ta viết:

 .

Ví dụ 1 (SGK - tr.32)

Hai phương trình x - 3 = 0 và x² - 6x + 9 = 0 có phải là hai phương trình tương đương không? Vì sao?

Giải

Tập nghiệm của phương trình x - 3 = 0 là S₁ = {3}

Tập nghiệm của phương trình x² - 6x + 9 = 0 là S₂ = {3}

Vì S₁ = S₂ nên hai phương trình x - 3 = 0 và x² - 6x + 9 = 0 tương đương.

Thảo luận cặp đôi

Luyện tập 1

Hai phương trình x−1= 0 và có tương đương không? Vì sao?

Giải

• Ta có:

Tập nghiệm của phương trình là .

• Ta có:

ĐKXĐ:

Tập nghiệm của phương trình là .

Vì  nên hai phương trình trên tương đương.

HĐ2

Khẳng định 3x - 6 = 0  3x = 6 đúng hay sai?

Giải

Phương trình 3x ‒ 6 = 0 có tập nghiệm S₁ = {2}.

Phương trình 3x = 6 có tập nghiệm S₂ = {2}.

Vì S₁ = S₂ nên hai phương trình 3x ‒ 6 = 0 và 3x = 6 tương đương.

Khi đó ta viết 3x - 6 = 0 ⟺ 3x = 6

Vậy khẳng định 3x - 6 = 0 ⟺ 3x = 6 là chính xác.

Những phép biến đổi mà không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình giống với phương trình ở HĐ2 thì ta gọi đó là phép biến đổi tương đương.

ĐỊNH LÍ

Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương.

1. Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;
2. Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

Ví dụ 2 (SGK - tr.33)

Giải phương trình x² - 6x + 8 = 2 - x

Giải

Ta có: x² - 6x + 8 = 2 - x

⟺ x² - 6x + 8 - (2 - x) = 0

⟺ x² - 5x + 6 = 0 ⟺ x = 2 hoặc x = 3

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {2; 3}

Thực hiện cá nhân

Luyện tập 2

Giải phương trình:

(x − 1)² = 5x − 11

Giải

Ta có: (x – 1)² = 5x – 11

⇔ x² – 2x + 1 – (5x – 11) = 0

⇔ x² – 2x + 1 – 5x + 11 = 0

⇔ x² – 7x + 12 = 0

⇔ 

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {3; 4}.

1. PHƯƠNG TRÌNH sinx = m

HĐ3

1. a) Đường thẳng d: y = cắt đồ thị hàm số y = sinx, x ∈ [-π; π] tại hai giao điểm A₀, B₀­ (Hình 33). Tìm hoành độ của hai giao điểm A₀, B₀­.
2. b) Đường thẳng d: y = cắt đồ thị hàm số y = sinx, x ∈ [π; 3π] tại hai giao điểm A₁, B₁­ (Hình 33). Tìm hoành độ của hai giao điểm A₁, B₁­.

Giải:

1. a) Với ta thấy tại  và .

Do đó đường thẳng d:  cắt đồ thị hàm số  tại hai giao điểm A₀, B_0­ có hoành độ lần lượt là  và .

1. b) Với ta thấy tại  và .

Do đó đường thẳng d:  cắt đồ thị hàm số  tại hai giao điểm A₁, B_1­ có hoành độ lần lượt là  và .

Từ HĐ3, chúng ta có thể xác định được các nghiệm của phương trình  một cách tổng quát không?

Nhận xét: