Giáo án điện tử Toán 11 cánh diều Chương 4 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

CHÀO MỪNG CẢ LỚP ĐẾN VỚI TIẾT HỌC MỚI!

KHỞI ĐỘNG

Trong thực tế, ta quan sát thấy nhiều hình ảnh gợi nên những đường thẳng song song với nhau. Chẳng hạn các cột treo cờ của tổ chức và các nước thành viên ASEAN.

BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

NỘI DUNG BÀI HỌC

Vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt

Tính chất

1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG PHÂN BIỆT

HĐ1

1. Hãy nêu các vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng.
2. Quan sát hai đường thẳng a và b trong Hình 31a, 31b và cho biết các đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng không.

Giải

1. a) Trong một mặt phẳng, ta có các vị trí tương đối sau của hai đường thẳng:

• Hai đường thẳng cắt nhau;
• Hai đường thẳng song song với nhau;
• Hai đường thẳng trùng nhau.

b)

a và b nằm trong cùng một mặt phẳng và cắt nhau.

a và b không nằm trong cùng một mặt phẳng.

NHẬN XÉT

Cho hai đường thẳng a và b phân biệt trong không gian. Khi đó xảy ra một trong các trường hợp:

Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa a và b. Khi đó ta nói a và b đồng phẳng 

Khi đó, có hai khả năng xảy ra:

• a và b có một điểm chung duy nhất I, thì a cắt b tại I, kí hiệu a ∩ b =
• a và b không có điểm chung thì a và b song song, kí hiệu a //

Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa a và b. Khi đó a và b chéo nhau, hay a chéo b.

LƯU Ý:

Để xét vị trí tương đối ta quan tâm đến tính đồng phẳng và số điểm chung của hai đưởng thẳng.

Thế nào là hai đường thẳng song song?

KẾT LUẬN

Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.

Có bao nhiêu mặt phẳng chứa được hai đường thẳng song song?

Chú ý

Cho hai đường thẳng song song a và b. Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó, kí hiệu: mb(a,b).

Ví dụ 1

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Hãy xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau: AB và CD, SA và BC.

Giải

Tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB song song với CD.

Do bốn điểm S, A, B, C không cùng nằm trên một mặt phẳng nên hai đường thẳng SA và BC chéo nhau.

Quan sát một phần căn phòng (Hình 35), hãy cho biết vị trí tương đối của các cặp đường thẳng a và b; a và c; b và c.

Giải

• Hai đường thẳng a và b song song với nhau.
• Hai đường thẳng a và c chéo nhau.
• Hai đường thẳng b và c cắt nhau.

1. TÍNH CHẤT

Thảo luận nhóm đôi

HĐ2

Trong không gian, cho điểm M và đường thẳng d không đi qua điểm M (Hình 36). Nêu dự đoán về số đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng d.

Dự đoán:

Trong không gian, qua điểm M ta vẽ được một đường thẳng duy nhất song song với đường thẳng d.

ĐỊNH LÍ 1

Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Chứng minh

• Trong không gian, giả sử M là điểm không nằm trên đường thẳng d.
• Khi đó điểm M và đường thẳng d xác định duy nhất một mặt phẳng (P). Trong mặt phẳng (P), theo tiên đề Euclid về đường thẳng song song, có một đường thẳng d' đi qua M và song song với đường thẳng d. Như vậy, trong không gian, tồn tại đường thẳng d' đi qua M và song song với d.
• Trong không gian, giả sử d'' là một đường thẳng đi qua M và song song với d. Do d'' // d nên d'' và d nằm trong cùng mặt phẳng (Q). Khi đó mặt phẳng (Q) cũng đi qua điểm M và đường thẳng d (Q)  (P)  d'  (P). Trong mặt phẳng (P), hai đường thẳng d', d'' cùng đi qua M và song song với d nên d' và d'' trùng nhau. Vậy định lí được chứng minh.

Thảo luận nhóm đôi

HĐ3

Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt a, b, c, trong đó a = (P) ∩ (R), b = (Q) ∩ (R), c = (P) ∩ (Q).

• Nếu hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm M thì đường thẳng c có đi qua điểm M hay không (Hình 38a)?
• Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b thì đường thẳng a có song song với đường thẳng c hay không (Hình 38b)?

Giải

Ta có: a ∩ b = {M}

Mà a ⊂ (P); b ⊂ (Q)

Nên M ∈ (P) và M ∈ (Q). Do đó M là giao điểm của (P) và (Q).

Mà (P) ∩ (Q) = c, suy ra M ∈ c.

Vậy đường thẳng c đi qua điểm M.

Giả sử trong mặt phẳng (P) có a ∩ c = {N}.

Khi đó N ∈ a  mà a ⊂ (R) nên N ∈ (R)

            N ∈ c mà c ⊂ (Q) nên N ∈ (Q)

Do đó N là giao điểm của (R) và (Q).

Mà (Q) ∩ (R) = b  N ∈ b.

Vì thế a và b có điểm chung là N (mâu thuẫn với giả thiết a và b song song).

Vậy nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b thì đường thẳng a và b song song với đường thẳng c.

ĐỊNH LÍ 2

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

HỆ QUẢ