Đáp án Toán 10 chân trời sáng tạo chương 5 bài 4: Tích vô hướng của hai vecto

BÀI 4. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO

1. GÓC GIỮA HAI VECTƠ

Bài 1: Cho hình vuông ABCD có tâm I (Hình 1).

1. Tính .
2. Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và điểm cuối lần lượt là I và C.
3. Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và lần lượt bằng vectơ và 

Đáp án:

1. a) =
2. b) Hai vectơ cần tìm là và 
3. c) = ;  =

Bài 2: Cho tam giác đều ABC có H là trung điểm của cạnh BC. Tìm các góc: (, ); (, ); (, ); ; (, ); (, )

Đáp án:

Lấy điểm D sao cho AD // BC và AD = BC

(, ) =

(, ) = (, ) =

(, ) = (, ) =

Do hai vectơ  và  cùng hướng nên (, ) =

Do hai vectơ và  ngược hướng nên (, ) = .

2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Bài 1: Một người dùng một lực  có cường độ 10N kéo một chiếc xe đi quãng đường dài 100m. Tính công sinh bởi lực  , biết rằng góc giữa vectơ   và hướng di chuyển là 45. (Công A (đơn vị: J) bằng tích của ba đại lượng: cường độ của lực  , độ dài  quãng đường và côsin của góc giữa hai   và độ dịch chuyển  ).

Đáp án:

A = ||.||.=10.100. 

=  (J)

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh huyền bằng . Tính các tích vô hướng: . .. 

Đáp án:

Tam giác ABC vuông cân tại A có BC =   AB = AC = 1

.  = ||. ||.cos(, ) = 1. 1. cos = 0

. = ||. ||. cos(, ) = 1. . cos = 1

. = ||.||.cos(, ) = 1. . cos = 1

Bài 3: Hai vectơ   và   có độ dài lần lượt là 3 và 8 và có tích vô hướng là Tính góc giữa hai vectơ   và  .

Đáp án:

Ta có: cos(,  =  =  = 

 (, ) =

Bài 4: Một người dùng một lực   có độ lớn là 20N kéo một vật dịch chuyển một đoạn 50m cùng hướng với  . Tính công sinh bởi lực  .

Đáp án:

A = 20. 50.  = 1000 (J)

3. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Bài 1: Cho hai vectơ   ,   vuông góc, cùng có độ dài bằng 1.

1. Tính (+ ).(- )
2. Cho = 2+ 2 ;  = 3 - 3. Tính tích vô hướng .  và tính góc ( , )

Đáp án:

2. a) = + 2.  +  =  +  + 2.||. ||. cos =  +  + 0 = 2

 =  - 2.  +  =  +  - 2.||. ||. cos =  +  - 0 = 2

( + ).( - ) =  -  =  -  =  -  = 0

6. b) Ta có: . = (2+ 2)(3 - 3) = 6( + )( - ) = 6. 0 = 0

 (; ) =

Bài 2: Phân tử sulfur dioxide (SO2) có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết  gần bằng 120∘. Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử S với mỗi nguyên tử O bằng các vectơ  và  có cùng phương liên kết công hóa trị, có chiều từ nguyên tử S về mỗi nguyên tử O và có cùng độ dài là 1,6 đơn vị (Hình 6). Cho biết vectơ tổng + được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử SO2. Tính độ dài của μ⃗ .

Đáp án:

C1: Áp dụng tích vô hướng

()² = (+)² = ()² + ()² + 2..

=  

= 1,6²

=1,6

C2: Áp dụng hình học phẳng

Hình bình hành SO₁S'O₂ có hai cạnh liên tiếp bằng nhau SO₁S'O₂ là hình thoi.

 SO₁S' lầ tam giác cân và  có một góc bằng 60^o  SO₁S' lầ tam giác đều.

1,6

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tính vô hướng: ... . 

Đáp án:

. = ||. ||. cos(, ) = a. a.  = 0

. = ||. ||. cos(, ) = a.a. =

.  = ||. ||. cos(, ) = a. a.  =

.  = ||. ||. cos(, ) = a. a.  = 0

Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính:

1. . 
2. . 

Đáp án:

1. a) Ta có: AO = = = 

cos =  =  =

Ta có: .  = ||. ||. cos(, ) = AB. AO. cos = 2a.  .  = 2

1. b) Vì   .  = 0

Bài 3. Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng .  trong hai trường hợp:

1. Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB;
2. Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB.

Đáp án:

1. a) . = ||. ||. cos(, ) = a. b. cos= ab
2. b) . = ||. ||. cos(, ) = a. b. cos= -ab

Bài 4. Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: .  =  -

Đáp án:

Ta có: .  = ( + )( + )

=  +  ( + ) + .. 

=  +  + .  (vì O là trung điểm của AB nên  +  = )

=  + OA.OB. =  -  

Vậy .  =  -

Bài 5. Một người dùng một lực  có độ lớn 90N làm một vật di chuyển một đoạn 100m. Biết lực   hợp với hướng dịch chuyển một góc 60∘. Tính công sinh bởi lực  .

Đáp án:

Công sinh bởi lực  là:

A = 90. 100. cos60^o = 4500(J)

Bài tập 6. Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 3 và 4 và có tích vô hướng là -6. Tính góc giữa hai vectơ đó.

Đáp án:

Gọi  là góc cần tìm.

Ta có: cos =  = 

  =