Đáp án Toán 10 kết nối tri thức Bài 22: Ba đường conic (P1)

BÀI 22.BA ĐƯỜNG CONIC

1. ELIP

Bài 1: Đính hai đầu của một sợi dây không đàn hồi vào hai vị trí cố định F₁, F₂ tren một mặt bàn (độ dài sợi dây lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm F₁, F₂ ). Kéo căng sợi dây tại một điểm M bởi một đầu bút dạ (hoặc phấn). Di chuyển đầu bút dạ để nó vẽ trên mặt bàn một đường khép kín.

7. Đường vừa nhận được có liên hệ với hình ảnh nào ở Hình 7.17?
8. Trong quá trinh đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng các khoảng cách từ nó tới các vị trí F₁, F₂có thay đổi không? Vì sao?

Đáp án:

7. a) Đường nhận được liên hệ với hình 7.17b.
8. b) Tổng các khoảng cách từ đầu bút tới các vị trí F₁, F₂không thay đổi vì nó luôn bằng độ dài dây.

Bài 2: Tại sao trong định nghĩa elip cần điều kiện a > c?

Đáp án:

Xét tam giác  có:  (bất đẳng thức tam giác). Suy ra: .

Bài 3: Trên bàn bida hình elip có một lỗ thu bi tại một tiêu điểm. Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh vào một bi đặt tại tiêu điểm còn lại của bàn, thì sau khi va vào thành bàn, bi sẽ bật lại và chạy về lỗ thu (bỏ qua các tác động phụ). Hỏi độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu có phụ thuộc vào đường đi của bi hay không? Vì sao?

Đáp án:

Ta có vị trí ban đầu của bi và vị trí của lỗ thu là 2 tiêu điểm của hình elip, gọi lần lượt là  và . Bi lăn từ  đến một vị trí M trên hình elip rồi đi đến . Vậy quãng đường bi đi được là:

Theo tính chất hình elip thì , không đổi

Suy ra độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu không phụ thuộc vào đường đi của bi.

Bài 4: Xét một elip (E) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F₁F₂ , tia Ox trùng tia OF₂ 

1. Nêu tọa độ của các tiêu điểm F₁, F₂
2. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc elip khi và chỉ khi: 

Đáp án:

1. a) Vì , mà O là trung điểm của

Tọa độ của các điểm:  và

1. b) Giả sử M thuộc elip (E) ta chứng minh: 

Thật vậy: M thuộc elip (E) nên:  hay

Giả sử  ta chứng minh M thuộc elip (E). Thật vậy:

  nên

⇒ M thuộc elip (E).

Bài 5 : Cho elip có phương trình chính tắc . Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Đáp án: 

Có: . Vậy elip có hai tiêu điểm là  và   và tiệu cự là .

Bài 6 : Trong bản vẽ thiết kế, vòm của ô thoáng trong Hình 7.22 là nửa nằm phía trên trục hoành của elip có phương trình .

Biết rằng 1 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ của bản vẽ thiết kế ứng với 30 cm trên thực tế. Tính chiều cao h của ô thoáng tại điểm cách điểm chính giữa của đế ô thoáng 75 cm.

Đáp án: 

Ta có 75cm trên thực tế ứng với 2,5 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ.

Gọi điểm M trên elip thỏa mãn có hoành độ là 2,5  tọa độ

Mà M thuộc (E) nên:

  nên

Vậy chiều cao của ô thoáng là:

.

2. HYPEBOL

Bài 1: Giả sử thiết bị tại F₂ nhận được tín hiệu âm thanh sớm hơn thiết bị tại F₁ là 2 giây và vận tốc âm thanh là 343m/s.

2. a) Tìm mối quan hệ giữa các khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F₁,F
3. b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát ra tín hiệu âm thanh có liên quan đến bài toán tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn MF₁- MF₂= 686 (m) hay không ?

Đáp án: 

1. a) Giả sử nơi phát ra tín hiệu âm thanh là tại vị trí điểm M. 

Khi đó MF₁ là khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F₁ và MF₂ là khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F₂.

Gọi t₁ là thời gian âm thanh phát từ M đến F₁, t₂ là thời gian âm thanh phát từ M đến F₂. 

Thiết bị tại F₂ nhận được tín hiệu âm thanh sớm hơn thiết bị tại F₁ là 2 giây nên t₁ – t₂ = 2. 

Vận tốc âm thanh là 343 m/s. 

Khi đó ta có: MF₁ = 343t₁; MF₂ = 343t₂. 

Suy ra: MF₁ – MF₂ = 343.t₁ – 343.t₂ = 343(t₁ – t₂) = 343. 2 = 686 (m). 

Vậy mối quan hệ giữa các khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F₁, F₂ là MF₁ – MF₂ = 686 (m). 

1. b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát ra tín hiệu âm thanh chính là việc giải quyết bài toán tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn MF₁– MF₂= 686 (m). 

Bài 2: Tại sao trong định nghĩa hypebol cần điều kiện a < c?

Đáp án:

Xét tam giác  có:  (bất đẳng thức tam giác). Suy ra: .

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD và M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.

Đáp án: 

Do M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD và tính chất hình chữ nhật ABCD ta có: .

Vì

 là hình bình hành

.

Tương tự

Ta chứng minh được  là hình chữ nhật

.

Từ đó:  (bất đẳng thức tam giác).

Vậy A,B,C,D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.

Bài 4: Xét một hypebol (H) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục Oxy có gốc O là trung điểm của F₁F₂ , .Tia Ox trùng với tia OF₂.Nêu tọa độ của các tiêu điểm F₁,F₂. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (H) khi và chỉ khi

Đáp án:

1. a) Vì , mà O là trung điểm của

Tọa độ của các điểm:  và

1. b) Giả sử M thuộc hypebol (H) ta chứng minh: 

Thật vậy: M thuộc elip (E) nên:

Giả sử  ta chứng minh M thuộc hypebol (H). Thật vậy:

  nên

⇒ M thuộc hypebol (H).

Bài 5 : Cho (H):. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của (H).

Đáp án:

Có: . Vậy hypebol có hai tiêu điểm là  và   và tiệu cự là

3. PARABOL

Bài 1 : Cho parabol (P): y = . Xét F(0; 1) và đường thẳng Δ: y + 1 = 0. Với điểm M(x; y) bất kì, chứng minh rằng MF = d(M, Δ) ⇔ M(x; y) thuộc (P).

Đáp án:

Ta có: ,

+ Giả sử , ta chứng minh M(x;y) thuộc (P). Thật vậy

Vậy M thuộc (P)

+ Giả sử M(x;y) thuộc (P), ta chứng minh

M thuộc  hay  thay vào biểu thức MF có:

Vậy

Bài 2: Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn Δ. Gọi p là tham số tiêu của (P) và H là hình chiếu vuông góc của F trên Δ. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF (H.7.27)

1. Nêu tọa độ của F và phương trình của Δ
2. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (P) khi và chỉ khi 

Đáp án:

1. a) Do là trung điểm , mà (tham số tiêu của ) nên tọa độ của  là: .

Đường thẳng Δ đi qua  và vuông góc với trục  nên có phương trình:

1. b) Ta có:

+ Giả sử M thuộc (P), ta chứng minh

Thật vậy: M thuộc

+ Giả sử

Ta chứng minh M thuộc (P). Thật vậy:

Vậy M thuộc (P).

Bài 3: Tại một vùng biển giữa đất liền và một đảo, người ta phân định một đường ranh giới cách đều đất liền và đảo. Coi bờ biển vùng đất liền đó là một đường thẳng và đảo là hình tròn. Hỏi đường ranh giới nói trên có hình gì? Vì sao?

Đáp án:

Trong mô hình này, ta có:  ( là bán kính đảo).

Gọi  là đường bờ biển. Gọi  là đường thẳng nằm tròn đất liền, song song với d, cách d một khoảng . Ta có:

Vậy tập hợp các điểm  thuộc đường parabol  có tiêu điểm là , đường chuẩn là . Vậy đường ranh giới cần tìm là đường parabol (P).

4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BA ĐƯỜNG CONIC

Bài 1:  Gương elip trong một máy tán sỏi thận (H.7.33) ứng với elip có phương trình chính tắc   (theo đơn vị cm). Tính khoảng cách từ vị trí đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán.

Đáp án:

Khoảng cách từ đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán là tiêu cự.

Ta có: ,  nên tiêu cự là .

Vậy khoảng cách từ đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán là 36 cm.