Đáp án Toán 7 cánh diều Chương VII bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

BÀI 11: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

Khởi động

Câu hỏi: Bạn Ngân gấp một miếng bìa hình tam giác để các nếp gấp tạo thành ba tia phân giác của các góc ở đỉnh của hình tam giác đó. Ba nếp gấp đó có đặc điểm gì?

Đáp án:

Ba nếp gấp đó cắt nhau tại 1 điểm.

I. Đường phân giác của tam giác

Bài 1: Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D (Hình 110). Các đầu mút của đoạn thẳng AD có đặc điểm gì?

Đáp án:

D là giao điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC.

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh AD cũng là đường trung tuyến của tam giác đó.

Đáp án:

Vì tam giác ABC cân tại A

=> Góc ABC = góc ACB (theo tính chất của tam giác cân)
Xét tam giác ABD và tam giác ACD ta có:

góc BAD = góc CAD(gt);

AB = AC(gt);

góc ABD = góc ACD(cmt)

Do đó tam giác ABD = tam giác ACD (g.c.g)

=> BD = CD

=> AD là trung tuyến của cạnh BC của tam giác ABC (đpcm)

II. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 1: Quan sát các đường phân giác AD, BE, CK của tam giác ABC (hình 114), cho biết ba đường phân giác đó có cùng đi qua một điểm hay không?

Đáp án:

Ba đường phân giác đó có cùng đi qua một điểm.

Bài 2: Tìm số đo x trong hình 115

Đáp án:

Trong tam giác ABC có BI và CI lần lượt là tia phân giác của góc B và góc C.

BI và CI cắt nhau tại I

=> I là giao của 3 đường phân giác trong tam giác ABC

=> x =  = 30⁰

Bài 3: Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: IA, IB, IC lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng NP, PM, MN.

Đáp án:

Gọi D là giao điểm của IC và MN; E là giao điểm của IA và PN; F là giao điểm của IB và PM.

Ta có: Trong tam giác ABC, ba đường phân giác cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác hay IM = IN = IP.

Xét tam giác vuông INC và tam giác vuông IMC:

     IC chung;

     IN = IM.

Vậy ΔINC = ΔIMC (cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên  =  (2 góc tương ứng).

Tương tự: ΔIPA = ΔINA (cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên  = (2 góc tương ứng).

     ΔIPB = ΔIMB  (cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên  =  (2 góc tương ứng).

Xét hai tam giác IDN và IDM có:

     ID chung;

      =

     IN = IM.

Vậy ΔIDN = ΔIDM (c.g.c)

⇒ DN = DM (2 cạnh tương ứng);

 =  ( 2 góc tương ứng)

Mà  + = 180⁰  (2 góc kề bù)

⇒  =  = 180⁰ : 2 = 90⁰

Suy ra: IC là đường trung trực của cạnh MN.

Tương tự ta có:

IA là đường trung trực của cạnh PN; IB là đường trung trực của cạnh PM.

III. Bài tập

Bài 1: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB.

1. Các tam giác IMN, INP, IPM có là tam giác cân không? Vì sao?
2. Các tam giác ANP, BPM, CMN có là tam giác cân không? Vì sao?

Đáp án:

1. Các tam giác IMN, INP, IPM là tam giác cân vì có hai cạnh bằng nhau.
2. Xét tam giác vuông INC và tam giác vuông IMC:

     IC chung;

     IN = IM.

Vậy ΔINC = ΔIMC (cạnh huyền – cạnh góc vuông). Suy ra: CN = CM ( 2 cạnh tương ứng).

Vậy tam giác CMN có là tam giác cân.

Tương tự, ta có: AP = AN; BP = BM.

Vậy các tam giác ANP, BPM, CMN có là tam giác cân.

Bài 2: Cho tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Chứng minh 

Đáp án:

1. a) I là giao điểm của ba đường phân giác tại ba góc A, B, Cnên:

      = ; = ; =

Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180° nên:

    +  +  = 180^∘

 +  +  +  +  +  = 180^∘

2 + 2 + 2 = 180^∘

Vậy  +  + = 90^∘

1. b) Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°. Xét tam giác BIC:

 + + = 180^∘

= 180^∘ − ( +)

Mà   ++  = 90^∘ → +  = 90^∘ −

Vậy: = 180^∘ − (+ )

= 180^∘ − (90^∘ − )

 = 90^∘ +  

Mà  =   (IA là phân giác của góc BAC).

Vậy   = 90^∘ +  = 90^∘ +

Bài 3: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I và AB < AC…

Đáp án:

1. a) Ta có: AB < ACnên > (góc ABC đối diện với cạnh AC; góc ACB đối diện với cạnh AB).

Mà BI và CI là hai đường phân giác của góc ABC và góc ACV nên >

1. b) Ta có: =

Mà >  (câu a) 

Do đó >

Mà IC đối diện với góc CBI; IB đối diện với góc BCI.

Vậy IC > IB (cạnh đối diện với góc lớn hơn thì có số đo độ dài lớn hơn).