BÀI 34: BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh tỉ lệ với . Cho biết và cạnh nhỏ nhất của là , hãy tính các cạnh còn lại của .

Giải:

Vì nên   cũng có độ dài các cạnh tỉ lệ với  

Giả sử  

Ta có  

Từ đó tính được  và  

Câu 2: Cho hình thang ABCD có AB//CD, , DB = 6cm và . Tính độ dài CD.

Giải:

Xét ΔABD và ΔBDC

; (so le trong)

⇒ (g – g)

⇒

Câu 3: Cho ABC vuông tại A có AK là đường cao AB = 12cm, AC = 16cm.

1. a) Chứng minh ∽
2. b) Chứng minh ∽

Giải:

1. a) Xét ∽(g.g)
2. b) Xét ∽ (g.g)

Câu 4: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác . Cho biết và , hãy tính độ dài các cạnh của tam giác nếu

1. a) lớn hơn là 10 cm;
2. b) lớn hơn là 10 cm.

Giải:

 Ta có    

1. a) Tính được . Từ đó tính được và
2. b) Tương tự câu a tính được , và

Câu 5: Cho hình thang ABCD , biết Chứng minh ∽

Giải:

Ta chứng minh được   và  

Từ đó suy ra ∽(c.g.c)

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Chứng minh 2 tam giác ABC và DEF đồng dạng và viết các cặp góc bằng nhau, nếu biết một trong các trường hợp sau

1. a) AB = 4cm, BC = 6cm, AC = 5cm, DE = 10cm, DF = 12cm, EF = 8cm.
2. b) AB = 24cm, BC = 21cm, AC = 27cm, DE = 28cm, DF = 36cm, EF = 32cm.  
3. c) AB = DE = 12cm, AC = DF = 18cm, BC = 27cm, EF = 8cm.

Giải:

1. a) Ta chia các cặp cạnh theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:
2. b) Ta chia các cặp cạnh theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:
3. c) Ta chia các cặp cạnh theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:

Câu 2: Cho ABC, biết AB = 3cm, AC = 6cm, BC = 4cm. Trên AB lấy điểm E sao cho  AE = 2cm, trên AC lấy điểm D sao cho AD = 1cm.

1. a) Chứng minh .
2. b) Chứng minh ∽
3. c) Tính độ dài đoạn DE.

Giải:

1. a)
2. b) Xét ∽
3. c) Do ∽

Câu 3: Cho ABC, biết AB = 7,5cm, AC = 9cm, BC = 12cm. Trên AB, AC theo thứ tự lấy điểm M và N sao cho AN = 3cm, AM = 2,5cm.

1. a) Chứng minh ∽
2. b) Tính độ dài đoạn MN.

Giải:

1. a) 

∽ (c.g.c)

1. b) Do ∽

Câu 4: Cho tam giác ABC. Gọi A, B, C lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.

1. a) Chứng minh  ∽
2. b) Tính chu vi của biết chu vi của bằng 54cm.

Giải:

1. a) , suy ra ngay ∽ (c.c.c)
2. b)

Câu 5: Cho tứ giác ABCD có ; ; ; ; . Chứng minh rằng tứ giác là hình thang.

Giải:

Ta có

Do đó

(c.c.c)

Mà hai góc ở vị trí so le trong

Do đó suy ra Tứ giác ABCD là hình thang.

Câu 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

1. a) Chứng minh OA.OD = OB.OC.
2. b) Đường thẳng qua O, vuông góc với AB, CD theo thứ tự tại H, K. Chứng minh

Giải:

1. a) ∽(đpcm)
2. b) ∽

Mà ∽ nên

Câu 7: Chứng minh rằng nếu A’B’C’ đồng dạng với ABC theo tỉ số k thì tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng cũng bằng k.

Giải: 

1. a)  ∽có AD và lần lượt là trung tuyến xuất phát từ đỉnh A và A’ xuống cạnh BC và B’C’ của hai tam giác đó.

Ta có   và có . 

Vậy ∽ (c.g.c) 

Từ đó suy ra

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Cho hình thoi ABCD có . Gọi M là một cạnh thuộc cạnh AD. Đường thẳng CM cắt đường thẳng AB tại N.

1. a) Chứng minh ;
2. b) BM cắt DN tại P. Tính góc .

Giải:

1. a) Ta có ( do AD // BC) suy ra ∽ hay (1)  (vì BC = AB).

Ta có NA // DC ( do AB // DC) suy ra ∽hay (2) (vì ).

Từ (1) và (2) suy ra hay .

1. b) Từ

Xét BND và DBM có và .

Suy ra ∽(c.g.c)

Mà nên .

Câu 2: Cho tam giác ABC có ; ; . Chứng minh rằng

Giải:

Trên đoạn thẳng BC lấy điểm D sao cho  

⇒  ⇒ nên cân tại C

do vậy (1)

và có chung và

Suy ra ∽ (c.g.c) ⇒(2)

Từ (1) và (2) ta có

Do đó

Câu 3: Cho ABC có , . Gọi D và E là hai điểm lần lượt trên các cạnh AB, AC sao cho , . Chứng minh 

1. a) ∽
2. b)
3. c)

Giải:

1. a) Xét tam giác AEB và tam giác ADC có                          

;

 Mặt khác lai có góc A chung                                            

∽ (c.g.c)

1. b) Chứng minh tương tự câu a) ta có ∽

  (hai góc tương ứng)

1. c) Theo câu b) ta có∽  

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác đó. Trên cạnh OA lấy điểm D sao cho . Qua D vẽ các đường thẳng  song song với AB, AC lần lượt cắt OB, OC tại E và F

1. a) Chứng minh

b)Tính độ dài DE, AB biết hiệu độ dài hai cạnh đó là 12cm

1. c) Tính chu vi của DEF, biết rằng tổng chu vi của ABC và DEF là 120cm.

Giải:

1. a) Ta có suy ra

(1)

Tương tự: (2)

Do đó ( theo định lí Ta let đảo)

(3)

Từ (1) và (2); (3) suy ra

( c.c.c)

1. b) Ta có mà

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau có

1. c) Ta có tỉ số về chu vi bằng tỉ số đồng dạng

theo tỉ số đồng dạng

Do đó

Mà theo giả thiết

Câu 2: Cho cân tại A. Lấy M tùy ý thuộc BC, kẻ MN song song với AB (với N ∈ AC), kẻ MP song song với AC ( với P ∈ AB). Gọi O là giao điểm của BN và CP. Chứng  minh rằng .

Giải:

Giả sử . Gọi Q là giao điểm MO và AB ; K là giao điểm CP và MN.

Vì   là hình bình hành nên (1) 

Vì ∆ABC cân tại A nên suy ra cân tại P và cân tại N.

Do đó và kết hợp với

suy ra (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∽ (c.g.c) ⇒ hay (Đpcm)