CHƯƠNG VIII: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG. HÌNH ĐỒNG DẠNG

BÀI 6: TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ NHẤT CỦA TAM GIÁC

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (7 câu)

Câu 1: Hai tam giác mà các cạnh có độ dài như sau có đồng dạng không? Tại sao?

1. a) 4cm, 5cm, 6cm và 8mm, 1cm, 12mm.
2. b) Tam giác ABC vuông tại A, có và tam giác vuông tại , có

Giải

1. a) Đổi sang đơn vị mm, ta lập được tỉ số:

Từ đó kết luận hai tam giác đồng dạng.

1. b) Theo định lý Pytago, tính được

Vì   nên hai tam giác không đồng dạng.

Câu 2:  Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh tỉ lệ với . Cho biết và cạnh nhỏ nhất của là , hãy tính các cạnh còn lại của .

Giải

Vì nên   cũng có độ dài các cạnh tỉ lệ với  

Giả sử  

Ta có  

Từ đó tính được  và  

Câu 3: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác . Cho biết và , hãy tính độ dài các cạnh của tam giác nếu:

1. a) lớn hơn là 10 cm;
2. b) lớn hơn là 10 cm.

Giải: 

Ta có    

1. a) Tính được . Từ đó tính được và
2. b) Tương tự câu a tính được , và

Câu 4: 

Cho hai tam giác ABC và A'B'C' có kích thước như trong hình

a, chứng minh ABC ~A'B'C'

b, tính tỉ số chu vi của ABC với A'B'C'

Giải

a, Ta có:  

ABA'B'=64=32;ACA'C'=96=32;BCB'C'=128=32

⇒ ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'=32

⇒ ABC ~A'B'C' (c-c-c)

b, Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'=AB+AC+BCA'B'+A'C'+B'C'=CABCCA'B'C'=32

Với CABC và CA'B'C' lần lượt là chu vi của hai tam giác ABC, A'B'C')

Vậy tỉ số chu vi của tam giác ABC và chu vi của tam giác A’B’C’ là 32

Câu 5: 

Tam giác ABC có độ dài các cạnh là AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 7cm. Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác A'B'C' và có chu vi bằng 55cm. Hãy tính độ dài của các cạnh tam giác A'B'C' (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Giải

Vì ABC ~A'B'C' (gt)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'=AB+AC+BCA'B'+A'C'+B'C'=CABCCA'B'C'

Hay 3A'B'=5A'C'=7B'C' =CABC55=3+7+555=1555=311

Với CABC và CA'B'C' lần lượt là chu vi của hai tam giác ABC, A'B'C')

+) 3A'B'=311A'B'=3.113=11cm

+) 7B'C'=311B'C'=7.113≈25,67 cm

+) 5A'C'=311A'C'=5.113≈18,33 cm

Câu 6: 

Cho hai tam giác đồng dạng có tỉ số chu vi là 1517 và hiệu độ dài hai cạnh tương ứng của chúnglà 12,5 cm. Tính hai cạnh đó.

Giải: 

Giả sử ∆A'B'C' đồng dạng ∆ABC và AB-A'B'=12,5 cm

Vì ∆A'B'C' đồng dạng ∆ABC (giả thiết) nên ta có:

A'B'AB=B'C'BC=C'A'CA=A'B'+B'C'+C'A'AB+BC+CA=CA'B'C'CABC=1517

Với CABC và CA'B'C' lần lượt là chu vi của hai tam giác ABC, A'B'C')

Do đó, A'B'AB=1517

ABA'B'=1715

⇒ ABA'B'-1=1715-1

AB-A'B'A'B'=17-1515

12,5A'B'=215

A'B'=152 . 12,5=93,75 cm 

⇒AB=12,5+93,75=106,25 cm

Câu 7: Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại O. Gọi P, Q, R theo thứ tự là trung điểm của OA,OB,OC. Chứng minh PQR~ABC

Giải: 

Theo tính chất đường trung bình của tam giác ABC, suy ra PQAB=PRAC=QRBC=12

Vì vậy PQR~ABCc.c.c

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Câu 1:  Cho ABC vuông tại A và DEF vuông tại D có BC = 10cm, AC = 8cm, EF = 5cm, DF = 4cm.

1. a) Tính AB, DE.
2. b) Chứng minh: .
3. c) Chứng minh:

Giải:

1. a) Tính AB, DE.
2. b)
3. c)

Câu 2:  Cho tam giác ABC. Gọi A, B, C lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.

1. a) Chứng minh
2. b) Tính chu vi của biết chu vi của bằng 54cm.

Giải: 

1. a) , suy ra ngay (c-c-c)
2. b)

Câu 3: 

Cho ABC∼DEF theo tỉ số 35 . Tính chu vi của mỗi tam giác biết hiệu chu vi của hai tam giác là 20cm.

Giải: 

Kí hiệu P(ABC) là chu vi ABC. Vì ABC∼DEF theo tỉ số k=35 nên ta có

PABCP(DEF)=35PDEF5=PABC3=PDEF-PABC2=10

Từ đó ta được P(ABC) = 30cm và P(DEF) = 50cm.

Câu 4: 

Cho ABC∼DEF. Biết AB= 4cm, BC= 6cm, CA= 8cm và chu vi DEF là 9cm. Tính độ dài các cạnh của DEF

Giải:

Vì ABC∼DEF nên ta có: 

ABDE=BCEF=CAFD=PABCPDEF=189=2

Từ đó ta có được DE=AB2=2 cm, EF=BC2=3 cm;FD=CA2=4 cm

Câu 5:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 10cm, AC= 20cm. Trên AC lấy M sao cho AM = 5cm

a, Tính độ dài BC, BM

b, Chứng minh ABC~AMB

Giải:

1. a) Áp dụng định lý Py-ta-go tính được BC = 105 cm, BM=55
2. b) Ta có: BMBC=AMAB=ABAC=12 ΔABC~AMB(c.c.c)

3. VẬN DỤNG ( 3 câu)

Câu 1:  Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác đó. Trên cạnh OA lấy điểm D sao cho . Qua D vẽ các đường thẳng  song song với AB, AC lần lượt cắt OB, OC tại E và F

1. a) Chứng minh

b)Tính độ dài DE, AB biết hiệu độ dài hai cạnh đó là 12cm

1. c) Tính chu vi của DEF, biết rằng tổng chu vi của ABC và DEF là 120cm.

Giải

1. a) Ta có: suy ra:

(1)

Tương tự: (2)

Do đó: ( theo định lí Ta let đảo)

(3)

Từ (1) và (2); (3) suy ra

( c.c.c)

1. b) Ta có: mà . Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau có
2. c) Ta có tỉ số về chu vi bằng tỉ số đồng dạng

theo tỉ số đồng dạng

Do đó:

Mà theo giả thiết:

Câu 2:  Cho tứ giác ABCD có ; ; ; ; . Chứng minh rằng tứ giác   là hình thang.

Giải

Ta có:

Do đó:

(c.c.c)

Mà hai góc ở vị trí so le trong

Do đó suy ra: Tứ giác ABCD là hình thang.

Câu 3:  Chứng minh 2 tam giác ABC và DEF đồng dạng và viết các cặp góc bằng nhau, nếu biết một trong các trường hợp sau:

1. a) AB =4cm, BC = 6cm, AC = 5cm, DE = 10cm, DF = 12cm, EF = 8cm.
2. b) AB = 24cm, BC = 21cm, AC = 27cm, DE = 28cm, DF = 36cm, EF = 32cm.  
3. c) AB = DE = 12cm, AC = DF = 18cm, BC = 27cm, EF = 8cm.

Giải: 

1. a) Ta chia các cặp cạnh theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:
2. b) Ta chia các cặp cạnh theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:
3. c) Ta chia các cặp cạnh theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: 

Tứ giác ABCD có AB = 9cm, BC = 20cm, CD = 25cm, AD = 12cm, BD = 15cm.

a, Chứng minh ΔABD ~ ΔBDC     

b, Chứng minh ABCD là hình thang vuông

Giải

a, Ta có: ABBD=ADBC=BDDC vì915=1220=1525=35

Nên ΔABD ~ ΔBDC (c - c - c)

b, ΔABD ~ ΔBDC nên góc ABD = BDC.

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Vậy ABCD là hình thang.

Lại có BD2 = 225 = AD2 + AB2 nên ΔABD vuông tại A. Do đó ABCD là hình thang vuông

Câu 2:

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F theo thứ tự làm trung điểm của BC, CA, AB. Các điểm A’, B’, C’ theo thứ tự là trung điểm của EF, DF, DE. Chứng minh A'B'C'~ABC , tìm tỉ số k

Giải 

Vì D, E, F theo thứ tự làm trung điểm của BC, CA, AB nên EF, ED, FD là các đường trung bình của tam giác ABC nên EFBC=FDAC=EDAB=12 suy ra ΔABC ~ ΔDEF c – c – ctheo tỉ số đồng dạng k = 2.

Tương tự ta có A’B’, B’C’, C’A’ là các đường trung bình của tam giác DEF nên ΔA’B’C’ ~ ΔDEF theo tỉ số k = 12.

Theo tính chất đường trung bình B'CEF=12 mà EFBC=12cmtB'C'BC=14

Tương tự A'B'AB=A'C'AC=14 , do đó A'B'C'~ABC theo tỉ số k=14