BÀI 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Cho 2<<. Xác định dấu của các giá trị lượng giác
a) sin⁡32-
b) cos⁡+2
c) tan⁡(+);
d) cot⁡-2

Giải:

1. a) Ta có -<-<-2, do đó 2<32-<.

Vì vậy sin⁡32->0.

32. b) Từ 2<< suy ra <+2<32.

Vì vậy cos⁡+2<0.

1. c) Vì 32<+<2 nên tan⁡(+)<0.
2. d) Vì 0<-2<2 nên cot⁡-2>0.

Câu 2: 

1. a) Cho Xác định dấu của các biểu thức sau: ;
2. b) Cho . Xác định dấu của các biểu thức sau :

 ;  ; ; ;

Giải:

1. a) Ta có

1. b)

Do

Câu 3: Tính các giá trị lượng giác của góc nếu
a) sin⁡=-25 và <<32;
b) cos⁡=0,8 và 32<<2;

Giải:

215. a) Vì <<32 nên cos⁡<0 mà cos2⁡=1-sin2⁡=1-425=2125, do đó cos⁡=-215.

Từ đó suy ra tan⁡=221,cot⁡=212.

1. b) Với 32<<2 thì sin⁡<0, do đó

sin⁡=-1-cos2⁡=-1-0,64=-0,36=-0,6. 

Từ đó suy ra tan⁡=-34,cot⁡=-43. 

Câu 4: Tính các giá trị lượng giác của góc nếu
a) tan⁡=138 và 0<<2;
b) cot⁡=-197 và 2<<.

Giải:

1. a) Với 0<<2 thì cos⁡>0. Từ hệ thức 1+tan2⁡=1cos2⁡ suy ra

cos2⁡=11+tan2⁡=64233 hay cos⁡=8233.  sin⁡=cos⁡tan⁡=8233138=13233,cot⁡=813.

1. b) Với 2<< thì sin⁡>0. Từ hệ thức 1+cot2⁡=1sin2⁡ ta được sin2⁡=11+cot2⁡=49410

Suy ra sin⁡=7410;cos⁡=sin⁡cot⁡=-19410;tan⁡=-719.

Câu 5: Cho <<32. Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau
a) cos⁡-2
b) sin⁡2+
c) tan⁡32-
d) cot⁡(+).

Giải:

1. a) Với <<32 thì 2<-2<, do đó cos⁡-2<0.
   b) 32<2+<2 nên sin⁡2+<0.
   c) 0<32-<2 nên tan⁡32->0.
   d) 2<+<52 nên cot⁡(+)>0.

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho tan⁡=35, tính giá trị các biểu thức sau
a) A=sin⁡+cos⁡sin⁡-cos⁡
b) B=3sin2⁡+12sin⁡cos⁡+cos2⁡sin2⁡+sin⁡cos⁡-2cos2⁡;
c) C=sin⁡cos⁡sin2⁡-cos2⁡.

Giải:

1. a) Vì tan⁡=35 nên cos⁡≠0, chia từ và mãu của biểu thức cho cos⁡, ta được

A=tan⁡+1tan⁡-1=35+135-1=-4

1. b) V1cos⁡≠0, chia cả tử và mã̃u của biểu thức cho cos2⁡, ta được

B=3tan2⁡+12tan⁡+1tan2⁡+tan⁡-2=3⋅925+12⋅35+1925+35-2=232-26=-11613.

1. c) Vi cos⁡≠0, chia cả tử và mẫu của biểu thức cho cos2⁡, ta được

C=tan⁡tan2⁡-1=35925-1=-1516

Câu 2: Chứng minh rằng với mọi , ta luôn có
a) sin⁡+2=cos⁡
b) cos⁡+2=-sin⁡;
c) tan⁡+2=-cot⁡
d) cot⁡+2=-tan⁡

Giải:

1. a) sin⁡+2=sin⁡2-(-)=cos⁡(-)=cos⁡.
2. b) cos⁡+2=cos⁡2-(-)=sin⁡(-)=-sin⁡.
3. c) tan⁡+2=sin⁡+2cos⁡+2=cos⁡-sin⁡=-cot⁡.
4. d) cot⁡+2=cos⁡+2sin⁡+2=-sin⁡cos⁡=-tan⁡.

Câu 3: Tính các giá trị lượng giác của góc , nếu
a) cos⁡=-14,<<32;
b) sin⁡=23,2<<;
c) tan⁡=73,0<<2;
d) cot⁡=-149,32<<2.

Giải:

1. a) <<32⇒sin⁡<0.

Vậy sin⁡=-1-cos2⁡=-1-116=-154, tan⁡=sin⁡cos⁡=15,cot⁡=115.

1. b) 2<<⇒cos⁡<0.

Vậy cos⁡=-1-sin2⁡=-1-49=-53, tan⁡=sin⁡cos⁡=-25,cot⁡=-52.

1. c) 0<<2⇒cos⁡>0,cos2⁡=11+tan2⁡.
2. d) 32<<2⇒sin⁡<0,sin2⁡=11+cot2⁡.

Vậy cos⁡=11+499=358,

Vậy sin⁡=-11+19681=-9277,

sin⁡=cos⁡tan⁡=758,cot⁡=37. 

cos⁡=sin⁡cot⁡=14277, tan⁡=1cot⁡=-914.

Câu 4: Biết sin⁡=34 và 2<<. Tính
a) A=2tan⁡-3cot⁡cos⁡+tan⁡
b) B=cos2⁡+cot2⁡tan⁡-cot⁡

Giải:

1. a) 2<<⇒cos⁡<0.

Ta có cos⁡=-1-sin2⁡=-1-916=-74,

tan⁡=sin⁡cos⁡=-37,cot⁡=-73

Vậy A=-67+7-74-37=-419. b) B=716+79-37+73=7×25144-237=-175796.

Câu 5: 

1. a) Tính giá trị biểu thức
2. b) Tính giá trị biểu thức

Giải:

1. a) Ta có

b).Vì

Do đó

Câu 6: Cho tan⁡-3cot⁡=6 và <<32. Tính
a) sin⁡+cos⁡
b) 2sin⁡-tan⁡cos⁡+cot⁡.

Giải:

Vì <<32 nên cos⁡<0,sin⁡<0 và tan⁡>0.

Ta có tan⁡-3cot⁡=6⇔tan⁡-3tan⁡-6=0

tan2⁡-6tan⁡-3=0. 

Vì tan⁡>0 nên tan⁡=3+23.

1. a) cos2⁡=11+tan2⁡=122+123

suy ra cos⁡=-122+123⋅sin⁡=-3+2322+123.

Vạy sin⁡+cos⁡=-4+2322+123.

1. b) 2sin⁡-tan⁡cos⁡+cot⁡=sin⁡2-1cos⁡cos⁡1+1sin⁡

=tan⁡2cos⁡-1cos⁡sin⁡sin⁡+1=tan2⁡2cos⁡-1sin⁡+1

=(3+23)2-222+123-1-3+2322+123+1=(21+123)⋅2+22+1233+23-22+123.

Câu 7: Chứng minh các đẳng thức
a) tan⁡-tan⁡cot⁡-cot⁡=tan⁡tan⁡;
b) tan⁡100+sin⁡5301+sin⁡640=1sin⁡10;
c) 2sin6⁡+cos6⁡+1=3sin4⁡+cos4⁡.

Giải:

1. a) tan⁡-tan⁡cot⁡-cot⁡=tan⁡-tan⁡1tan⁡-1tan⁡=tan⁡-tan⁡tan⁡-tan⁡tan⁡tan⁡=tan⁡tan⁡.
2. b) tan⁡100+sin⁡5301+sin⁡640=tan⁡90+10+sin⁡360+1701+sin⁡720-80

 =-cot⁡10+sin⁡1701-sin⁡80=-cos⁡10sin⁡10+sin⁡101-cos⁡10   =-cos⁡10+cos2⁡10+sin2⁡10sin⁡101-cos⁡10=1sin⁡10.

1. c) 2sin6⁡x+cos6⁡x+1=2sin2⁡x+cos2⁡xsin4⁡x-sin2⁡xcos2⁡x+cos4⁡x+1

 =2sin4⁡x+cos4⁡x+1-2sin2⁡xcos2⁡x   =2sin4⁡x+cos4⁡x+sin2⁡x+cos2⁡x2-2sin2⁡xcos2⁡x   =2sin4⁡x+cos4⁡x+sin4⁡x+cos4⁡x   =3sin4⁡x+cos4⁡x

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Chứng minh các đẳng thức

1. a) sin3⁡+cos3⁡sin⁡+cos⁡=1-sin⁡cos⁡
2. b) sin2⁡-cos2⁡1+2sin⁡cos⁡=tan⁡-1tan⁡+1;
3. c) sin4⁡+cos4⁡-sin6⁡-cos6⁡=sin2⁡cos2⁡.

Giải:

1. a) sin3⁡+cos3⁡sin⁡+cos⁡=(sin⁡+cos⁡)sin2⁡-sin⁡cos⁡+cos2⁡sin⁡+cos⁡

 =sin2⁡-sin⁡cos⁡+cos2⁡   =1-sin⁡cos⁡.

1. b) sin2⁡cos2⁡1+2sin⁡cos⁡=(sin⁡-cos⁡)(sin⁡+cos⁡)(sin⁡+cos⁡)2

=sin⁡-cos⁡sin⁡+cos⁡

Chia cả tử và mẫu cho cos⁡ ta được tan⁡-1tan⁡+1.

1. c) sin4⁡+cos4⁡-sin6⁡+cos6⁡

 =sin4⁡+cos4⁡-sin2⁡+cos2⁡sin4⁡-sin2⁡cos2⁡+cos4⁡   =sin4⁡+cos4⁡-sin4⁡+sin2⁡cos2⁡-cos4⁡   =sin2⁡cos2⁡.

Câu 2: Rút gọn các biểu thức
a) A=(1+cot⁡)sin3⁡+(1+tan⁡)cos3⁡; b) B=sin2⁡+2cos2⁡-1cot2⁡;
c) C=sin2⁡-tan2⁡cos2⁡-cot2⁡;
d) D=(sin⁡+cos⁡)2-1cot⁡-sin⁡cos⁡

Giải:

1. a) A=1+cos⁡sin⁡sin3⁡+1+sin⁡cos⁡cos3⁡

=(sin⁡+cos⁡)sin2⁡+(cos⁡+sin⁡)cos2⁡

=(sin⁡+cos⁡)sin2⁡+cos2⁡=sin⁡+cos

1. c) C=sin2⁡1-1cos2⁡cos2⁡1-1sin2⁡=sin2⁡cos2⁡-1cos2⁡cos2⁡sin2⁡-1sin2⁡=
2. b) B=2cos2⁡-1-sin2⁡cot2⁡=cos2⁡cot2⁡=sin2⁡. =sin4⁡-sin2⁡cos4⁡-cos2⁡=tan6⁡. 
3. d) D=sin2⁡+cos2⁡+2sin⁡cos⁡-1cos⁡1sin⁡-sin⁡

=2sin⁡cos⁡cos⁡1-sin2⁡sin⁡=2sin2⁡cos2⁡=2tan2⁡.

Câu 3: Cho tan⁡+cot⁡=m, hãy tính theo m
a) tan2⁡+cot2⁡;
b) tan3⁡+cot3⁡.

Giải:

1. a) tan2⁡+cot2⁡=(tan⁡+coi⁡)2-2tan⁡cot⁡=m2-2;
2. b) tan3⁡+cot3⁡=(tan⁡+cot⁡)tan2⁡-tan⁡cot⁡+cot2⁡=mm2-3. 

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho góc thỏa mãn và . Tính

Giải:

Với suy ra .

Ta có

.

(loại)

Từ hệ thức , suy ra (do )

và

Thay và vào , ta được

Câu 2: Chứng minh rằng với mọi làm cho biểu thức sin⁡+tan⁡cos⁡+cot⁡ có nghĩa, biểu thức đó không thể là một số âm. 

Giải:

Ta có

sin⁡+tan⁡cos⁡+cot⁡=sin⁡1+1cos⁡cos⁡1+1sin⁡=sin2⁡(1+cos⁡)cos2⁡(1+sin⁡)

Vì 1+cos⁡≥0 và 1+sin⁡≥0 cho nên biểu thức đã cho không thể có giá tri là môt số âm.