Giáo án Toán 11 cánh diều Chương 8 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Trong Hình 9, cột gỗ thẳng đứng và sàn nhà nằm ngang gợi nên hình ảnh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng được hiểu như thế nào?

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai HĐ1 cho HS đọc nội dung và dự đoán về kết quả.

+ GV mời một số HS dự đoán kết quả.

 Thống qua kết quả dự đoán của HS, GV kết luận: Đường thẳng  vuông góc với mọi đường thưởng trong mặt phẳng .

- GV vẽ hình (hoặc trình chiếu) Hình 11, giới thiệu cho HS về Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vở.

- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.

Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại kiến thức.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Khái niệm một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

I. Định nghĩa

HĐ1

Dự đoán: Đường thẳng  và đường thẳng  vuông góc với nhau.

Định nghĩa

Đường thẳng  được gọi là vuông góc với mặt phẳng  nếu đường thẳng  vuông góc với mọi đường thẳng  trong mặt phẳng , kí hiệu  hoặc .

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai HĐ2 cho HS quan sát hình 12 và thực hiện suy nghĩ yêu cầu.

+ GV mời 2 - 3 bạn HS trình bày câu trả lời cho HĐ2.

(Không cần lí giải)

+ GV nhận xét, và chỉ cho HS thấy rằng: Nếu  đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng.

 GV trình chiếu Định lí trong khung kiến thức trọng tâm.

- GV gợi ý cho HS thực hiện Ví dụ 1

+ Theo giả thiết:

 có cắt nhau không? Cắt nhau trong mặt phẳng nào?

+ Theo đúng định nghĩa thì có suy ra được  không?

+  có thuộc  không? Từ đó suy ra .

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi thực hiện Luyện tập 1

+ Vận dụng định nghĩa và phương pháp đã tìm hiểu trên Ví dụ 1 để thực hiện

+ GV mời 1 HS lên bảng vẽ hình; 1 HS lên bàng trình bày đáp án.

+ GV nhận xét và chữa bài chi tiết cho HS.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vở.

- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.

Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại kiến thức.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Điều kiện để một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

HĐ2

Ta thấy để cửa tròn xoay được trên mặt đất thì trục cửa phải vuông góc với mặt đất.

Vậy

Định lí

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Ví dụ 1: (SGK – tr.81)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.81)

Luyện tập 1

Vì  =>

Vì  là hình thoi =>

Xét  và  có:

 => .

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai HĐ3, vẽ hình 14, cho HS thảo luận nhóm đôi thực hiện các yêu cầu của HĐ.

a) Theo giả thiết ,

Vậy theo định lí phần II ta suy ra được điều gì?

b) GV mời 1 - 2 HS nêu dự đoán của mình cho câu hỏi b.

 GV chốt đáp án và giới thiệu: Kết quả của phần HĐ3 chính là tính chất thứ nhất của đường thẳng vuông góc vớ mặt phẳng.

+ GV ghi bảng hoặc trình chiếu Tính chất 1.

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví dụ 2

+ Lấy một điểm .

+ Ở đây phải xét hai trường hợp xảy ra:

• Nếu  =>

• Nếu . Gọi  là đường thẳng qua  và .

Khi đó, có một  đi qua  Vậy  thì  có vuông góc với  không?  có vuông góc với  không?

+ Vậy theo tính chất 1 có suy ra được  không?

+ Từ đó suy ra .

- GV gợi ý cho HS thực hiện Ví dụ 3

+ Xét điểm  là trung điểm của  hay

+ Xét hai trường hợp:

• Nếu  thì  có thuộc  không?

• Nếu , theo giá thiết thì  có gì đặc biệt? Từ đó nêu nhận xét về  và .

+ Vận dụng kết quả của Ví dụ 2, để suy ra  từ đó suy ra điều phải chứng minh.

- GV cho HS thảo luận nhóm 3 thực hiện yêu cầu của Luyện tập 2

+ Các nhóm vận dụng tính chất 1, các phương pháp đã thực hiện trong 2Vis dụ để đưa ra câu trả lời.

+ GV chỉ định 2 HS nêu đáp án; Các nhóm khác lắng nghe và nhận xét.

+ GV chữa bài và chốt đáp án cho HS.

- GV triển khai HĐ4 cho HS thảo luận nhóm đôi thực hiện yêu cầu.

 GV gợi ý:

+ Chứng minh  và

+ Theo giả thiết,  vậy theo định lí của phần II, suy ra mối quan hệ gì giữa  và ?

+ GV chỉ định 1HS lên bảng trình bày lời giải câu a.

+ HS thảo luận và trình bày đáp án câu b.

 GV khái quát kết quả và trình bày Tính chất 2 cho HS theo khung kiến thức SGK.

- HS thực hiện tìm hiểu Ví dụ 4 theo hướng dẫn trong SGK.

+ GV mời 1 HS trình bày và giải thích đáp án.

- GV triển khai phần Luyện tập 3 cho HS thảo luận với bạn cùng bàn để thực hiện trả lời.

+ GV nhắc: Vận dụng tính chất Chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Từ đó giải bài toán

+ GV mời 1 HS lên bảng trình bày đáp án.

+ GV nhận xét, chữa bài chi tiết và lưu ý kinh nghiệm làm bài cho HS.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vở.

- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.

Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại kiến thức.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

III. Tính chất

HĐ3

a) Ta có:  =>

b) Chỉ có một mặt phẳng duy nhất đi qua điểm  và vuông góc với .

Tính chất 1

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Ví dụ 2: (SGK – tr. 82)

Hướng dẫn giải (SGK- tr.82)

Ví dụ 3: (SGK – tr.82)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.82)

Luyện tập 2

Vì sàn nhà là một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng . Mà đường thẳng  luôn nằm trên mặt phẳng đó nên đường thẳng  luôn vuông góc với đường thẳng  

HĐ4

a) Ta có: =>

Lại có: =>

Vì  =>

b) Chỉ có duy nhất 1 đường thẳng đi qua  và vuông góc với

Tính chất 2

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Ví dụ 4: (SGK – tr.83)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.83)

Luyện tập 3

Vì chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước nên nếu:

 =>

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai HĐ5 cho HS quan sát hình 19 và suy nghĩ các câu hỏi trong HĐ.

+ GV mời 1 HS nhắc lại tính chất Từ vuông góc đến song song và Từ song song đến vuông góc trong hình học phẳng.

+ Áp dụng, HS nêu câu trả lời của mình cho phần a) và b) của HĐ.

 GV nhận xét: Kết quả của HĐ3 chính là mói liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong không gian.

+ GV mời 2 HS khái quát đáp và trình bày tổng quát về Tính chất này.

+ GV chính xác hóa đáp án bằng cách trình bày tính chất trong khung kiến thức.

- GV gợi ý cho HS thực hiện Ví dụ 5

+ Chứng minh  là đường trung bình của  để suy ra

+ Theo giải thiết  từ đó suy ra .

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi thực hiện Luyện tập 4

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng vẽ hình.

+ Chứng minh

+ Sử dụng định lí Thalès cho .

 GV chỉ định 1 HS nhắc lại định lí Thalès trong tam giác.

+ Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

+ GV mời 1 HS lên bảng trình bày bài giải.

- GV triển khai HĐ6 cho HS quan sát hình 21 và suy nghĩ các câu hỏi trong HĐ.

+ GV mời 2 HS nêu dự đoán cho kết quả của câu a) và câu b).

+ GV chốt đáp án.

 Từ kết quả của HĐ6, GV trình bày Tính chất 4 cho HS hiểu về mỗi quan hệ từ song song với vuông góc, và ngược lại, trong không gian.

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví dụ 6

+ Theo giả thiết:

=>

+ Tương tự chứng minh được

+ Vậy theo tính chất 3, ta suy ra được .

- HS đọc – hiểu Ví dụ 7 theo hướng dẫn của SGK và trình bày vào vở.

- HS thảo luận nhóm đôi thực hiện Luyện tập 5

+ GV mời 1 HS lên bảng vẽ hình, phân tích đề bài, nêu hướng giải quyết bài toán.

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng trình bày bài giải.

+ GV nhận xét, chữa bài chi tiết cho HS.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vở.

- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.

Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại kiến thức.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Liên hệ giữ quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

HĐ5

a) Nếu hai đường thẳng  và  song song với nhau và mặt phẳng vuông góc với đường thẳng  thì mặt phẳng  có vuông góc với đường thẳng  

b) Nếu hai đường thẳng  và  cùng vuông góc với mặt phẳng  thì chúng có song song với nhau

Tính chất 3

+ Cho hai đường thẳng song song. Một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kai.

+ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Ví dụ 5: (SGK – tr.84)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.84)

Luyện tập 4

Do  =>

Xét  có  =>  (định lí Thalès).

HĐ6

a) Nếu  và  thì

b) Nếu  và  thì

Tính chất 4

+ Cho hai mặt phẳng song song. Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này thì vuông góc với mặt phẳng kia.

+ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Ví dụ 6: (SGK – tr.84)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.85)

Ví dụ 7: (SGk – tr.85)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.85)

Luyện tập 5

Do =>

=> .