BÀI 21: TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

(20 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Bài 1: Lập những tỉ số bằng nhau từ những phân thức dưới đây:

ab = cd ; bc = ad ; a+cb+d ; a+bc+d

Đáp án:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

ab=cd=a+cb+d 

bc = ad=a+bc+d

Bài 2: Tìm x, y biết x + y = 42 và x3 = y4 

Đáp án:

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ( DTSBN) ta có x3=y4=x+y3+4=427=6

Từ đó tìm được x = 18; y= 24

Bài 3: Tìm x, y biết x - y = 5 và x8 = y3

Đáp án:

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ( DTSBN) ta có x8=y3=x-y8-3=55=1

Từ đó tìm được x = 8; y = 3

Bài 4: Cho xy = 1,052,1 và y - x = 21. Tìm x, y

Đáp án:

Ta có: xy = 1,052,1 x1,05=y2,1

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x1,05=y2,1=y-x2,1-1,05=211,05=20 

x1,05=20 ; y2,1=20

⇒x=21;y=42 

Vậy x=21;y=42

Bài 5: Cho x3 = y4=z8 và x + y + z = -75. Số lớn nhất trong ba số x, y, z là gì?

Đáp án:

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức, ta có:

x3 = y4=z8=x+y+z3+4+8=-7515=-5

x3 = -5 ; y4 = -5 ; z8 = -5

⇒x=-15; y = - 20 ; z = - 40.

Vậy x là số lớn nhất.

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Bài 1: Cho 9x = 5y và y - x = 20. Tìm x, y

Đáp án:

Ta có 9x = 5y 

x5 = y9

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x5 = y9=y-x9-5=204=5

⇒x=5.5=25;y=5.9=45 

Vậy x = 25, y = 45

Bài 2: Tìm x, y, x biết rằng:

a, x3 = y5=z6 và x+2y-3z=15

b, x5 = y4 và y6 = z7; x-2y+z=15

Đáp án:

a, Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x3 = y5=z6=2y10=3z18=x+2y-3z3+10-18=15-5=-3

x3=-3⇒x=-9 

y5=-3⇒y=-15 

z6=-3⇒z=-18 

Vậy x=-9; y=-15; z=-18

b, 

Ta có x5 = y4 x15=y12 ; y6 = z7y12=z14

x15=y12=z14 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x15=y12=z14=2y24=x-2y+z15-24+14=155=3 

x15=3⇒x=45 

y12=3⇒y=36 

z14=3⇒z=42 

Vậy x=45; y=36; z=42

Bài 3: Một tam giác có chu vi là 132cm và có ba cạnh tỉ lệ với 3; 4; 5. Tính cạnh lớn nhất của tam giác này.

Đáp án:

Gọi ba cạnh của tam giác này là a, b, c (a, b, c > 0)

Ta có tam giác có chu vi là 132cm và có ba cạnh tỉ lệ với 3; 4; 5

⇒a+b+c=132 ;a3=b4=c5 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

a3=b4=c5=a+b+c3+4+5=13212=11 

⇒a=33;b=44;c=55 

Vậy cạnh lớn nhất của tam giác dài 55cm

Bài 4: Hùng và Dũng có số bi lần lượt tỉ lệ với 3; 5. Biết rằng Hùng có số bi ít hơn Dũng là 6 viên. Tính số viên bi của mỗi bạn.

Đáp án:

Gọi số bi của Hùng và Dũng lần lượt là a và b ( viên bi a, b N*). 

Theo đề bài ta có a3=b5 và b - a = 6. 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có a3=b5=b-a5-3 = 3 => a = 9 ; b = 15

Vậy số bi của Hùng và Dũng lần lượt là 9 và 15 viên bi.

Bài 5: Một miếng đất hình chữ nhật có tỉ lệ độ dài hai cạnh là 4:5 và có chu vi bằng 72m. Tính diện tích của miếng đất này.

Đáp án:

Gọi độ dài hai cạnh của miếng đất lần lượt là là x và y (mét)

Theo đề bài, chu vi của miếng đất bằng 72m 

⇒2x+y=72 

⇒x+y=36 

Ta có, tỉ lệ độ dài hai cạnh của miếng đất là 4:5

x4=y5 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x4=y5=x+y4+5=369=4 

x4=4 ⇒x=4.4=16 

y5=4 ⇒y=5.4=20

⇒x.y=16.20=320m2 

Vậy diện tích của miếng đất hình chữ nhật bằng 320m2

Bài 6: Hãy chia số 32 thành ba phần với tỉ lệ 3, 7, 6 

Đáp án:

Gọi 3 phần được chia ra từ 32 là a, b, c (a, b, c > 0)

Theo đề bài ta có a + b + c = 32 và a3 = b7=c6

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

a3 = b7=c6=a+b+c3+7+6=3216=2

⇒a=6;b=14;c=12 

Vậy số 32 được chia làm 3 phần 6, 14 và 12

Bài 7: Cho ab = bc=ca. Chứng minh rằng a = b = c 

Đáp án:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

ab = bc=ca=a+b+cb+c+a=1 

ab=1; bc=1; ca=1

⇒a=b;b=c;c=a 

⇒a=b=c (ĐPCM)

3. VẬN DỤNG (5 câu)

Bài 1. Tìm các bộ số x, y thỏa mãn x7=y5 và x2-y2=24

Đáp án:

Ta có x7=y5 ⇒ x272=y252

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x272=y252=x2-y272-52=2424=1 

x2=49;y2=25 

⇒x=7 hoặc x=-7;y=5 hoặc y=-5 

Lại có x7=y5 x và y cùng dấu

Vì vậy x=7, y=5 hoặc x=-7, y=-5 

Bài 2: Tìm x, y, z biết rằng:

a, x+13 = y-24=z+36 và x+2y-z=11

b, 3x2 = 3y4=4z5; x+y-z=-18

Đáp án:

a, Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x+13 = y-24=z+36= 2y-48=x+1+2y-4-(z+3)3+8-6=x+2y-z+(1-4-3)5=11-65=1

x+13=1⇒x+1=3 ⇒x=2 

y-24=1⇒y-2=4⇒y=6 

z+36=1⇒z+3=6 ⇒z=3

Vậy x=2; y=6; z=3

b, 

Ta 3x2 = 3y4=4z5 x8 = y16=z15

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x8 = y16=z15=x+y-z8+16-15=-189=-2 

x8=-2⇒x=-16 

y16=-2⇒y=-32 

z15=-2⇒z=-30 

Vậy x=-16; y=-32; z=-30

Bài 3: Ba lớp 8A, 8B, 8C có tất cả 105 học sinh. Số học sinh lớp 8A bằng 67 số học sinh lớp 8B, số học sinh lớp 8B bằng 78 số học sinh lớp 8C. Tính số học sinh của lớp 8B.

Đáp án:

Gọi số học sinh ba lớp 8A, 8B, 8C lần lượt là x, y, z (x, y, z N*)

Ta có, Ba lớp 8A, 8B, 8C có tất cả 105 học sinh. Số học sinh lớp 8A bằng 67 số học sinh lớp 8B, số học sinh lớp 8B bằng 78 số học sinh lớp 8C.

⇒x+y+z=105;x=67y;y=78z 

x=67y ⇒x6=y7 

y=78z ⇒y7=z8 

x6=y7=z8 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x6=y7=z8=x+y+z6+7+8=10521=5 

y7=5⇒y=35 

Vậy lớp 8B có 35 học sinh.

Bài 4: Nếu ab = cd . Chứng minh rằng: 8a+5b8a-5b=8c+5d8c-5d 

Đáp án:

Ta có ab = cd ac=bd

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

ac=bd=8a8c=5b5d=8a+5b8c+5d=8a-5b8c-5d 

Vì 8a+5b8c+5d=8a-5b8c-5d ⇒ 8a+5b8a-5b=8a+5d8c-5d (ĐPCM)

Bài 5: Cho a, b, c, d là các số hữu tỉ dương và ab = cd

Chứng minh rằng: (a + 2c) (b + d) = (a + c) (b + 2d)

Đáp án:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

ab = cd=2c2d=a+cb+d=a+2cb+2d

a+cb+d=a+2cb+2d 

a+cb+2d=(b+d)(a+2c) (ĐPCM)

4. VẬN DỤNG CAO (3 câu)

Bài 1: Ba vòi nước cùng chảy vào một bể nước có dung tích 33,2 m3 từ lúc bể không có nước cho đến khi đầy. Biết rằng thời gian để chảy được 1m3 nước của vòi thứ nhất là 4 phút, vòi thứ hai là 5 phút và vòi thứ ba là 7 phút. Hỏi vòi nước chảy nhanh nhất chảy được bao nhiêu nước vào bể?

Đáp án:

Gọi lượng nước đã chảy vào bể của ba vòi lần lượt là a, b, c (m3 ) (với a, b, c > 0)

Vì thế, thời gian các vòi chảy vào bể tương ứng là 4a, 5b và 7c (phút)

Theo bài ra, ta có:

a + b + c = 33,2 và 4a = 5b = 7c 

Vì 4a = 5b = 7c 4a140=5b140=7c140 a35=b28=c20

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

a35=b28=c20=a+b+c35+28+20=33,283=0, 4 

Vì vậy a35=0,4 ⇒a=35.0,4=14 (m3)

b28=0,4 ⇒a=28.0,4=11,2 (m3)

c20=0,4 ⇒a=20.0,4=8 (m3)

Vậy lượng nước của ba vòi chảy vào bể lần lượt là 14m3; 11,2m3 và 8m3. Vì thế vòi nước chảy nhanh nhất là vòi 1, chảy được 14m3

Bài 2: Cho ab=bc=cd . Chứng minh rằng a+b+cb+c+d3=ad

Đáp án:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

ab=bc=cd=a+b+cb+c+d 

a+b+cb+c+d3=ab.bc.cd 

a+b+cb+c+d3=ad (ĐPCM)

Bài 3: Cho cy-bzx=az-cxy=bx-ayz . Chứng minh rằng ax=by=cz

Đáp án:

cy-bzx=az-cxy=bx-ayz=acy-bzax=baz-cxby=cbx-aycz= acy-bz+baz-cx+cbx-ayax+by+cz=acy-abz +abz-acx+bcx-acyax+by+cz=0 

cy-bzx=0; az-cxy=0 

⇒cy=bz;az=cx 

by=cz;cz=ax 

ax=by=cz (đpcm)