Bài tập file word Toán 10 Kết nối tri thức Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

BÀI 20 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG. GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH  (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng sau :

d1 : x – 3y + 3 = 0 và d2 : x – 3y – 7 = 0

Trả lời:

Vectơ pháp tuyến của 2 đường thẳng là n1 = ( 1;  -3) ; n2 = ( 1;  -3)

Ta thấy 1 .( -3 ) = (-3). 1 => n1 và n2 cùng phương => 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Mà A(0; 1) d1 nhưng A ∉ d2 => 2 đường thẳng song song.

Bài 2: Tìm góc giữa 2 đường thẳng : d1 : x + 3 y = 0 ; d2 : x + 10 = 0

Trả lời:

Vectơ pháp tuyến của 2 đường thẳng là n1 = ( 1; 3  ) ; n2 = ( 1;  0)

cos (d1; d2 ) = |n1.n2||n1|.|n2| = |1.1+ 3.0|1+3.1+ 0 = 12 => (d1; d2 ) = 600

Bài 3: Tính khoảng cách từ điểm M(2; -1) đến đường thẳng Δ : 3x – 4y – 12 = 0

Trả lời:

d( M; Δ) = |3.2-4.(-1)-12|32+42 = 25

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng sau và tìm giao điểm( nếu có)

2x − 5y + 3 = 0 và 5x + 2y − 3 = 0

Trả lời:

1. a) Ta có : 25 ≠  -52 => 2 đường thẳng cắt nhau

     Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ : 2x − 5y + 3 = 0 ; 5x + 2y − 3 = 0

      => x =  929  ; y = 2129

      Vậy 2 đường thẳng cắt nhau tại điểm (929; 2129)

Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d

1. a) A( 0; 2) ; d trùng với trục Ox b) A≡ O ; d : 3x + 4y – 225 = 0

Trả lời:

1. a) d trùng với trục Ox => d : y = 0 => d ( A; d) = |2|1 = 2
2. b) d( A; d) = |0+0-225|9+16 = 45

Bài 3: Tìm m để 2 đường thẳng sau vuông góc với nhau : Δ1 : 2x – 3y + 4 = 0 và 

 2 :{x=2-3t y=1-4mt

Trả lời:

Vectơ pháp tuyến của 2 đường thẳng là n1 = ( 2;  -3) ; n2 = ( 4m;  -3)

Hai đường thẳng vuông góc ⬄ n1 . n2 = 0 ⬄ 2.4m + (-3).(-3) = 0 ⬄ m = - 98

Bài 4: Tìm m để góc tạo giữa hai đường thẳng sau bằng 450

d1 : x + y - 10 = 0 và d2 : 2x + my + 97 = 0 

Trả lời:

Vectơ pháp tuyến của 2 đường thẳng là n1 = ( 1; 1  ) ; n2 = ( 2;  m)

cos (d1; d2 ) = |n1.n2||n1|.|n2| = |1.2+1.m|1+1.4+ m2 = cos 450 = 22 

=> 4 + m2 = 4 + 4m + m2 ⬄ m = 0 

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M (−2;−5) và song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất.

Trả lời:

+) Đường phân giác góc phần tư thứ nhất  Δ : x – y = 0

+) d // Δ => d: x – y + c = 0 ( c ≠ 0)

+) d đi qua M( -2; -5) => (-2) – (-5) + c = 0 => c = -3

Vậy d : x – y – 3 = 0

Bài 2: Tìm khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 : 7x + y - 3 = 0 ; d2 : 7x + y + 12 = 0 

Trả lời:

+) Vectơ pháp tuyến của 2 đường thẳng là n1 = ( 7; 1) ; n2 = ( 7;  1)

     => n1 và n2 cùng phương => 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau

     Mà A(0; 3) d1 nhưng A ∉ d2 => 2 đường thẳng song song

+) d (d1 ; d2) = d (M ; d2) = |7.0+3.1+12|72+ 12 = 322

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d // và cách đường thẳng Δ:  y – 3 = 0 một khoảng cách bằng 5

Trả lời:

d // Δ => d : y + c = 0

M(0; 3) Δ

d( d; Δ) = 5 ⬄ d ( M; d) = 5 => | 3+c|0+1 = 5 ⬄ 3 + c = 5 hoặc 3 + c = - 5

⬄ c = 2 hoặc c = -8

Vậy có hai phương trình thỏa mãn là y + 2 = 0 hoặc y – 8 = 0

Bài 4 : Cho đường thẳng ∆ : 3x − y +1 = 0 và điểm I(1;2) . Tìm phương trình đường thẳng ∆’ đối xứng với ∆ qua điểm I

Trả lời:

Lấy điểm M ( 0; 1) nằm trên đường thẳng ∆

Gọi điểm M’ đối xứng với M qua điểm I (1;2) => M' = (2;3) 

Đường thẳng ∆’ đối xứng với ∆ qua I là đường thẳng đi qua điểm M’ và song song với ∆ => có vectơ pháp tuyến n = (3;−1) 

Vậy phương trình của ∆’ là: 3(x − 2) − (y − 3) = 0 ⬄ 3x − y −3 = 0

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Tìm m để 3 đường thẳng sau đồng quy :

d1 : 2x + y - 4 = 0 ; d2 : 5x – 2y + 3 = 0 ; d3 : mx + 3y - 2 = 0 

Trả lời:

Tọa độ giao điểm của d1 và d2 là nghiệm của hệ 2x + y = 4 ; 5x – 2y = -3 

=> x =  59  ; y = 269 => I (59 ; 269)

Để 3 đường thẳng đồng quy ⬄  I thuộc d3 ⬄ 59 . m + 3. 269 – 2 = 0 ⬄ m = -12

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường ∆ thẳng song song với đường thẳng d: 2x − y + 2023 = 0 và cắt hai trục tọa độ tại M và N sao cho MN = 35

Trả lời:

Do ∆ qua M (m;0) ∈ Ox và N(0;n) ∈ Oy (với m, n ≠ 0) => Δ: xm + yn = 1 

hay Δ: nx + my – mn = 0

Δ // d => n-2 = m-1 ⬄  n = -2m

MN = 35 => m2+n2 = 35 ⬄ 5m2 = 35 => m = ±3

+) m = 3 => n = -6 => Δ: -6x + 3y +18 = 0

+) m = -3 => n = 6 => Δ: 6x – 3y +18 = 0

Bài 3: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt M1 (x1; x2 ) và M2 (x2 ; y2 ). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đường thẳng Ax + By + C = 0 song song với d là Ax1 + By1 + C = Ax2 + By2 + C ≠ 0

Trả lời:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là : M1M2 = ( x2 – x1 ; y2 – y1)

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Ax + By + C = 0 là : n = ( A; B)

Để 2 đường thẳng song song ⬄ M1M2 . n = 0 ⬄ A.( x2 – x1) + B.( y2 – y1) = 0

⬄ Ax1 + By1 = Ax2 + By2 ⬄ Ax1 + By1 + C = Ax2 + By2 + C

Mà điểm M1 (x1; x2 ) không nằm trên Ax + By + C = 0 => Ax1 + By1 + C ≠ 0

Bài 4 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (−1;2) và hai đường thẳng d1 : x + 2y +1 = 0 ; d2 : 2x + y + 2 = 0 . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và cắt d1 tại A, cắt d2 tại B sao cho MA = 2.MB

Trả lời:

Ta có ∆ ∩ d1 = A => A∈ d1 => A(−1− 2a; a) 

          ∆ ∩ d2 = B => B ∈ d2 => B(b; −2 − 2b) . 

=> MA = (−2a;a − 2); MB = ( b + 1; -2b − 4)

Do ∆ đi qua M => A, B, M thẳng hàng ; và MA = 2.MB

=> MA = 2. MB hoặc MA = (-2). MB

+) TH1 : MA = 2. MB

⬄ -2a = 2.( b + 1) ; a – 2 = 2.( -2b – 4)

⬄ a = 23 ; b = - 53 => A(-73; 23) và B(-53; 43)

Khi đó đường thẳng ∆ đi qua M ( -1; 2) và nhận AB = (23; 23) = ( 1; 1) là vectơ pháp tuyến => ∆ : x – y + 3 = 0

+) TH2 : MA = (-2). MB

⬄ -2a = (-2).( b + 1) ; a – 2 = (-2).( -2b – 4)

⬄ a = -2 ; b = -3 => A( 3; -2) ; B(-3; 4)

Khi đó đường thẳng ∆ đi qua M ( -1; 2) và nhận AB = (-6; 6) là vectơ pháp tuyến 

=> ∆ : x + y – 1 = 0

Vậy có 2 đường thẳng cần tìm là x – y + 3 = 0 hoặc x + y – 1 = 0