Nội dung chính Toán 11 kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số

CHƯƠNG V. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC

BÀI 15: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1. GIỚI HẠN DÃY SỐ

Hoạt động 1. Nhận biết dãy số có giới hạn là 0

1. a) Năm số hạng đầu của dãy số đã cho là .

Biểu diễn các số hạng này trên trục số, ta được:

1. b) Khoảng cách từ đến 0 là .

Ta có:

Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 của dãy thì khoảng cách từ  đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Khái niệm

Ta nói dãy số  có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu  có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu  hay  khi .

Ví dụ 1: (SGK – tr.105).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.105).

Chú ý

Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có kết quả như sau:

+ với k là một số nguyên dương.

+  nếu

+ Nếu  với mọi  và  thì  .

Luyện tập 1

Xét dãy số  có

Ta có:

 ;

Do đó, .

Hoạt động 2. Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn.

Ta có:

Do đó

Định nghĩa

Ta nói dãy số  có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu , kí hiệu  hay  khi .

Ví dụ 2: (SGK – tr.106).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.106).

Chú ý

-  khi và chỉ khi

- Nếu  (c là hằng số) thì

Luyện tập 2

Ta có:

 khi  

Do vậy .

Vận dụng

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn, sau lần chạm sàn đầu tiên, quả bóng nảy lên một độ cao là

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao  xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là: 

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₂ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là:

Và cứ tiếp tục như vậy…

Sau lần chạm sàn thứ n, quả bóng nảy lên độ cao là

Ta có: , do đó,

2. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

Hoạt động 3:

+) Ta có:

Lại có:

 khi

Do vậy,

+) Ta có:  khi

 Do vậy ,

Và  khi

Do vậy,

Khi đó,

Vậy

Quy tắc tính giới hạn

1. a) Nếu và thì

+

+

+

+  (nếu )

1. b) Nếu với mọi n và  thì

 và

Ví dụ 3: (SGK – tr.106)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.106).

Luyện tập 3

Áp dụng các quy tắc tính giới hạn, ta được:

3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Hoạt động 4:

1. a) Ta có: là độ dài cạnh của hình vuông được tô màu tạo từ việc chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, do đó .

Cứ tiếp tục như vậy, ta được: ,….

Do vậy, độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu  và công bội

Do đó, tổng của n số hạng đầu là:

1. b) Ta có:

Kết luận

- Cấp số nhân vô hạn  có công bội  với  được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

- Cho cấp số nhân lùi vô hạn  với công bội . Khi đó

Vì  nên  khi . Nên:

 - Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn , và kí hiệu là:

Như vậy

Ví dụ 4: (SGK – tr.107)

Hướng dẫn giải (SGK -tr.107)

Ví dụ 5: (SGK – tr.108)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.108)

Luyện tập 4

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với  và .

Do đó,

Vận dụng 2

Ta có: Achilles chạy với vận tốc , vận tốc của rùa là .

1. a)

+ Để chạy hết quãng đường từ  đến  với , Achilles phải mất thời gian . Với thời gian  này, rùa đã chạy được quãng đường .

+ Để chạy quãng đường  đến  với , Achilles phải mất thời gian . Với thời gian  này, rùa đã chạy được quãng đường

+ Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường từ  đến  với , Achilles phải mất thời gian .

1. b) Tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết quãng đường tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa là

(h)

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có  và .

Ta có:  (giờ)

1. c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là khoảng thời gian mà anh bắt kịp được rùa.

4. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA MỘT DÃY SỐ

Hoạt động 5:

1. a) Ta có số lượng ban đầu của vi khuẩn là 

Sau chu kì thứ nhất, số lượng vi khuẩn là

Sau chu kì thứ hai, số lượng vi khuẩn là

Cứ tiếp tục như vậy, ta dự đoán được sau chu kì thứ n, số lượng vi khuẩn là  với .

1. b) Giả sử sau chu kì thứ k, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000.

Khi đó ta có

Định nghĩa

- Dãy số  được gọi là có giới hạn  khi  nếu  có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu  hay  khi .

- Dãy số  được gọi là có giới hạn  khi  nếu , kí hiệu  hay  khi .

- Theo định nghĩa trên ta có:

+ , với  là số nguyên dương.

+ , với .

Quy tắc:

+ Nếu  và

(hoặc ) thì .

+ Nếu ,  và  với mọi  thì

+ Nếu  và  thì .

Ví dụ 6: (SGK – tr.109)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.109)

Luyện tập 5

Ta có:

Ta có ;

Do đó,