Nội dung chính Toán 11 kết nối tri thức Bài 17: Hàm số liên tục

CHƯƠNG V. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC

BÀI 17: HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Hoạt động 1.

Ta có

Vậy .

Khái niệm

Cho hàm số  xác định trên khoảng  chứa điểm . Hàm số  được gọi là liên tục tại điểm  nếu .

+) Hàm số  không liên tục tị  được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

Ví dụ 1: (SGK – tr.119).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.119).

Ví dụ 2: (SGK – tr.120).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.120).

Chú ý

Hàm số  liên tục tại  khi và chỉ khi:

Luyện tập 1

Ta có:

Do đó hàm số  liên tục tại .

2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG

Hoạt động 2:

+) Hàm số

Hàm số  xác định trên , do đó  thuộc tập xác định của hàm số.

Ta có:

Suy ra , do đó

Mà  nên

Vậy hàm số  liên tục tại

+) Hàm số

Hàm số  xác định trên , do đó  thuộc tập xác định của hàm số.

Ta có:

=>

Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số  tại , do đó hàm số  gián đoạn tại

+) Quan sát hình 5.7 ta thấy, đồ thị của hàm số  là đường liền trên , còn đồ thị của hàm số  trên  là các đoạn rời nhau.

Khái niệm

- Hàm số  được gọi là liên tục trên khoảng  nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

- Hàm số  được gọi là liên tục trên đoạn  nếu nó liên tục trên khoảng  và .

- Các khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng như  được định nghĩa theo cách tương tự.

Ví dụ 3: (SGK – tr.121)

Hướng dẫn giải (SGk – tr.121)

Tính liên tục của một số hàm sơ cấp đã biết

+ Hàm số đa thức và các hàm số ;  liên tục trên .

+ Các hàm số  và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

Ví dụ 4: (SGK – tr.121)

Hướng dẫn giải: (SGK – tr.121).

Luyện tập 2

Ta thấy hàm số  là một hàm phân thức hữu tỉ. Vậy hàm số này liên tục trên các khoảng tập xác định của chúng:  và .

3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN

Hoạt động 3:

1. a) Hàm số và là các hàm đa thức nên nó liên tục trên . Do đó, hai hàm số  và  đều liên tục tại .
2. b) Ta có:

Do đó:

Lại có, , do đó

Vậy .

Tính chất

- Giả sử hai hàm số  và  liên tục tại điểm . Khi đó:

1. a) Các hàm số và liên tục tại ;
2. b) Hàm số liên tục tại nếu .

Ví dụ 5: (SGK – tr.121).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.121).

Nhận xét

Nếu hàm số  liên tục trên đoạn  và  thì tồn tại ít nhất một điểm  sao cho

Minh họa:

Ví dụ 6: (SGK – tr.122)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.122).

Vận dụng

Theo giả thiết, vận tốc trung bình của xe là

Gọi  là hàm biểu thị vận tốc của xe tại thời điểm t.

Tại thời điểm xuất phát , vận tốc của xe  nên có một thời điểm  xe chạy với vận tốc

Xét hàm số , rõ ràng  là hàm số liên tục trên đoạn

Ta có:  (do .

=>  để

=> .