Nội dung chính Toán 10 Cánh diều Chương 4 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

CHƯƠNG IV. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC. 

VEC TƠ

BÀI 6. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

I. ĐỊNH NGHĨA

1. Tích vô hướng của hai vectơ có cùng điểm đầu

Trong mặt phẳng, cho hai vectơ OA, OB khác 0.

Kết luận:

+ Góc giữa hai vectơ OA, OB là góc giữa hai tia OA, OB và được kí hiệu là (OA,OB).

+ Tích vô hướng của hai vectơ OA và OB là một số, kí hiệu OA, OB, được xác định bởi công thức: OA.OB=OA.OB.cos⁡(OA, OB).

Ví dụ 1 (SGK – tr93) 

Luyện tập 1:

Ta có: AC = AB.tan300 = 3

BC = ABcos300=23

+ BA. BC = BA.BC.cos(BA, BC) = 3.23.cos300 = 9

+ CA. CB = CA.CB.cos(CA, CB) = 3.23.cos600 = 3

2. Tích vô hướng của hai vectơ tuỳ ý 

Cho hai vectơ a và b khác 0. Lấy điểm O và vẽ vectơ OA=a và OB=b.

Kết luận:

+ Góc giữa hai vectơ a, b, kí hiệu (a,b), là góc giữa hai vectơ OA, OB

+ Tích vô hướng của hai vectơ a và b, kí hiệu a, b, là tích vô hướng cùa hai vectơ OA và OB. Như vậy, tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số thực được xác định bởi công thức: a.b = a.b.cos(a,b).

Quy ước: 

Tích vô hướng của một vectơ bất kì với vectơ 0 là số 0. 

Chú ý: 

+ a,b=b,a

+ Nếu a,b=900 thì ta nói hai vectơ a,b vuông góc với nhau, kí hiệu ab hoặc ba. Khi đó a.b = a.b.cos900 = 0. 

+ Tích vô hướng của hai vectơ cùng hướng bằng tích hai độ dài của chúng. 

+ Tích vô hướng của hai vectơ ngược hướng bằng số đối của tích hai độ dài của chúng. 

Ta có thể chứng minh chú ý thứ ba như sau: 

Nếu a,b là hai vectơ (khác 0) cùng hướng thì (a,b) = 00. Do đó, cos(a,b) = 1. 

Vì vậy, a.b=a.b.cos a,b =a.b.

Nếu một trong hai vectơ a,b là vectơ 0 thì a.b=0 và a.b=0 nên a.b=a.b.

Chú ý thứ tư được chứng minh tương tự như trên. 

Ví dụ 2 (SGK – tr94)

Luyện tập 2:

1. Vẽ vectơ BD=CB. Ta có:

CB,BA=BD,BA=DBA=120o

Vậy CB.BA=a.a.cos 1 20o=-a22.

1. Vì AHBC nên AH.BC=0.

II. TÍNH CHẤT 

Kết luận: 

Với hai vectơ bất kì a, b và số thực k tuỳ ý, ta có: 

• a.b= b.a (tính chất giao hoán)

• a.b+c=a.b+a.c (tính chất phân phối)

• ka.b=ka.b=a.kb

• a2≥0, a2=0⟺a=0

Trong đó, kí hiệu a.a=a2 và biểu thức này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ a.

Ví dụ 3, 4 (SGK – tr95)

Luyện tập 3:

+ (a+b)2=a+b.a+b=a.a+b.a+a.b+b.b=a2+2a.b+b2

+ (a-b)2=a-b.a-b=a.a-b.a-a.b+b.b=a2-2a.b+b2

+ a-b.a+b=a.a-b.a+a.b-b.b=a2-b2

III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG 

1. Tính độ dài của đoạn thẳng

Nhận xét: 

Với hai điểm A, B phân biệt, ta có: AB2=AB2

Do đó độ dài đoạn thẳng AB được tính như sau: AB = AB2

Ví dụ 5 (SGK – tr96)

Luyện tập 4: 

+ Cho tam giác ABC vuông tại A, ta chứng minh BC2 = AB2 + AC2

Do tam giác ABC vuông tại A nên AC⊥AB⇒cos AB,AC =0

Ta có: 

BC2=(AC-AB)2=AC2+A B2-2AC.AB 

BC2=AC2-2.AC.AB.cos AC,AB +AB2=AC2+AB2-2AC.AB.cos900=AC2+AB2-2AC.AB.cos0=AC2+AB2. 

Vậy BC2 = AB2 + AC2 (đpcm)

+ Cho tam giác ABC có BC2 = AB2 + AC2, cần chứng minh tam giác ABC vuông tại A. 

Ta có:

BC2=(AC-AB)2=AC2+A B2-2AC.AB 

BC2=AC2-2.AC.AB.cos AC,AB +AB2 

Mà theo giả thiết ta có: 

BC2 = AB2 + AC2

BC2=BC2-2.AC.AB.cos AC,AB

cos AC,AB =0 hay cosBAC=0

Do đó BAC = 900

Vậy tam giác ABC vuông tại A (đpcm).

2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Nhận xét: 

Cho hai vectơ bất kì a và b khác vectơ 0. Ta có: a.b=0⇔ab.

Ví dụ 6 (SGK – tr97)