Nội dung chính Toán 10 Cánh diều Chương 7 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

CHƯƠNG VII. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

I. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI VECTƠ, PHÉP TRỪ HAI VECTƠ, PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ.

HĐ1:

1. Ta có: u=(x1;y1) và v=(x2;y2) nên u=x1i+y1j; v=x2i+y2j
2. Để biểu diễn vectơ u+v theo hai vectơ i và j, ta làm như sau:

Do u=x1;y1,v=(x2;y2) nên u=x1i+y1j, v=x2i+y2j. Vì vậy, 

u+v=x1i+y1j+(x2i+y2j) = (x1i+x2i)+(y1j+y2j) = (x1+x2)i+y1+y2j.

Tương tự, ta có các biểu diễn sau:

u-v=x1-x2i+(y1-y2)j;

ku=kx1i+ky1j (kR)

1. Toạ độ của các vectơ u+v, u-v, ku (kR) lần lượt là: (x1+x2;y1+y2),x1-x2;y1-y2,(kx1,ky1)

Kết luận:

Nếu u=x1;y1 và v=(x2;y2) thì

u+v=x1+x2;y1+y2;

u-v=(x1-x2;y1-y2);

ku=kx1;ky1 với kR.

Nhận xét:

Hai vectơ u=(x1;y1), v=x2;y2 v0 cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k sao cho x1 = kx2 và y1 = ky2. 

Ví dụ 1 (SGK – tr68)

Luyện tập 1:

1. Toạ độ của vectơ u+v+w là:

u+v+w=-2+0+-2;0+6+3=(-4;9)

1. Ta có: w+u = v⟺w=v-u nên w=0-3;-7-0 =(-3;-7).

Ví dụ 2, 3 (SGK  - tr68)

Luyện tập 2: 

Gọi C (xC;yC) là vị trí máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 2 giờ tức là máy bay đi được 23 quãng đường. Ta có: AC=23AB.

Mà AB=-300;400; AC=(xC-400;yC-50)

{xC-400=23.(-300) yC-50=23.400 ⟺{xC=200 yC=9503

II. TỌA ĐỘ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG VÀ TỌA ĐỘ TRỌNG TÂM TAM GIÁC.

HĐ2:

1. Vì M là trung điểm của AB nên với điểm O, ta có: OA+OB=2OM hay OM=12(OA+OB)
2. Ta có: OA=(xA,yA), OB=(xB,yB)

Vậy OM=12OA+OB=12xA+xB;yA+yB=(xA+xB2;yA+yB2)

Toạ độ điểm M chính là toạ độ của vectơ nên toạ độ M là: M (xA+xB2;yA+yB2)

Kết luận:

Cho hai điểm A(xA;yA) và B(xB;yB). Nếu M(xM;yM) là trung điểm đoạn thẳng AB thì

xM=xA+xB2;yM=yA+yB2

Luyện tập 3:

Gọi điểm B(xB; yB).

Vì M là trung điểm của AB nên xM = xA+xB2; yM=yA+yB2

⇒{xB=2xM-xA yB=2yM-yA

⇔{xB=2.5-2=8 yB=2.7-4=10

Vậy điểm B có toạ độ là B(8; 10).

HĐ3: 

1. Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên với điểm O ta có: 

OA+OB+OC=3OG

Hay OG=13OA+OB+OC=13OA+OB+OC

1. Ta có: OA=xA,yA, OB=xB,yB, OC=(xC,yC)

Vậy

OG=13OA+OB+OC

=13(xA+xB+xC;yA+yB+yC)

= xA+xB+xC3;yA+yB+yC3

Vậy điểm G có toạ độ là: G xA+xB+xC3;yA+yB+yC3

Kết luận:

Cho tam giác ABC có A(xA;yA), B(xB;yB), C(xC;yC). Nếu G(xG;yG) là trọng tâm tam giác ABC thì

xG=xA+xB+xC3;

yG=yA+yB+yC3

Ví dụ 4 (SGK – tr69)

Luyện tập 4:

1. Ta có: 

AB=2;4;AG=(2;1)

Vì 2241 nên ABkAG

Vậy ba điểm A, B, G không thẳng hàng

III. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

HĐ4:

i2=i2=1;j2=j2=1;i.j=0

(vì ij)

u.v=x1i+y1j.x2i+y2j=x1x2i2+x1y2i,j+y1x2j.i+y1y2j2=x1x2+y1y2.

Kết luận:

Nếu u=x1;y1 và v=(x2;y2) thì u.v=x1x2+y1y2

Nhận xét:

1. Nếu a=x;y thì a=a.a=x2+y2
2. Nếu A(x1;y1) và B(x2;y2) thì AB = AB=(x2-x1)2+(y2-y1)2
3. Với hai vectơ u=(x1;y1) và v=(x2;y2) đều khác 0, ta có:

+ u và v vuông góc với nhau khi và chỉ khi x1x2+y1y2=0.

+ cos(u,v) = u.vu.v=x1x2+y1y2x12+y12.x12+y22.

Ví dụ 5, 6 (SGK – tr 70, 71)