Nội dung chính Toán 10 Cánh diều Chương 7 Bài 6: Ba đường conic

CHƯƠNG VII. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 6. BA ĐƯỜNG CONIC

I. ĐỊNH NGHĨA

1. Định nghĩa đường elip

HĐ1: 

Ta thấy tổng MF1 + MF2 luôn bằng độ dài vòng dây kín, do đó khi M thay đổi, tổng MF1 + MF2 là một độ dài không đổi. 

Kết luận:

Cho hai điểm F1, F2 cố định có khoảng cách F1F2 = 2c (c > 0).

Đường elip (còn gọi là elip) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho MF1 + MF2 = 2a, trong đó a là số cho trước lớn hơn c.

Hai điểm F1 và F2 được gọi là hai tiêu điểm của elip. 

2. Phương trình chính tắc của elip

HĐ2:

1. Do A1F1 = a – c và A1F2 = a + c nên A1F1 + A1F2 = 2a. Vậy A1(-a; 0) thuộc elip (E).

Mà A1 (-a; 0) thuộc trục Ox nên A1(-a; 0) là giao điểm của elip (E) với trục Ox. 

Tương tự, ta chứng minh được A2(a; 0) là giao điểm của elip (E) với trục Ox. 

1. Ta có: 

B2F2 = (c-0)2+(0-b)2=c2+b2=a2=a

Vì B2F1 = B2F2 nên B2F1 + B2F2 = a + a = 2a. Do đó, B2(0; b) thuộc elip (E). Mà B2(0; b) thuộc trục Oy nên B2(0; b) là giao điểm của elip (E) với trục Oy.

Tương tự, ta chứng minh được: B1(0; -b) là giao điểm của elip (E) với trục Oy.

Như vậy, elip (E) đi qua bốn điểm A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(0; -b), B2(0; b), với b = a2-c2

Kết luận:

Khi chọn hệ trục toạ độ như trên, phương trình đường elip có thể viết dưới dạng: 

x2a2+y2b2=1

Trong đó, a > b > 0

Đây gọi là phương trình chính tắc của elip. 

Chú ý:

Đối với elip (E) có phương trình chính tắc như đã nêu ở trên, ta có:

+ c2 = a2 – b2, ở đó 2c = F1F2

+ Nếu điểm M(x; y) thuộc elip (E) thì – a x a. 

Ví dụ 1, 2 (SGK – tr95)

Luyện tập 1: 

Elip có phương trình chính tắc là: 

x2a2+y2b2=1 (a > b > 0)

Do M(0; 3) (E) nên: 02a2+32b2=1 b2=32=9 (1)

Do N(3; - 125) (E) nên: 32a2+125232=1

⟺a2=25

Vậy elip (E) có phương trình chính tắc là: x225+y29=1

II. ĐƯỜNG HYPEBOL

1. Định nghĩa đường hypebol 

HĐ3:

Khi M thay đổi, hiệu MF1 – MF2 = (MF1 + MA) – (MF2 + MA) = AB – l không đổi. 

Kết luận:

Cho hai điểm F1, F2 cố định có khoảng cách F1F2  = 2c (c > 0).

Đường hypebol (còn gọi là hypebol) là tập hợp các điểm M sao cho MF1-MF2=2a, trong đó a là số dương cho trước nhỏ hơn c. 

Hai điểm F1 và F2 được gọi là hai tiêu điểm của hypebol.

2. Phương trình chính tắc của đường hypebol

HĐ4: 

2. Vì Oy là đường trung trực của F1F2 nên O là trung điểm của F1F2. 

Do đó, OF1 = OF2 = F1F22 = 2c2=c

Điểm F1 thuộc trục Ox và nằm về phía bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng c nên toạ độ của F1 là F1(-c; 0).

Điểm F2 thuộc trục Ox và nằm về phía bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng c nên toạ độ của F2 là F2(c; 0).

b.

Kết luận: 

Khi chọn hệ trục toạ độ như trên, phương trình đường hypebol có thể viết dưới dạng x2a2-y2b2=1, trong đó a > 0, b > 0.

Đây gọi là phương trình chính tắc của hypebol. 

Chú ý:

Đối với hypebol (H) có phương trình chính tắc như đã nêu ở trên, ta có:

+ c2 = a2 + b2, ở đó 2c = F1F2 và điều kiện a > b là không bắt buộc.

+ Nếu điểm M(x; y) thuộc hypebol (H) thì x -a hoặc x a. 

Ví dụ 3, 4 (SGK – tr98)

Luyện tập 2:

4x2 – 9y2 = 1

Phương trình chính tắc của đường hypebol: x214-y219=1

3. ĐƯỜNG PARABOL

1. Định nghĩa đường parabol

HĐ5:

Khi M thay đổi, ta có: MA + MB = MF + MB (= AB). Do đó MA = MF. 

Kết luận:

Cho một điểm F cố định và một đường thẳng ∆ cố định không đi qua F. 

Đường parabol (còn gọi là parabol) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng cách đều F và ∆.

Điểm F được gọi là tiêu điểm của parabol. Đường thẳng ∆ được gọi là đường chuẩn của parabol. 

2. Phương trình chính tắc của parabol. 

HĐ6:

Kẻ FH vuông góc với ∆ (H ∈∆). Đặt FH = p > 0. Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng FH và F nằm trên tia Ox (Hình 56).

Suy ra: Fp2;0, H-p2;0 và phương trình đường thẳng ∆ là x + p2 = 0

Do đó khoảng cách từ M(x; y) (P) đến đường thẳng ∆ là x+p2.

Ta có: M(x; y) (P) khi và chỉ khi độ dài MF bằng khoảng cách từ M tới ∆, tức là: 

x-p22+y2=x+p2⟺x-p22+y2=x+p22⟺y2=x+p22-x-p22⟺y2=2px

Kết luận:

Khi chọn hệ trục toạ độ như trên, phương trình đường parabol có thể viết dưới dạng 

y2=2px(p>0)

Đây gọi là phương trình chính tắc của parabol.

Chú ý:

Đối với parabol (P) có phương trình chính tắc y2=2px (p > 0), ta có: 

+ Tiêu điểm là Fp2;0 và phương trình đường chuẩn là: x + p2 = 0.

+ Nếu điểm M(x; y) thuộc parabol (P) thì x 0. 

Ví dụ 5, 6 (SGK – tr 100).

Luyện tập 3:

2. Ta có: x = y24⟺y2=4x⟺y2=2.2x

Vậy phương trình chính tắc của parabol là: y2=2.2x với p  =2

2. Ta có: x - y2=0y2=xy2=2.12x.

Vậy phương trình chính tắc của parabol là: y2=2.12x với p = 12

IV. MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TIỄN CỦA BA ĐƯỜNG CONIC

1. Mô hình hạt nhân nguyên tử: Các electron bay quanh hạt nhân trên các quỹ đạo hình elip như các hành tinh bay quanh Mặt Trời. 
2. Hiện tượng giao thoa của hai sóng: Các gợn sóng có hình các đường hypebol gọi là các vân giao thoa. 
3. Gương parabol: tia sáng phát ra từ tiêu điểm (tia tới) chiếu đến một điểm của parabol sẽ bị hắt lại (tia phản xạ) theo một tia song song (hoặc trùng) với trục của parabol. 

- Đèn pha: Bề mặt của đèn pha là một mặt tròn xoay sinh bởi một cung parabol quay quanh trục của nó, bóng đèn được đặt ở vị trí tiêu điểm của parabol đó. 

- Chảo vệ tinh: Điểm thu phát tín hiệu của máy được đặt ở vị trí tiêu điểm của parabol.