Nội dung chính Toán 11 cánh diều Chương 3 Bài 3: Hàm số liên tục

CHƯƠNG III. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC

BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. KHÁI NIỆM

1. Hàm số liên tục tại một điểm

HĐ 1

1. a) fx =x→1 x=1

2. b) f1=1 nên fx=f1.

Kết luận

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0∈(a;b). Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu f(x) =fx0.

Nhận xét:

Hàm số y=fx không liên tục tại điểm x0 được gọi là gián đoạn tại  x0.

Ví dụ 1 (SGK -tr.73)

Luyện tập 1

Ta có: x→1 f(x)=x→1  x3+1=2 và f(1)=13+1=2
Suy ra x→1  f(x)=f(1).
Vì vậy hàm số liên tục tại x0=1.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn

HĐ 2

1. a) Với x0∈R bất kì ta có: x→xo fx=x0+1=fx0. Do đó hàm số liên tục tại x=x0.
   b) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Đồ thị hàm số là một đường thẳng liền mạch với mọi giá trị x∈R.

Định nghĩa

- Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

- Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và x→a+ f(x)=f(a),x→b- f(x)=f(b).

Chú ý:

Khái niệm hàm số liên tục trên các tập hợp có dạng (a;b],[a;b),a;+∞, [a;+∞),

-∞;a,(-∞;a],(-∞;+∞) được định nghĩa tương tự.

Nhận xét:

Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là “đường liền” trên khoảng đó.

Ví dụ 2 (SGK -tr.75)

Luyện tập 2

+) x→2- f(x)=x→2-(x-1)=1 

x→2+ fx=x→2+-x=-2

và f(2)=-2 nên x→2  f(x)≠f(2).

Suy ra hàm số không liên tục tại x=2.

Vậy hàm số không liên tục trên R

2. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN

1. Tính liên tục của một số hàm sơ cấp cơ bản

HĐ 3:

+) Hình 14a đồ thị là đường cong Parabol liền mạch nên hàm số liên tục trên khoảng xác định.
+) Hình 14b đồ thị bị chia làm hai nhánh:

Với x<1 ta thấy hàm số là một đường cong liền nên hàm số liên tục trên khoảng -∞;1.

Với x>1 ta thấy hàm số là một đường cong liền nên hàm số liên tục trên khoảng 1;+∞.
Vậy hàm số liên tục trên từng khoảng xác định.
+) Hình 14c đồ thị hàm số y=tan⁡x chia thành nhiều nhánh, và mỗi nhánh là các đường cong liền. Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng xác định của chúng.

Định lí

- Các hàm đa thức và hai hàm số lượng giác số y=sin⁡x,y=cos⁡x liên tục trên R.

- Các hàm phân thức hữu tỉ và hai hàm lượng giác số y=tan⁡x,y=cot x liên tục trên tập xác định của chúng.

- Hàm căn thức y=x liên tục trên nửa khoảng [0;+∞).

Ví dụ 3 (SGK -tr.76)

Luyện tập 3

Ta có: f(x)=x+2x-8 là hàm phân thức hữu tỉ xác định khi x∈(-∞; 8)∪(8;+∞).

Nên hàm số liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 8),(8;+∞).

2. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục

HĐ 4

1. a) 

x→2 f(x)=x→2x3+x=23+2=10=

f(2). 

Do đó hàm số f(x) liên tục tại x=2.
x→2 g(x)=x→2x2+1=22+1=5=g(2). 

Do đó hàm số g(x) liên tục tại x=2.
b) 

+) x→2(f(x)+g(x))=x→2 f(x)+x→2 f(x)=10+5=15=f(2)+g(2)
Do đó hàm số f(x)+g(x) liên tục tại x=2.
+) x→2 (f(x)-g(x))=x→2 f(x)-x→2 g(x)=10-5=5=f(2)-g(2)
Do đó hàm số f(x)-g(x) liên tục tại x=2.
+) x→2 (f(x)⋅g(x))=x→2 f(x)⋅x→2 g(x)=10⋅5=50=f(2)⋅g(2)
Do đó hàm số f(x)⋅g(x) liên tục tại x=2.
+) x→2 f(x)g(x)=x→2 f(x)x→2 g(x)=105=2=f(2)g(2)
Do đó hàm số f(x)g(x) liên tục tại x=2.
Định lí

Giả sử y=f(x) và y=g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó:

+ Các hàm số y=f(x)+g(x),y=f(x)-g(x) và y=fx.g(x) liên tục tại x0;

+) Hàm số y=f(x)g(x) liên tục tại x0 nếu gx0≠0.

Ví dụ 4 (SGK -tr.76)

Luyện tập 4 

Hàm số y=sinx và y=cosx liên tục trên R.
Do đó hàm số y=sin⁡x+cos⁡x liên tục trên R