Nội dung chính Toán 10 Kết nối tri thức Chương 3 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

CHƯƠNG III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

BÀI 5: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0oĐẾN 180o

1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC

Khái niệm:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị.

Cho một góc , 0o≤α≤180o. Khi đó có duy nhất điểm M(xo; yo) trên nửa đường tròn đơn vị nói trên để xOM=α.

HĐ1: 

1. a) 

α=90o: M trùng với điểm C.

α<90o: M nằm trên cung AC (không trùng điểm C và A).

α>90o: M nằm trên cung CB (không trùng C và B).

1. b) cos bằng hoành độ của của điểm M.

sin bằng tung độ của của điểm M.

Định nghĩa:

Với mỗi góc (0o≤180o), gọi M(xo) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM=. Khi đó:

+ sin của góc là tung độ yocủa điểm M, được kí hiệu là sin .

+ côsincủa góc là hoành độ xo của điểm M, được kí hiệu là cos .

+ Khi ≠90o (hay xo≠0), tang của là yoxo, được kí hiệu là tan .

+ Khi 0ovà ≠180o (hay yo≠0), côtang của là xoyo, được kí hiệu là cot .

Chú ý:

tan =sin cos (α≠90o);

cot =cos sin (α≠0ovà α≠180o);

tan =1cot (α∉{0o9 0o1 80o}).

Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:

Ví dụ 1 (SGK – tr35)

Luyện tập 1: 

M là điểm nằm trên nửa đường tròn sao cho xOM=120o. GỌi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Vì xOM=120o nên MON=60o,MOP=30o.

Xét tam giác MOP vuông tại P có: 

OP=OM.cos 3 0o=32.

MP=OM.sin 3 0o=12.

Điểm M nằm bên trái trục tung nên có tọa độ là -1232 .

Theo định nghĩa có:

sin 1 20o=-12; cos 1 20o=-12

tan 1 20o=-3; cot 1 20o=-33

Chú ý: 

- Khi tìm x biết sin x, máy tính chỉ đưa ra giá trị x≤90o.

- Muốn tìm x khi biết cos x, tan x, ta cũng làm tương tự như trên, chỉ thay phím tương ứng bới phím

2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU

Với một góc tùy ý (0o≤α≤180o), gọi M, M' là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị tương ứng với hai góc bù nhau và 180o-α

(xOM=α,xOM'=180o-α).

HĐ2: Hai điểm M và M' đối xứng với nhau qua trục Oy.

sin ( 180o-α)=sin

cos ( 180o-α)=-cos .

Kết luận:

Đối với hai góc bù nhau, và 180o-α, ta có:

sin ( 180o-α)=sin ;

cos ( 180o-α)=-cos ;

tan ( 180o-α)=-tan α≠90o;

cot ( 180o-α)=-cot

0o<α<180o

Ví dụ 2 (SGK – tr36)

Luyện tập 2:

Xét ΔMOP và ΔNOQ có:

OPM=OQN=90o

OM = ON
POM=QON

⇒ΔMOP=ΔNOQ

{OP=OQ MP=NQ

cos =sin ( 90o-α).

Vận dụng:

Do mỗi vòng quay, đu quay mất 30 phút nên sau 20 phút, đu quay quay được 23vòng.

Từ đó xOM=23.360o-90o=150o.

Do đó M có tung độ bằng sin 1 50o=12.

Mặt khác, 1 đơn vị trong mặt phẳng tọa độ Oxy ứng với 75 m trong thực tế, nên độ dài đoạn thẳng OQ ứng với 752=37,5 m trong thực tế.

Vậy sau 20 phút quay, đu quay ở độ cao là: 37,5 + 90 = 127, 5 (m).