Câu hỏi tự luận toán 10 chân trời sáng tạo chương 9 Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

BÀI 2 : ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ có phương trình tổng quát là : 9x + 7y – 23 = 0

Trả lời:

Vectơ pháp tuyến của Δ là :  = ( 9; 7)

Bài 2: Cho đường thẳng d cho phương trình tham số như sau. Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng

                                         d :

Trả lời:

Vectơ chỉ phương của d là :  = ( -6; 8)

Bài 3: Tính khoảng cách từ điểm M(-5; 6) đến đường thẳng Δ : 4x + 3y – 17 = 0

Trả lời:

d( M; Δ) =  =

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Lập phương trình đường thẳng d thỏa mãn điều kiện sau :

a) Đường thẳng d đi qua điểm A ( 4; 7) và có vectơ pháp tuyến   = ( 6; -5)

b) Đường thẳng d đi qua điểm B (-8; 9) và có vectơ chỉ phương   = ( 1; 3)

Trả lời:

a) Phương trình đường thẳng d là :  6.( x – 4) - 5. ( y – 7) = 0 ⬄ 6x - 5y + 11 = 0

b) Phương trình đường thẳng d là :   =  ⬄ 3x – y + 33 = 0

Bài 2: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát  của đường thẳng d đi qua 2 điểm M(2;6) và I(9;5)

Trả lời:

Vectơ chỉ phương của d là :  = ( 7; -1)

Phương trình tham số :

d :

Vectơ pháp tuyến của d là :  = ( 1; 7)

Phương trình tổng quát của d là : 1.( x – 2) + 7.( y – 6) = 0 ⬄ x + 7y – 44 = 0

Bài 3: Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng sau :

                               d1 : x – 5y + 10 = 0 và d2 : x – 5y – 8 = 0

Trả lời:

Vectơ pháp tuyến của 2 đường thẳng là  = ( 1;  -5) ; = ( 1;  -5)

Ta thấy 1 .( -5) = (-5). 1 =>  và  cùng phương => 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Mà A(0; 2)  d1 nhưng A ∉ d2 => 2 đường thẳng song song.

Bài 4: Tính góc tạo giữa hai đường thẳng sau :

                     d1 : x + y = 0 và d2 : x + 10 = 0

Trả lời:

Vectơ pháp tuyến của 2 đường thẳng là  = ( 1; ) ; = ( 1; 0)

cos (d1; d2 ) =  =  =  =>  (d1; d2 ) = 600

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M (21; 25) và vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ hai.

Trả lời:

Đường phân giác góc phần tư thứ hai  Δ : x + y = 0

d ⊥ Δ => d: x – y + c = 0 ( c ≠ 0)

d đi qua M( 21; 25) => 21 – 25 + c = 0 => c = 4

Vậy d : x – y + 4 = 0

Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm K (0;4) đến đường thẳng ∆ : x cosα + y sinα + 4.(2 − sinα ) = 0

Trả lời:

d( K; Δ) =  = 8

Bài 3 : Tìm m để góc tạo giữa hai đường thẳng sau bằng 450

                     d1 : x + y – 2023 = 0 và d2 : 2x + my + 2024 = 0

Trả lời:

Vectơ pháp tuyến của 2 đường thẳng là  = ( 1; 1) ; = ( 2;  m)

cos (d1; d2 ) =  =  = cos 450 =  

=> 4 + m2 = 4 + 4m + m2 ⬄ m = 0

Bài 4 : Viết phương trình đường thẳng d // và cách đường thẳng Δ:  y – 16 = 0 một khoảng cách bằng 2024

Trả lời:

d // Δ => d : y + c = 0

M(0; 16)  Δ

d( d; Δ) = 2024 ⬄ d ( M; d) = 2024

=>  = 2024 ⬄ 16 + c = 2024 hoặc 16 + c = - 2024

⬄ c = 2008 hoặc c = -2040

Vậy có hai phương trình thỏa mãn là y + 2008 = 0 hoặc y – 2040 = 0

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Tìm m để 3 đường thẳng sau đồng quy :

d1 : 2x + y - 1 = 0 ; d2 : x + 2y + 1 = 0 ; d3 : mx – y – 7 = 0

Trả lời:

Tọa độ giao điểm của d1 và d2 là nghiệm của hệ 2x + y = 1 ; x + 2y = -1

=> x = 1 ; y = -1 => K (1; -1)

Để 3 đường thẳng đồng quy ⬄  K thuộc d3 ⬄ m + 1  – 7 = 0 ⬄ m = 6

Bài 2: Biết rằng có đúng hai giá trị của tham số k để đường thẳng d : y = kx tạo với đường thẳng ∆ : y = x một góc 600 . Tổng hai giá trị của k.

Trả lời:

Vectơ pháp tuyến của 2 đường thẳng là  = ( k; -1) ; = ( 1;  -1)

cos (d; Δ ) =  =  = cos 600 =  

=>  k2 + 1 = 2k2 + 4k + 2 ⬄ k2 + 4k + 1 = 0

Theo định lí Vi- et ta có k1 + k2 = -4

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A(1;1), B(−2;4) và đường thẳng ∆ : mx − y + 3 = 0 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ∆ cách đều hai điểm A, B

Trả lời:

Gọi I là trung điểm của AB => I ( ; )

 = ( -3; 3) =>  = ( 1; 1)

∆ : mx − y + 3 = 0 có  = ( m; -1)

Δ cách đều A, B

⬄ I  Δ hoặc    = 

⬄   -   + 3 = 0  hoặc  m = -1

⬄ m = 1 hoặc m = -1

Bài 4 : Cho hai đường thẳng d1 : y = mx − 4; d2 : y = −mx − 4 . Tìm các giá trị nguyên dương của m để tam giác tạo thành bởi d1 , d2 và trục hoành có diện tích lớn hơn 8.

Trả lời:

d1 , d2 cắt trục hoành => m ≠ 0

Gọi A (; 0) và B (; 0) lần lượt là giao điểm của d1 , d2 và trục hoành.

=> AB = |xA – xB | =

Gọi C là giao điểm của d1 và d2

Hoành độ điểm C là nghiệm của phương trình : mx – 4 = -mx – 4 ⬄ x = 0

=> C( 0; -4) => d( C, Ox) = | -4| = 4

SABC = . d( C, Ox) . AB = . 4.  =  > 8

⬄ |m| < 2  mà m là số nguyên dương => m = 1. Vậy m = 1