Giáo án Toán 12 kết nối Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

NV1: Tìm hiểu khái niệm tính đơn điệu của hàm số

- GV trình chiếu hình 1.2 cho HS quan sát và thảo luận với bạn cùng bàn để trả lời câu hỏi trong HĐ1.

Quan sát đồ thị của hàm số (H.1.2)

a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

+ GV chỉ định 2 HS đứng tại chỗ trình bày câu trả lời a) và b).

+ GV nhận xét và chính xác hóa câu trả lời.

- GV trình chiếu khung kiến thức trọng tâm cho HS ghi bài.

- GV trình chiếu hình 1.3 và cho HS quan sát.

+ GV giải thích về các thuật ngữ: Đơn điệu, Xét tính đơn điệu của hàm số cho HS.

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu Ví dụ 1.

Cho đồ thị của hàm số (H.1.4). Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số?

+ GV chỉ định 2 HS trình bày lại cách thực hiện bài toán.

- GV cho HS thảo luận theo bàn, thực hiện Luyện tập 1.

Hình 1.5 là đồ thị của hàm số . Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+ GV có thể đặt các câu hỏi gợi ý: Trong khoảng nào thì đồ thị hàm số đi lên? Trong khoảng nào thì đồ thị hàm số đi xuống?

+ GV chỉ định 1 – 2 HS đứng tại chỗ trình bày câu trả lời.

+ GV nhận xét, chốt đáp án.

- GV trình chiếu Hình 1.6 và cho HS đọc yêu cầu của HĐ2.

Xét hàm số có đồ thị như hình 1.6

a) Xét dấu của đạo hàm trên khoảng . Nhận xét về mối quan hệ đồng biến, nghịch biến và dấu đạo hàm của hàm số trên mỗi khoảng này.

b) Nhận xét về đạo hàm và hàm số trên khoảng ?

+ HS thảo luận nhóm 3 – 4 HS, thực hiện các yêu cầu trong HĐ.

+ GV gợi ý: 

• Trên khoảng , đạo hàm của mang dấu gì? Hàm số đồng biến hay nghịch biến?

• Trên khoảng , đạo hàm của mang dấu gì? Hàm số đồng biến hay nghịch biến?

• Trên khoảng , đạo hàm của bằng bao nhiêu? Hàm số có thay đổi hay không?

- Từ các câu trả lời của HS, GV khái quát và trình bày Định lí theo SGK cho HS.

- GV lưu ý cho HS, định lí vừa học cũng đúng trong trường hợp tại một số điểm trong khoảng .

- HS đọc – hiểu Ví dụ 2:

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số .

+ Sau đó GV chỉ định một số HS đứng tại chỗ trình bày lại cách thực hiện.

- GV cho HS thảo luận nhóm 4 HS, quan sát và thực hiện yêu cầu của Luyện tập 2:

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số .

+ Đạo hàm của hàm số bằng bao nhiêu?

+ Dựa vào đạo hàm, tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

+ GV chỉ định 2 HS lên bảng thực hiện bài giải. HS dưới lớp nhận xét bài làm của 2 bạn.

NV2: Tìm hiểu sử dụng bảng biến thiên để xét tính đơn điệu của hàm số

GV triển khai HĐ3 cho HS đọc và thảo luận nhóm đôi, thực hiện theo chỉ dẫn trong HĐ:

Cho hàm số

a) Tính đạo hàm và tìm các điểm mà .

b) Lập bảng biến thiên - bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.

c) Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+ GV lần lượt chỉ định các HS lên bảng thực hiện các phần a), b) và c).

+ GV quan sát, nhận xét bài làm của HS.

Từ đó, GV nêu các bước để xét tính đơn điệu của hàm số theo hướng dẫn của SGK.

- GV cho HS nghiên cứu Ví dụ 3:

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số .

+ Nêu tập xác định của hàm số?

+ 1 HS lên bảng tính đạo hàm của hàm số và tìm các giá trị của làm cho .

+ 1 HS lên bảng thực hiện lập bảng biến thiên và kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến.

GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví dụ 4: Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Điều kiện xác định của phân thức là . Suy ra tập xác định của hàm số là .

+ Tính đạo hàm ta được:

+ Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng và .

- GV chia lớp thành 4 nhóm để thảo luận và thực hiện phần Luyện tập 3:

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a)

b)

+ Nhóm 1 và 2, thực hiện câu a).

+ Nhóm 3 và 4, thực hiện câu b).

+ Các nhóm thực hiện trao đổi, thống nhất đáp án trong 6 - 8 phút.

+ Sau thời gian thảo luận, GV mời đại diện từng nhóm lên thực hiện bài giải của nhóm mình.

+ HS dưới lớp quan sát, thực hiện bài làm vào vở cá nhân.

+ GV quan sát, nhận xét bài làm của HS và rút ra kinh nghiệm làm bài cho HS.

- GV cho HS đọc lại tình huống mở đầu và hướng dẫn cho HS thực hiện phần Vận dụng 1:

Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện theo các yêu cầu:

a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc là đạo hàm của . Tìm vận tốc .

b) Xét dấu của hàm , từ đó suy ra câu trả lời.

+ a) Thực hiện tính vận tốc là đạo hàm của .

+ b) Lập bảng biến thiên và xét dấu của hàm : 

• Xét khi thuộc khoảng nào?

• Xét khi thuộc khoảng nào?

Từ đó rút ra kết luận.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Tính đơn điệu của hàm số.

a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số

HĐ1

                          Hình 1.2

a) Hàm số đồng biến trên khoảng .

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng

Ghi nhớ

Giả sử là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và là hàm số xác định trên .

+ Hàm số được gọi là đồng biến trên nếu

+ Hàm số được gọi là nghịch biến trên nếu .

Chú ý

+ Nếu hàm số đồng biến trên thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.

+ Nếu hàm số nghịch biến trên thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.

+ Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên gọi chung là đơn điệu trên . Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.

+ Xét tính đơn điệu mà không chỉ rõ tập thì ta xét trên tập xác định của hàm số.

Ví dụ 1: SGK – tr.6

Hướng dẫn giải: SGK – tr.6.

Luyện tập 1

+ Hàm số đồng biến trên và

+ Hàm số nghịch biến trên .

HĐ2.

Hình 1.6

a) Với , ta có

    Với , ta có

 Trên khoảng , đạo hàm mang dấu âm => Hàm số nghịch biến.

Trên khoảng , đạo hàm mang dấu dương => Hàm số đồng biến.

b) Trên khoảng , đạo hàm bằng 0 => Hàm số không đổi.

Định lí

Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng .

a) Nếu với mọi thì hàm số đồng biến trên khoảng .

b) Nếu với mọi thì hàm số nghịch biến trên khoảng .

Chú ý

+ Định lí vẫn đúng trong trường hợp tại một số hữu hạn điểm trong khoảng .

+ Nếu với mọi thì hàm số không đổi trên khoảng .

Ví dụ 2: SGK – tr.7

Hướng dẫn giải: SGK – tr.7

Luyện tập 2

- Tập xác định: .

- Ta có: .

+ với ; với .

Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng và hàm số đồng biến trên khoảng .

b) Sử dụng bảng biến thiên xét tính đơn điệu của hàm số

HĐ3.

Hàm số

- Tập xác định: .

a)

hay

Suy ra: hoặc

b) Bảng biến thiên:

c) Hàm số đồng biến trên khoảng: và .

Hàm số nghịch biến trên khoảng: .

Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số :

 Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm . Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dẫn và lập bảng biến thiên của hàm số.

4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 3: SGK – tr.8

Hướng dẫn giải: SGK – tr.8

Ví dụ 4: SGK – tr.8

Hướng dẫn giải: SGK – tr.8

Luyện tập 3

a)

- Tập xác định: .

- Ta có:

hay suy ra hoặc .

- Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng và Hàm số nghịch biến trên khoảng .

b)

- Tập xác định:

- Ta có: =

hay suy ra: hoặc .

- Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng và Hàm số nghịch biến trên khoảng và .

Vận dụng 1

a)

b) Có hay  

Suy ra và

Xét dấu của

khi và .

khi .

Vậy trong khoảng thời gian chất điểm chuyển động sang trái;

Trong khoảng thời gian l và chất điểm chuyển động sang phải.