Giáo án Toán 12 kết nối Bài 8: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV cho HS quan sát và thảo luận với bạn cùng bàn để trả lời câu hỏi trong HĐ1.

Trong không gian , cho hai vectơ  và

+ GV hướng dẫn HS:

a) Sử dụng định nghĩa biểu diễn hai vectơ  và  qua các vectơ đơn vị .

b) Từ đó biểu diễn hai vectơ  và  qua các vectơ đơn vị

+ GV chọn 1 HS đứng tại chỗ trả lời ý a.

+ GV gọi 1 HS lên bảng trình bày ý b.

+ GV nhận xét, sửa bài, rút ra kết luận.

• GV trình chiếu nội dung trong Khung kiến thức.

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi phần Câu hỏi: 

Nếu tọa độ của vectơ  là  thì tọa độ của vectơ đối của  là gì?

+ GV gợi ý viết  thành  và áp dụng biểu thức tọa độ của phép nhân một số với một vectơ. 

+ GV gọi một HS bất kì đứng tại chỗ trả lời câu hỏi.

+ GV nhận xét.

- GV có thể hỏi HS: Khi nào vectơ  và  cùng phương? Từ đó suy ra được điều gì về tọa độ.

+ HS thảo luận với bạn cùng bàn.

+ GV gọi đại diện nhóm để phát biểu.

+ GV nhận xét, trình chiếu phần Nhận xét trong SGK.

- GV cho HS nghiên cứu Ví dụ 1.

+ GV chỉ định một bạn đứng tại chỗ trình bày bài làm.

+ GV nhận xét. 

- GV cho HS hoạt động cá nhân Luyện tập 1 

+ GV gọi bất kì một HS lên bảng trình bày. 

+ Các HS khác theo dõi, nhận xét.

+ GV nhận xét, sửa bài.

- GV trình chiếu và cho HS đọc HĐ2.

Trong không gian , cho tam giác  có , và  .

a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng . Tìm tọa độ của M theo tọa độ của  và B.

b) Gọi  là trọng tâm của tam giác . Tìm tọa độ của .

+ GV yêu cầu HS nhắc lại công thức tọa độ trung điểm  của đoạn thẳng  và tọa độ trọng tâm  của tam giác  trong mặt phẳng. 

; .

+ GV hướng dẫn HS: Sử dụng quy tắc:  đối với M là trung điểm của AB. Khi ta có công thức của M, tìm G bằng cách sử dụng tỉ lệ  .

+ GV cho HS thảo luận nhóm đôi cả 2 ý.

+ GV gọi đại diện 2 nhóm để lên bảng trình bày mỗi ý.

+ GV nhận xét, rút ra kết luận, trình chiếu nội dung trong Khung kiến thức cho HS.

- GV cho HS nghiên cứu Ví dụ 2 

Trong không gian , cho ba điểm  và . Tìm tọa độ trung điểm  của đoạn thẳng AB và tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

+ GV gọi 2 H lên bảng trình bày bài.

+ GV nhận xét.

- GV cho HS hoạt động cá nhân Luyện tập 2

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm  và . Tìm tọa độ điểm  sao cho tam giác  nhận G là trọng tâm.

+  GV gọi 1 HS lên bảng trình bày bài làm.

+ GV gọi HS khác nhận xét.

+ GV nhận xét, chốt đáp án.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ.

HĐ1

a) .

b) Ta có:

Khi đó,

Ta có

Khi đó, .

Ghi nhớ

Trong không gian , cho hai vectơ  và . Ta có:

;

;

với  là một số thực.

Câu hỏi

có tọa độ là .

Nhận xét

Vectơ  cùng phương với vectơ  khi và chỉ khi tồn tại số thực  sao cho

Ví dụ 1: SGK – tr.68

Hướng dẫn giải: SGK – tr.68.

Luyện tập 1: SGK – tr.68

HĐ2:

a) Gọi

Ta có: 

;

;

;

Ta có:   

.

Vậy

b) Vì  là trọng tâm tam giác  nên 

.

Do đó:

Ghi nhớ

Trong không gian , cho ba điểm không thẳng hàng   và
. Khi đó:

- Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng  là

- Tọa độ trọng tâm của tam giác  là ..

Ví dụ 2: SGK – tr.68

Hướng dẫn giải: SGK – tr. 68

Luyện tập 2: SGK – tr.69

Gọi

Ta có: 

.

Vậy .

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV cho HS đọc yêu cầu của HĐ3:

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ  và .

+ GV hướng dẫn HS:

a) Có thể yêu cầu HS xem lại phần Chú ý ở mục Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian (Bài 6)

• Cho hai vectơ  đều khác   . Khi đó: .

• Với mọi ta có

b) GV hướng dẫn , HS thực hiện tương tự đối với  và : 

c) GV hướng dẫn . HS thực hiện tương tự đối với  và :

+ GV gọi 3 HS lên bảng trình bày. 

+ HS khác theo dõi, nhận xét.

+ GV tổng kết, rút ra kết luận. 

- GV trình chiếu nội dung trong Khung kiến thức.

- GV đặt câu hỏi cho HS:

• Nếu hai vectơ vuông góc với nhau thì tích vô hướng của chúng bằng bao nhiêu?

• HS viết biểu thức tọa độ tính độ dài vectơ.

• HS nhắc lại công thức tính côsin giữa hai vectơ và viết biểu thức tọa độ.

+ HS trả lời, GV nhận xét và trình chiếu phần Nhận xét trong SGK.

- GV cho HS nghiên cứu Ví dụ 3.

Trong không gian  cho hai vectơ  và .

a) Tính  và cho biết hai vectơ  và  có   vuông góc với nhau hay không?

b) Tính độ dài vectơ  .

+ GV chỉ định một HS đứng tại chỗ trình bày lại bài làm.

+ GV nhận xét.

- GV cho HS làm Luyện tập 3

Trong Ví dụ 3, tính .

+ GV hỏi HS:  không?

+ GV gọi một HS lên bảng trình bày.

+ HS khác theo dõi, nhận xét.

+ GV chốt đáp án.

- GV cho HS quan sát, nghiên cứu Ví dụ 4

Cho hình chóp  có đáy  là hình chữ nhật và  vuông góc với mặt phẳng . Giả sử . Xét hệ tọa độ  với  trùng A và các tia  lần lượt trùng với các tia  (H.2.48).

a) Xác định tọa độ của các điểm

b) BD và SC.

c) Tính .

………………….

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng 

HĐ3

a) Vì  có độ dài là 1 nên .

+ Vì  đôi một vuông góc nên .

b) Ta có:

Do đó

Mặt khác .

Suy ra

Tương tự, ta có: .

c) Ta có:  

.

Tương tự,  và . 

Mặt khác:

Nên  

Ghi nhớ

Trong không gian , tích vô hướng của hai vectơ  và  được xác định bởi công thức: 

Nhận xét

- Hai vectơ  và  vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu .

- Nếu  thì

- Nếu  và   là hai vectơ khác  thì

Ví dụ 3: SGK – tr.69

Hướng dẫn giải: SGK – tr.69

Luyện tập 3: SGK – tr69

Ta có: .

Ví dụ 4: SGK – tr.69 + 70 

Hướng dẫn giải: SGK – tr.69 + 70