Giáo án PPT dạy thêm Toán 12 cánh diều Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC

MÔN TOÁN!

Bài toán: Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là , với (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Khi đó là vận tốc của chất điểm tại thời điểm , kí hiệu là ; là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm điểm , kí hiệu là .

• Tìm các hàm và.
• Trong khoảng thời gian nào thì vận tốc của chất điểm tăng?

KHỞI ĐỘNG

Trả lời:

Ta có:

Xét hàm số

Ta có:

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:

chất điểm giảm.

CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA

HÀM SỐ

HỆ THỐNG

KIẾN THỨC

1. Tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số có đạo hàm trên tập , trong đó là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

• Nếu với mọi thuộc thì hàm số đồng biến trên
• Nếu với mọi thuộc thì hàm số nghịch biến trên

Chú ý: Nếu hàm số đồng biến trên tập hoặc nghịch biến trên tập thì hàm số còn được gọi là đơn điệu trên tập

Ví dụ: Các khoảng đơn điệu của hàm số

Giải

Hàm số đã cho có tập xác định là

Ta có bảng xét dấu của như sau:

Cho hàm số có đạo hàm trên tập trong đó là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. Nếu (hoặc ) với mọi thuộc và chỉ tại một số hữu hạn điểm của thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên

Giải

Hàm số đã cho có tập xác định

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số nghịch biến trên và .

2. Điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số

Cho hàm số liên tục trên tập trong đó là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng và

• được gọi là một điểm cực đại của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng chứa điểm sao cho và với mọi và
• được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng chứa điểm sao cho và với mọi và

2. Điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số

• Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị).

Chú ý: Nếu là một điểm cực trị của hàm số thì người ta nói rằng hàm số đạt cực trị tại điểm . Khi đó, điểm được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số

Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số hãy chỉ ra các điểm cực trị của đồ thị.

Giải

Xét khoảng chứa điểm

Quan sát đồ thị của hàm số

ta thấy:

với mọi và

Vậy là điểm cực đại của hàm số

Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số hãy chỉ ra các điểm cực trị của đồ thị.

Giải

Xét khoảng chứa điểm

Quan sát đồ thị của hàm số

ta thấy:

với mọi và

Vậy là điểm cực tiểu của hàm số

Định lí:

Giả sử hàm số liên tục trên khoảng chứa điểm và có đạo hàm trên các khoảng và . Khi đó:

a) Nếu với mọi điểm và với mọi điểm thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm

b) Nếu với mọi điểm và với mọi điểm thì hàm số đạt cực đại tại điểm

Giải

Hàm số có tập xác định là

Vậy hàm số đạt cực đại tại

Bảng biến thiên:

LUYỆN

TẬP

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng dấu của đạo hàm.

Phương pháp giải:

• Tìm tập xác định của hàm số.
• Tính , tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng hoặc không xác định.
• Lập bảng biến thiên (sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và xét dấu đạo hàm).
• Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến.

Bài 1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a)

Giải:

Hàm số đã cho có tập xác định là

Ta có: hoặc

Ta có bảng xét dấu của như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng và ; hàm số nghịch biến trên khoảng .

b)

Hàm số đã cho có tập xác định là

Ta có bảng xét dấu của như sau:

.

Giải:

c)

Hàm số đã cho có tập xác định là

Ta có: (Vì )

với mọi

Ta có bảng xét dấu của như sau:

Vậy hàm số nghịch biến trên .

Giải:

d)

Giải:

Hàm số đã cho có tập xác định là

Ta có:

Ta có bảng xét dấu của như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ; hàm số nghịch biến trên khoảng .

Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

Giải:

Hàm số đã cho có tập xác định

Ta có bảng xét dấu của như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên và .

Giải:

Vậy hàm số nghịch biến trên và .

Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

Hàm số đã cho có tập xác định

Ta có bảng xét dấu của như sau:

Giải:

Vậy hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên.

Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

Hàm số đã cho có tập xác định

Ta có bảng xét dấu của như sau:

Giải:

Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

Hàm số đã cho có tập xác định

Ta có: với mọi thuộc

(vì )

Vậy hàm số nghịch biến trên

Giải:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng và , nghịch biến trên khoảng và .

Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

Hàm số đã cho có tập xác định

Ta có:

Ta có bảng xét dấu của như sau:

Giải:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng .

Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

Hàm số đã cho có tập xác định

Ta có:

Ta có bảng xét dấu của như sau:

Bài 3. Chứng minh rằng:

Giải:

Hàm số đã cho có tập xác định

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên và .

Bài 3. Chứng minh rằng:

Giải:

Hàm số đã cho có tập xác định

Ta có:

với mọi

Vậy hàm số đồng biến trên

Bài 3. Chứng minh rằng:

Giải:

Hàm số đã cho có tập xác định là

Bài 3. Chứng minh rằng:

Giải:

Hàm số đã cho có tập xác định

Ta có:

Vậy hàm số nghịch biến trên và .

Bài 3. Chứng minh rằng:

Giải:

Hàm số đã cho có tập xác định

Ta có:

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .

1

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Xét tính đơn điệu của hàm hợp cho bởi bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số hoặc .

Phương pháp giải:

• Ta có hàm hợp , là một hàm đối với biến
• Tính
• Giải các bất phương trình hoặc lập bảng xét dấu của
• Đưa ra kết luận.

Bài 1. Cho hàm số xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên:

Giải:

Tìm các khoảng đồng biến của hàm số .

Đặt

Ta có:

--------------- Còn tiếp ---------------