Giáo án PPT dạy thêm Toán 12 cánh diều Bài 2: Tọa độ của vectơ

CHÀO MỪNG TẤT CẢ CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC!

KHỞI ĐỘNG

Trong không gian , cho hình lăng trụ tam giác có

a) Tìm tọa độ vectơ

b) Tìm tọa độ vectơ của các điểm

Giải:

a) Ta có

Giải:

b) Gọi . Ta có .

Vì là hình lăng trụ nên là hình bình hành, do đó

Khi đó

Vậy

Thực hiện tương tự, ta được .

CHƯƠNG II. TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 2. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ

HỆ THỐNG

KIẾN THỨC

I. Tọa độ của một điểm

1) Hệ trục tọa độ trong không gian

Khái niệm

Hệ gồm ba trục đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ

Chú ý:

• Ta gọi lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục .
• Trong hệ trục tọa độ , ta gọi: điểm là gốc tọa độ; là trục hoành, là trục tung, là trục cao; các mặt phẳng là các mặt phẳng tọa độ.
• Không gian với hệ trục tọa độ còn được gọi là không gian .

Ví dụ: Một căn phòng với hệ trục tọa độ được chọn như hình dưới đây.  

a) Bức tường có cửa sổ nằm trong mặt phẳng tọa độ nào?

b) Sàn nhà nằm trong mặt phẳng tọa độ nào?

Giải:

a) Bức tường có cửa sổ nằm trong mặt phẳng .

b) Sàn nhà nằm trong mặt phẳng .

Nhận xét: Các mặt phẳng tọa độ , , đôi một vuông góc với nhau.

2) Tọa độ của một điểm

Khái niệm

Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm .

• Xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng . Trong mặt phẳng tọa độ , tìm hoành độ , tung độ của điểm .
• Xác định hình chiếu của điểm trên trục cao , điểm ứng với số trên trục . Số là cao độ của điểm .

Chú ý:

• Tọa độ của một điểm trong không gian với hệ tọa độ luôn tồn tại và duy nhất.
• Người ta còn có thể xác định tọa độ điểm theo cách sau (hình sau):
• Xác định hình chiếu của điểm trên trục hoành , điểm ứng với số trên trục Số là hoành độ của điểm .
• Xác định hình chiếu của điểm trên trục tung , điểm ứng với số trên trục Số là tung độ của điểm .
• Xác định hình chiếu của điểm trên trục cao , điểm ứng với số trên trục Số là cao độ của điểm .

Ví dụ: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên các mặt phẳng tọa độ . Tìm tọa độ của các điểm .

Giải:

Gọi , , . Ta có:

• (Vì ) nên
• (Vì ) nên
• (Vì ) nên

II. Tọa độ của một vectơ

Khái niệm

Tọa độ của điểm được gọi là tọa độ của vectơ .

Chú ý: Trong không gian đối với hệ trục tọa độ , ta có:

• Vectơ đơn vị trên trục có tọa độ là

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ

a) Cho .

Tìm tọa độ của vectơ .

b) Cho .

Tìm tọa độ của điểm .

Giải:

a) Ta có: .

Do đó, .

b) Ta có: .

Dó đó, .

Chú ý: Trong không gian với hệ tọa độ tọa độ của một vectơ là tọa độ của điểm , trong đó là điểm sao cho .

Chú ý: Với và , ta có:

Như vậy, mỗi vectơ hoàn toàn được xác định khi biết tọa độ của nó.

Định lí 1:

Trong không gian với hệ tọa độ , nếu thì

Ngược lại, nếu thì

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho vectơ . Hãy biểu diễn vectơ theo các vectơ .

Giải:

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho vectơ . Hãy tìm tọa độ điểm .

Vì nên

Vì nên

.

Khi đó, .

Giải:

Định lí 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và . Khi đó, ta có .

Ví dụ: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hình bình hành , trong đó

a) Tìm tọa độ vectơ b) Tìm tọa độ điểm .

Giải:

a) Ta có:

b) Gọi . Ta có

Do là hình bình hành nên

Vậy .

LUYỆN TẬP

DẠNG 1: Tìm tọa độ của vectơ

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

Phương pháp giải:

• Sử dụng định lí 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và . Khi đó, ta có .
• Nếu thì

Bài 1. Trong không gian cho ba điểm . Tìm tọa độ của vectơ .

Giải:

Vì nên .

Vì nên .

Vì nên .

Bài 2. Trong không gian cho ba điểm . Tìm tọa độ của vectơ .

Giải:

Ta có:

.

.

.

Bài 3. Tìm tọa độ vectơ biết rằng:

a) Vì nên .

Vậy .

b) Vì nên .

Vậy .

c) Vì nên

Vậy

Giải:

Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật có cạnh . Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ ; các điểm lần lượt nằm trên các tia . Tìm tọa độ của các vectơ  .

Giải:

Ta có:

Do   (quy tắc hình bình hành) nên

Do   (quy tắc hình bình hành) nên

Giải:

Do   (quy tắc hình bình hành) nên

Khi đó

.

Áp dụng quy tắc hình hộp, ta có

Giải:

Vậy

.

Bài 5: Cho hình chóp đều có các cạnh bằng 1. Gọi là trung điểm của . Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ (như hình dưới). Tìm tọa độ của các vectơ  .

Ta có:

Giải:

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:

Gọi là hình chiếu của lên .

Giải:

Gọi .

Áp dụng quy tắc hình bình hành

Giải:

Vì là trung điểm của nên

Giải:

Bài 6. Một chiếc máy bay cất cách từ phi trường. Với hệ trục tọa độ được thiết lập như hình vẽ. Cho biết là vị trí của máy bay, , . Tìm tọa độ vectơ 

Giải:

Xét vuông tại có:

,

Xét vuông tại có:

DẠNG 2: Tìm tọa độ của điểm

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

--------------- Còn tiếp ---------------