Giáo án điện tử Toán 12 chân trời Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

CHÀO MỪNG CẢ LỚP ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Ta đã biết công thức tính thể tích của

Làm thế nào để tìm ra công thức đó?

CHƯƠNG IV:

NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN

BÀI 3: ỨNG DỤNG

HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

NỘI DUNG BÀI HỌC

1. Tính diện tích hình phẳng

2. Tính thể tích hình khối

1.

TÍNH DIỆN TÍCH

HÌNH PHẲNG

Gọi là đồ thị của hàm số . Kí hiệu là diện tích hình phẳng giới hạn bởi , trục hoành và trục tung; là diện tích hình phẳng giới hạn bởi , trục hoành và đường thằng (Hình 1).

a) Tính và so sánh với .

b) Tính và so sánh với .

c) So sánh với

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của một hàm số, trục hoành và hai đường thẳng

HĐKP1

Giải:

Vậy .

Vậy .

c) .

Kết luận

Cho hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng được tính bởi công thức:

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng

Diện tích cần tìm là

Ta có: hoặc

Với thì . Với thì

Vậy

Giải:

Chú ý:

Giả sử hàm số liên tục trên đoạn . Nếu không đổi dấu trên đoạn thì

Nếu phương trình không có nghiệm trên khoảng thì công thức trên vẫn đúng.

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .

Diện tích cần tìm là

Trên khoảng phương trình chỉ có hai nghiệm là và

Giải:

Vậy

Thực hành 1

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng

Giải:

Diện tích cần tìm là .

Ta có hoặc .

Vậy

Thực hành 2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thằng

Giải:

Ta có với mọi nên diện tích cần tìm là

Cho hai hàm số và lần lượt có đồ thị và như Hình 4.

a) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi , trục hoành và hai đường thẳng .

b) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi và hai đường thẳng .

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và hai đường thẳng

HĐKP2

Giải:

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng , trục hoành và hai đường thẳng là

Kết luận

Cho hai hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và hai đường thẳng được tính bởi công thức:

Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số , và hai đường thẳng

Ta có hoặc

Vậy

Giải:

Diện tích cần tìm là :

Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số , và hai đường thẳng

Ta có hoặc hoặc

Phương trình chỉ có hai nghiệm thuộc đoạn là và .

Vậy

Giải:

Diện tích cần tìm là :

Thực hành 3

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số , và hai đường thẳng

Giải:

Diện tích cần tìm là .

Ta có hoặc .

Hàm số trên đoạn và trên đoạn nên

Thực hành 4

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số , và hai đường thằng

Giải:

Diện tích cần tìm là .

Ta có hoặc .

Phương trình chỉ có một nghiệm thuộc đoạn là .

Vì với mọi nên

Vận dụng 1

Mặt cắt của một cửa hầm có dạng là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như Hình 7. Tính diện tích của cửa hầm.

Chọn hệ trục có trục hoành dọc chân cửa hầm, trục tung đi qua đỉnh của hầm.

Khi đó, phương trình của parabol có dạng .

Giải:

Giải:

Hoành độ giao điểm của parabol và trục hoành

2.

TÍNH THỂ TÍCH HÌNH KHỐI

kenhgiaovien

/

• Bài giảng và giáo án này chỉ có duy nhất trên kenhgiaovien.com
• Bất cứ nơi nào đăng bán lại đều là đánh cắp bản quyền và hưởng lợi bất chính trên công sức của giáo viên.
• Vui lòng không tiếp tay cho hành vi xấu.

Zalo: 0386 168 725

Trong không gian, cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , . Đặt trục số như Hình 8. Một mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ cắt hình chóp theo mặt cắt là hình vuông .

HĐKP3

Kí hiệu là diện tích của hình vuông .

a) Tính theo và

b) Tính và so sánh với thể tích của khối chóp .

Vậy .

Giải:

Trong không gian, cho một vật thể nằm trong khoảng không gian giữa hai mặt phẳng và cùng vuông góc với trục tại các điểm và . Mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích

Khi đó, nếu là hàm số liên tục trên thì thể tích của vật thể được tính bằng công thức: 

Ví dụ 5: Cho khối lăng trụ tam giác có diện tích đáy và chiều cao . Sử dụng tích phân, tính thể tích của khối lăng trụ theo và .

Giải:

Chọn trục song song với đường cao của khối lăng trụ sao cho hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với tại và (Hình 10).

Mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ cắt lăng trụ theo mặt cắt có diện tích không đổi

Do đó, thể tích khối lăng trụ là .

Thực hành 5

Một bình chứa nước có hình dạng như Hình 11. Biết rằng khi nước trong bình có chiều cao (dm) thì mặt nước là hình vuông có cạnh

Giải:

Đặt trục thẳng đứng, có gốc nằm trên mặt phẳng chứa đáy của bình như hình bên. Mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm cắt bình theo mặt cắt là hình vuông có diện tích

Giải:

Dung tích của bình là:

đường thẳng (Hình 12a). Quay hình xung quanh trục thì được một khối nón, kí hiệu là (Hình 12b).

a) Cắt khối bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ thì mặt cắt là hình gì? Tính diện tích của mặt cắt đó.

Thể tích khối tròn xoay

HĐKP4

b) Sử dụng công thức tính thể tích hình khối, tính thể tích của khối nón .

Giải:

a) Cắt khối bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ

b) Khối nón có chiều cao là 4, bán kính đáy là 2.

Thể tích khối nón là:

Cho là hàm số liên tục và không âm trên đoạn . Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .

Quay xung quanh trục ta được một hình khối gọi là khối tròn xoay.

Cắt khối tròn xoay trên bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ với , ta được mặt cắt là hình tròn có bán kính bằng và diện tích là .

Vậy khối tròn xoay có thể tích là

Ví dụ 6: Tính thể tích khối cầu có bán kính để trả lời câu hỏi ở Hoạt động Khởi động (trang 21).

Giải:

Khối cầu có bán kính là khối tròn xoay nhận được khi quay nửa hình tròn giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục quanh trục (Hình 14).

Từ đó, thể tích khối cầu là

--------------------------------------

--------------------- Còn tiếp ----------------------