Đáp án Toán 12 chân trời sáng tạo Bài 3: Phương trình mặt cầu

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN

Khái niệm mặt cầu

Phương trình của mặt cầu

Hoạt động 1:

Trong không gian , cho mặt cầu có tâm và bán kính .

Xét một điểm thay đổi.

a) Tính khoảng cách IM theo và .

b) Nêu điều kiện cần và đủ của để điểm nằm trên mặt cầu .

Trả lời rút gọn:

a) 

b) Điểm nằm trên mặt cầu

Hay

Vậy điểm nằm trên mặt cầu .

Thực hành 1: Viết phương trình mặt cầu :

a) Có tâm , bán kính ;

b) Có đường kính với và ; 

c) Có tâm và đi qua điểm .

Trả lời rút gọn:

a) Mặt cầu có phương trình:

b) Mặt cầu có đường kính nên có tâm là trung điểm của và 

 :

c) Mặt cầu có tâm và đi qua điểm nên có

Vậy có phương trình:

Vận dụng 1: 

Trong không gian (đơn vị của các trục toạ độ là mét), các nhà nghiên cứu khí tượng dùng một phần mềm mô phỏng bề mặt của một quả bóng thám không có dạng hình cầu bằng phương trình . Tìm toạ độ tâm, bán kính của quả bóng và tính khoảng cách từ tâm của quả bóng đến mặt đất có phương trình .

Trả lời rút gọn:

Quả bóng thám không có tâm và 

Khoảng cách từ tâm của quả bóng đến mặt đất có phương trình là .

Hoạt động 2:

a) Trong không gian , cho điểm thay đổi có toạ độ luôn thoả mãn phương trình . (*)

i) Biến đổi (*) về dạng:.

ii) Chứng tỏ luôn thuộc một mặt cầu . Tìm tâm và bán kính của .

b) Bằng cách biến đổi phương trình (**) về dạng, hãy cho biết phương trình (**) có thể là phương trình mặt cầu hay không.

Trả lời rút gọn:

a)

i)

ii) Vì điểm thay đổi có toạ độ luôn thoả mãn phương trình nên điểm luôn thuộc mặt cầu có  và

b)

 ; ; nên

Do đó phương trình (**) không phải là phương trình mặt cầu 

Thực hành 2:

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm

và bán kính của mặt cầu đó.

a) ;

b) .

Trả lời rút gọn:

a) Phương trình có dạng với , , ,

Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có  ,

b) Phương trình có dạng với , , ,

Suy ra phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu 

2. VẬN DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Vận dụng 2: 

Bề mặt của một bóng thám không dạng hình cầu có phương trình:

Tìm toạ độ tâm và bán kính mặt cầu.

Trả lời rút gọn:

 , , ,