Giáo án và PPT Toán 11 cánh diều Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 1: GÓC LƯỢNG GIÁC. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

GV yêu cầu HS thảo luận và trả lời:

Trên mặt chiếc đồng hồ, kim giây đang ở vị trí ban đầu chỉ vào số 3 (Hình 1). Kim giây quay ba vòng và một phần tư 1 vòng (tức là  vòng) đến vị trí cuối chỉ vào số 6. Khi quay như thế, kim giây đã quét một góc với tia đầu chỉ vào số 3, tia cuối chỉ vào số 6. Góc đó gợi nên khái niệm gì trong toán học? Những góc như thế có tính chất gì?

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. GÓC HÌNH HỌC VÀ SỐ ĐO CỦA CHÚNG

HĐ1

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Em hãy nêu định nghĩa góc trong hình học phẳng.

• Độ dài của nửa đường tròn lượng giác bằng bao nhiêu?

• Nửa đường tròn có số đo bằng bao nhiêu (số đo góc và rađian)?

• Rút ra công thức đổi đơn vị đo từ rađian sang độ và ngược lại?

• Hoàn thành Luyện tập 1.

Sản phẩm dự kiến:

Góc (còn được gọi là góc hình học) là hình gồm hai tia chung gốc. Mỗi góc có một số đo, đơn vị đo góc (hình học) là độ. Số đo của một góc (hình học) không vượt quá 180°. Chẳng hạn: Góc xOy gồm hai tia Ox và Oy chung gốc O có số đo là 60° (hình vẽ).

- Nếu trên đường tròn, ta lấy một cung tròn có độ dài bằng bán kính thì góc ở tâm chắn cung đó gọi là góc có số đo 1 radian (hình 2).

- 1 radian còn được viết tắt là 1 rad.

- Độ dài nửa đường tròn: .

- Số đo góc nửa đường tròn: 

180º bằng rad rad.

- 1 rad = và .

Nhận xét:

Ta biết góc ở tâm có số đo sẽ chắn cung bằng nửa đường tròn (có độ dài bằng ) nên số đo góc bằng

Do đó, 1 rad = và 

Chú ý

- Người ta thường không viết chữ radian hay rad sau số đo của góc. Chẳng hạn, cũng được viết là .

Ví dụ 1: (SGK – tr.6).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.6).

Luyện tập 1

Ta có:

; ;

; 

2. GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ SỐ ĐO CỦA CHÚNG

a) Khái niệm

HĐ2

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• So sánh chiều quay của kim đồng hồ với: 

a) Chiều quay từ tia Om đến tia Ox trong hình 3a.

b) Chiều quay từ tia Om đến tia Ox trong hình 3b.

• Thế nào là chiều âm, chiều dương khi quay tia Om.

• Hoàn thành luyện tập 2.

Sản phẩm dự kiến:

a) Chiều quay của kim đồng hồ ngược chiều với chiều quay từ tia Om đến tia Ox trong Hình 3a.

b) Chiều quay của kim đồng hồ cùng chiều với chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b.

- Để khảo sát việc quay tia Om quanh điểm 0 trong mặt phẳng, ta cần chọn một chiều quay gọi là chiều dương. Thông thường, ta chọn chiều dương là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều cùng chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều âm.

Kết luận

Cho hai tia Ou, Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác với tia đầu Ou và tia cuối Ov, kí hiệu là (Ou, Ov).

Ví dụ 2: (SGK – tr.7).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.7).

Luyện tập 2

Trong Hình 4b, góc lượng giác là (Oz, Ot) với tia đầu Oz và tia cuối Ot.

HĐ3

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

a) Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

b) Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng (tức là 3 ¼ – vòng). Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

c) Trong Hình 5c, tia Om quay theo chiều âm đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

Sản phẩm dự kiến:

a) 

Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng thì tia đó quét nên một góc 360°.

b) 

Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng (tức là vòng) thì tia đó quét nên một góc là .

c) 

Trong Hình 5c, tia Om quay theo chiều âm đúng một vòng thì tia đó quét nên một góc là ‒360°.

Nhận xét

Khi tia Om quay góc thì góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo (hay ). Vì thế, mỗi một góc lượng giác đều có một số đo, đơn vị đo góc lượng giác là độ hoặc radian. Nếu góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo bằng thì ta kí hiệu là sđ(Ou, Ov) = hoặc (Ou, Ov) = .

Kết luận

Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của góc đó.

Ví dụ 3: (SGK – tr.8).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.8).

Luyện tập 3

Ta có:

Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo được biểu diễn ở hình vẽ dưới đây:

b) Tính chất

HĐ4 

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

Trên hình 7a, ba góc lượng giác có cùng tia đầu Ou và tia cuối Ov, trong đó Ou ^ Ov. Xác định số đo của góc lượng giác trong các hình 7b, 7c, 7d.

Sản phẩm dự kiến:

- Hình 7b: 

Ta thấy chiều quay của tia Ou đến Ov là chiều dương, mà nên số đo của góc lượng giác (Ou, Ov) .

- Hình 7c: 

Ta thấy tia Ou quay một vòng từ Ou đến Ou, rồi quay tiếp từ Ou đến Ov theo chiều dương. Vậy số đo của góc lượng giác: 

- Hình 7d: 

Ta thấy chiều quay của tia Ou đến Ov là chiều âm và số đo góc lượng giác

Nhận xét:

Sự khác biệt giữa các góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối chính là số vòng quay quanh điểm O. Vì vậy, sự khác biệt giữa số đo của các góc lượng giác đó chính là bội nguyên của 360° khi các góc đó tính theo đơn vị độ (hay bội nguyên của rad khi các góc đó tính theo đơn vị radian).

Định lí

Nếu một góc lượng giác có số đo (hay radian) thì mọi góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác đó có số đo dạng: (hay ), với k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k.

Ví dụ 4: (SGK – tr.9).

Hướng dẫn giải SGK – tr.9.

Luyện tập 4

Gọi là số đo góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc lượng giác có số đo .

Ta có: .

HĐ5.

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Cho góc (hình học) xOz, tia Oy nằm trong góc xOz (Hình 8). Nêu mối liên hệ giữa số đo của góc xOz và tổng số đo của hai góc xOy và yOz.

• Em hãy nêu hệ thức Chasles.

• Hoàn thành bài luyện tập 5.

Sản phẩm dự kiến:

Do tia Oy nằm trong góc xOz nên:

Hệ thức Chasles:

Với ba tia tùy ý ta có:

, 

. 

Ví dụ 5: (SGK – 9).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.9).

Luyện tập 5

Theo hệ thức Chasles, ta có:

.

3. ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC

HĐ6

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Trong mặt phẳng toạ độ (định hướng) Oxy, hãy vẽ đường tròn tâm O với bán kính bằng 1.

• Hãy nêu chiều dương, chiều âm trên đường tròn tâm O với bán kính bằng 1.

• Thế nào là đường tròn lượng giác?

• Dựa vào đường tròn lượng giác ở phần HĐ6a, các em hãy xác định điểm B(0; 1), A’(-1; 0), B’(0; -1) và cho biết chúng nằm ở vị trí nào?

• Hoàn thành bài luyện tập 6.

Sản phẩm dự kiến:

a) Đường tròn tâm O có bán kính bằng 1 (hình vẽ):

b) Chiều dương là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ; chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ.

Khái niệm

Trong mặt phẳng tọa độ đã được định hướng Oxy, lấy điểm A(1; 0). Đường tròn tâm O, bán kính OA = 1 được gọi là đường tròn lượng giác (hay đường tròn đơn vị) gốc A.

Chú ý:

- Các điểm B(0; 1), A’(-1; 0), B’(0; -1) nằm trên đường tròn lượng giác.

Ví dụ 6: (SGK – tr.10).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.10).

Luyện tập 6

Ta có (OA, ON) = là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia ON và quay theo chiều âm (chiều quay của kim đồng hồ) một góc .

Điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, ON) = được biểu diễn như hình dưới đây:

4. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC

HĐ7

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = 60°.

b) So sánh: hoành độ của điểm M với cos 60°; tung độ của điểm M với sin 60° Trong trường hợp tổng quát, với mỗi góc lượng giác a, lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = a (Hình 10)

Thế nào là sin, cosin, tang, cotang?

Sản phẩm dự kiến:

a) Ta có (OA, OM) = 60° là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và quay theo chiều dương một góc 60°.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = 60° được biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

b) 

Ta có:

=> Hoành độ và tung độ điểm M lần lượt bằng .

Tổng quát:

Trong trường hợp tổng quát, với mỗi góc lượng giác , lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) =

Gọi tọa độ của điểm M trong hệ tọa độ Oxy là (x; y). Ta có các khái niệm sau:

Khái niệm

- Hoành độ x của điểm M gọi là cosin của góc lượng giác và kí hiệu .

- Tung độ y của điểm M gọi là sin của góc lượng giác và kí hiệu .

- Nếu thỉ tỉ số gọi là tang của góc lượng giác và kí hiệu

- Nếu thì tỉ số gọi là cotang của góc lượng giác và kí hiệu .

Ví dụ 7: (SGK – tr.11).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.11).

Luyện tập 7

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy.

Khi đó, ta có: , suy ra

Theo hệ thức trong tam giác vuông HOM, ta có: 

;

Do đó

Vậy ;

.

HĐ8

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

Sản phẩm dự kiến:

Giả sử M là một điểm trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = α = ‒30°.

Điểm M được biểu diễn như hình vẽ sau:

Khi đó ta có

Suy ra và

Do đó và

- Dấu của các giá trị lượng giác của góc phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường tròn lượng giác (Hình 12).

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác như sau:

Ví dụ 8: (SGK – tr.11).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.11).

Luyện tập 8

Giả sử điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho .

Do nên điểm M nằm trong góc phần tư thứ II.

Do đó

.

HĐ9

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Cho góc lượng giác . So sánh: 

a) và 1

b) và 1 với và

c) và với

d) và với

• Từ bài tập trên, hãy rút ra công thức tổng quát.

• Hoàn thành luyện tập 9.

Sản phẩm dự kiến:

a) 

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = α (hình vẽ).

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy.

Khi đó ta có .

Xét vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

Suy ra

Vậy .

b) Ta có: ; , (với ).

Suy ra .

c) Với , ta có:

(do ).

d) Với , ta có:

(do ).

Công thức

+ với mọi .

+ với .

+ với .

+ với .

Ví dụ 9: (SGK – tr.12).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.12).

Luyện tập 9

Do nên .

Áp dụng công thức , ta có:

Suy ra

=> (do ).

Khi đó

HĐ10

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác

• Hoàn thành luyện tập 10

Sản phẩm dự kiến:

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = α = 45° (hình vẽ).

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy.

Khi đó, ta có:

Theo hệ thức trong tam giác vuông HOM, ta có:

Do đó

Vậy

Ví dụ 10: (SGK – tr.12).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.12).

Luyện tập 10

Ta có:

5. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT

HĐ11

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Trên đường tròn lượng giác, cho hai điểm M, м' sao cho góc lượng giác (OA, OM)= α, góc lượng giác (OA, OM') = – α (Hình 13).

a) Nêu nhận xét về: hoành độ, tung độ của hai điểm M, M'. 

b) Nêu mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác α và – α

• Từ đó rút ra các công thức cho hai góc đối nhau (α và – α), hai góc hơn kém nhau, hai góc bù nhau, hai góc phụ nhau.

• Hoàn thành bài luyện tập 11.

Sản phẩm dự kiến:

a) Nhận xét: và .

b) Do nên .

Do nên

Khi đó: 

Công thức

- Hai góc đối nhau và

;

;

- Hai góc hơn kém nhau ( và )

;

;

- Hai góc bù nhau ( và )

; 

; 

;

. 

- Hai góc phụ nhau ( và )

;

; .

Ví dụ 11: (SGK – tr.14).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.14).

Luyện tập 11

a)

b)

6. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Nêu các bước sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc.

• Hoàn thành luyện tập 12

Sản phẩm dự kiến:

- Nếu đơn vị của góc lượng giác là độ (º), trước hết, ta chuyển máy tính sang chế độ “độ”.

- Nếu đơn vị của góc lượng giác là radian (rad), trước hết, ta chuyển máy tính sang chế độ “radian”.

Ví dụ 12: (SGK – tr.14).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.15).

Luyện tập 12

a) 

b) ta có:

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Trên đường tròn lượng giác, cho cung lượng giác AM có số đo là -6,32, với điểm đầu A(1;0). Điểm cuối M nằm trong góc phần tư nào của đường tròn lượng giác:

A. Góc phần tư thứ I

B. Góc phần tư thứ II

C. Góc phần tư thứ III

D. Góc phần tư thứ IV

Câu 2: Đổi 40∘25′ sang radian bằng

A. 0,5054

B. 0,2004

C. 0,1324

D. 0,7054

Câu 3: Góc lượng giác nào mà hai giá trị sin và cosin của nó trái dấu?

A. 100°

B. 80°

C. -95°

D. -300°

Sản phẩm dự kiến:

Câu 1: B

Câu 2: A

Câu 3: B

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

Câu 1: Trên đường tròn lượng giác cho điểm  xác định bởi sđ. Gọi  tương ứng là điểm đối xứng của  qua đường phân giác của góc phần tư thứ , trục  và trục. Tìm số đo của các góc lượng giác

Câu 2: Tính giá trị của biểu thức P = sin30°cos15° + sin150°cos165°