Giáo án và PPT Toán 11 cánh diều Bài 1: Giới hạn của dãy số

CHƯƠNG III. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC

BÀI 1. GIỚI HẠN DÃY SỐ

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

GV yêu cầu HS thảo luận và trả lời:

Zénon (Zê – nông, 496 – 429 trước Công Nguyên) là một triết gia Hy Lạp ở thành phố Edée đã phát biểu nghịch lí như sau: Achilles (A – sin) là một lực sĩ trong thần thoại Hy Lạp, người được mệnh danh là “có đôi chân chạy nhanh như gió” đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng. Nếu lúc xuất phát, rùa ở điểm A₁ cách Achilles một khoảng bằng a khác 0. Khi Achilles chạy đến vị trí của rùa xuất phát thì rùa chạy về phía trước một khoảng (như Hình 1). Quá trình này tiếp tục vô hạn. Vì thế, Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.

Trên thực tế, Achilles không đuổi kịp rùa là vô lí. Kiến thức toán học nào có thể giải thích được nghịch lí Zénon nói trên là không đúng?

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

Hoạt động 1: Định nghĩa

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Thực hiện HĐ1.
• Dãy số có giới hạn 0 khi n tiến tới dương vô cực khi nào?
• Khi nào thì ?
• Hoàn thành luyện tập 1.
• Thực hiện HĐ2.
• Dãy số có giới hạn hữu hạn là a khi n tiến tới dương vô cực khi nào?
• Hoàn thành luyện tập 2.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ 1:

a) Khi n ngày càng lớn thì giá trị của càng giảm dần về 0.

b) Ta có bảng:

(Bảng dưới)

Định nghĩa

Dãy số có giới hạn 0 khi dần tới dương vô cực, nếu nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu hay khi . Ta còn viết là .

Nhận xét:

Nếu ngày càng gần tới 0 khi n ngày càng lớn thì

Ví dụ 1 (SGK -tr.60)

Luyện tập 1

a) Xét: với mọi

Với mọi h > 0 bé tùy ý, ta có:

với mọi

Vậy lim 0 = 0.

b) Xét: với mọi

Với mọi bé tùy ý, ta có

Vậy với các số tự nhiên n lớn hơn thì

Theo định nghĩa, ta có .

HĐ 2:

Ta có

Định nghĩa

Dãy số có giới hạn hữu hạn là khi dần tới dương vô cực, nếu lim . Khi đó, ta viết hay hay khi .

Ví dụ 2 (SGK -tr.61)

Chú ý:

+ Một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

+ Không phải dãy số nào cũng có giới hạn, chẳng hạn như dãy số với .

Luyện tập 2

Đặt

Do

Vậy

Hoạt động 2: Một số giới hạn cơ bản

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Nêu một số giới hạn cơ bản.
• Hoàn thành luyện tập 3. 

Sản phẩm dự kiến:

Ta thừa nhận các giới hạn sau

a) với k là số nguyên dương cho trước;

b) với c là hằng số, k là số nguyên dương cho trước.

c) Nếu thì

d) Dãy số với có giới hạn là một số vô tỉ và gọi giới hạn đó là e.

Một giá trị gần đúng của e là 2,718281828459045.

Ví dụ 3 (SGK -tr.62)

Luyện tập 3

Ta có 0< do đó

2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Thực hiện HĐ3.
• Nêu định lí về giới hạn hữu hạn của một tổng, của một hiệu, của một tích, của một thường và của một số căn thức.
• Hoàn thành luyện tập 4.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ 3.

Suy ra 

Vậy

c) Ta có: 

Suy ra

Ta có: 

Vậy

Kết luận

a) Nếu thì:

b) Nếu và thì 

và .

Ví dụ 4 (SGK -tr.62)

Luyện tập 4 (SGK -tr.63)

a)

b)

3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Thực hiện HĐ4.
• Thế nào là cấp số nhân lùi vô hạn.
• Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho?
• Hoàn thành luyện tập 5 và luyện tập 6.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ 4:

a) Ta có

b)

Kết luận

Cấp số nhân vô hạn có công bội thỏa mãn được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là: 

Ví dụ 5 (SGK -tr.63)

Ví dụ 6 (SGK -tr.63)

Luyện tập 5

Ta có dãy số là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu và công bội  

Nên

Luyện tập 6

Thời gian Achilles chạy hết các quãng đường có độ dài 100 km, 1 km, km, km,... lần lượt là 1h, ,

Vậy thời gian đi hết quãng đường trên là 

Ta có

Vậy Archilles đuổi kịp rùa sau giờ.

4. GIỚI HẠN VÔ CỰC 

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Thực hiện HĐ5.
• Khi nào ta nói nói dãy số (u_n) có giới hạn là +∞? 
• Khi nào ta nói nói dãy số (u_n) có giới hạn là -∞? 
• Hoàn thành luyện tập 7 và luyện tập 8.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ 5:

Ta có: khi thì

Khi đó có thể lớn tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kết luận

- Ta nói dãy số có giới hạn là khi nếu lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu hay khi .

- Ta nói dãy số có giói hạn là khi nếu

Kí hiệu hay khi .

Ví dụ 7 (SGK -tr.64)Luyện tập 7 

Xét dãy số

Với M là số dương bất kì, ta thấy

Vậy với các số tự nhiên thì . 

Do đó,

Nhận xét:

+) (với k là số nguyên dương cho trước).

+) (với là số thực cho trước.

+) Nếu và thì

+) Nếu và với mọi n thì

+)

Ví dụ 8 (SGK -tr.64)

Luyện tập 8

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Giá trị lim (n³−2n+1) bằng:

A. 0

B. 1

C. −∞

D. +∞

Câu 2: Cho (u_n) là một cấp số nhân công bội q=1/3 và số hạng đầu u₁=2. Đặt S = u₁ + u₂ + …+ u_n. Khi đó limS_n bằng

A. 1

B. 2/3

C. 4/3

D. 3

Câu 3: Giá trị lim(5n – n² + 1) bằng:

A. 0

B. 1

C. −∞

D. +∞

Sản phẩm dự kiến:

Câu 1: B

Câu 2: A

Câu 3: B

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

Câu 1: Tính các giới hạn sau:

a)

b)

Câu 2: Tính các giới hạn sau:

a)

b)