Giáo án và PPT Toán 9 cánh diều bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

BÀI 3: GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

- GV kiểm tra kiến thức HS qua bài tập sau:

Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ 2 tỉnh A và B cách nhau 400km đi ngược chiều và gặp nhau sau 5 giờ. Nếu vận tốc của mỗi xe không thay đổi nhưng xe đi chậm xuất phát trước xe kia 40 phút thì 2 xe gặp nhau sau 5 giờ 22 phút kể từ lúc xe chậm khởi hành. Tính vận tốc mỗi xe?

- GV cho HS thảo luận theo nhóm đôi (cùng bàn), thống nhất kết quả ghi vào vở.

- GV dẫn dắt HS vào nội dung bài học.

HOẠT ĐỘNG HINH THÀNH KIẾN THỨC

1. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

Ta có thể giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế theo các bước sau:

Bước 1. (Thế) Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ấn một ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình một ấn

Bước 2. (Giải phương trình một ấn) Giải phương trình (một ẩn) nhận được ở Bước 1 để tìm giá trị của ấn đó

Bước 3. (Tìm ẩn còn lại và kết luận) Thế giá trị vừa tìm được của ẩn đó ở Bước 2 vào biểu thức biểu diễn một ấn theo ẩn kia ở Bước 1 để tìm giá trị của ấn còn lại. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.

2. GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ 

Ta có thể giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số theo các bước sau:

Bước 1. (Làm cho hai hệ số của một ấn nào đó bằng nhau hoặc đối nhau) Nhân hai về của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2. (Đưa về phương trình một ẩn) Cộng (hay trừ) từng về hai phương trình của hệ phương trình nhận được ở Bước 1 để nhận được một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0, tức là nhận được phương trình một ẩn. Giải phương trình một ẩn đó.

Bước 3. (Tìm ẩn còn lại và kết luận) Thế giá trị vừa tìm được ở Bước 2 vào một trong hai phương trình của hệ đã cho để tìm giá trị của ẩn còn lại. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.

3. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐẺ TÌM NGHIỆM CỦA HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

HS hoàn thành luyện tập 6 toán 9 cánh diều trang 24: sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ phương trình: 

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Bài 1 trang 25 sgk toán 9 tập 1 cd

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a);

b)

c)

Sản phẩm dự kiến:

Từ phương trình thứ (1), ta có x = 2y       

Thế vào (2), ta được: 3.(2y) + 2y = 8         (3)

Giải phương trình (3) ta được:

3.(2y) + 2y = 8         

6y + 2y = 8

8y = 8

y = 1

Mà x = 2y nên x = 2.1 = 2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y) = (2 ; 1).

b)

Từ phương trình (2), ta có: y =

Thay vào phương trình (1), ta được:        (3)

Giải phương trình (3) 

0x = 0

Vậy phương trình (3) có vô số nghiệm

Vậy hệ có vô số nghiệm.

Từ phương trình (2), ta có: y = 2x

Thế vào phương trình (1), ta được: 4x – 2.2x = 1  (3)

Giải phương trình (3)

4x – 2.2x = 1 

4x – 4x = 1

0x = 1

Vậy phương trình (3) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 2 trang 25 sgk toán 9 tập 1 cd

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

Sản phẩm dự kiến:

a)

Cộng từng vế phương trình (1) với phương trình (2) ta được: 3x = 6 (3)

Giải phương trình (3), ta được x =2

Thay x = 2 vào phương trình (2) ta có:

2 – y = 2

y = 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y) = (2 ; 0).

b)

Nhân phương trình (2) với 2 ta được hệ phương trình mới:

Trừ từng vế phương trình (3) cho phương trình (4) ta được: 11y = 11 (5)

Giải phương trình (5) ta có 11y = 11

y = 1

Thay y = 1 vào (1) ta được:

4x + 5.1 = 11

4x + 5 = 11

4x = 6

x =

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho (x ; y) =

c)

Chia phương trình (1) cho 6, ta được hệ phương trình mới

Cộng từng vế hai phương trình (3) và (4), ta được: 0x + 0y = 0 (5)

Vậy phương trình (5) có vô số nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

d)

Chia phương trình (2) cho 2, ta được hệ phương trình mới

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 0x + 0y = 10 (5)

Vậy phương trình (5) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 3 trang 25 sgk toán 9 tập 1 cd

Xác định a, b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A, B trong mỗi trường hợp sau:

a) A(1; –2) và B(–2; –11);

b) A(2; 8) và B(–4; 5).

 Sản phẩm dự kiến:

a) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(1 ; – 2) nên ta có: – 2 = a.1 + b

Hay a + b = – 2 (1)

Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm B(– 2 ; – 11) nên ta có: – 11 = a.(– 2) + b

Hay – 2a + b = – 11 (2)

Vậy a, b chính là nghiệm của hệ phương trình (1) và (2)

Trừ từng vế của phương trình (1) cho (2), ta được 3a = 9

a = 3

Thay a = 3 vào phương trình a + b = – 2 

3 + b = – 2 

b = – 5

Vậy đồ thị hàm số có dạng: y = 3x – 5. 

b) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(2 ; 8) nên ta có: 8 = a.2 + b

Hay 2a + b = 8 (1)

Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm B(– 4 ; 5) nên ta có: 5 = a.(– 4) + b

Hay – 4a + b = 5 (2)

Vậy a, b chính là nghiệm của hệ phương trình (1) và (2)

Trừ từng vế của phương trình (1) cho (2), ta được 6a = 3

a =

Thay a = vào phương trình 2a + b = 8 

2. + b = 8

1 + b = 8 

b = 7

Vậy đồ thị hàm số có dạng: y = . 

Bài 4 trang 25 sgk toán 9 tập 1 cd

Một ca nô đi xuôi dòng một quãng đường 42 km hết 1 giờ 30 phút và ngược dòng quãng đường đó hết 2 giờ 6 phút. Tính tốc độ của ca nô khi nước yên lặng và tốc độ của dòng nước. Biết rằng tốc độ của ca nô khi nước yên lặng không đổi trên suốt quãng đường và tốc độ của dòng nước cũng không đổi khi ca nô chuyển động.

 Sản phẩm dự kiến:

Gọi x là vận tốc của ca nô khi nước yên lặng 

Gọi y là vận tốc của dòng nước (x, y > 0)

Ta có 1 giờ 30 phút = giờ

2 giờ 6 phút =

Quãng đường (S) = Vận tốc (v) . Thời gian (t)

Ca nô đi xuôi dòng thì vận tốc là: x + y (km/h)

Ca nô đi ngược dòng thì vận tốc là: x – y (km/h)

Ca nô đi xuôi dòng quãng đường 42 km hết 1 giờ 30 phút nên ta có phương trình:

Hay x + y = 28    (1)

Ca nô đi ngược dòng quãng đường đó hết 2 giờ 6 phút nên ta có phương trình:

Hay x – y = 20     (2)

Nên x, y là nghiệm của hệ (1) và (2):

Giải hệ phương trình, ta cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: 2x = 48

x = 24

Thay x = 24 vào phương trình (1), ta được: x + y = 28

24 + y = 28

y = 4

Vậy vận tốc của ca nô là 24 km/h và vận tốc của dòng nước là 4 km/h

Sau bài học này em làm được những gì?

Học sinh giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số.

Học sinh tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng máy tính cầm tay (MTCT).

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Yêu cầu: HS hoàn thành bài tập trắc nghiệm.

Câu 1: Cho hệ phương trình . Cộng từng vế của hai phương trình ta được phương trình:

A.

B.

C.

D.

Câu 2: Biến đổi hệ phương trình thành hệ mới là ta đã thực hiện:

A. nhân cả hai vế phương trình thứ nhất với

B. nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 2

C. chia cả hai vế phương trình thứ nhất với

D. chia cả hai vế phương trình thứ nhất với

Cho hệ phương trình . Hãy trả lời Câu 3 và Câu 4

Câu 3: Rút ở phương trình thứ nhất, ta được:

A.

B.

C.

D.

Câu 4: Thế vừa rút được ở Câu 3 vào phương trình thứ hai, ta được:

A.

B.

C.

D.

Câu 5: Cho hệ phương trình . Trừ từng vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất, ta được phương trình:

A.

B.

C.

D.

Sản phẩm dự kiến: