Bài tập file word Toán 6 Kết nối tri thức Bài 35: Trung điểm của đoạn thẳng
Bộ câu hỏi tự luận Toán 6 Kết nối tri thức. Câu hỏi và bài tập tự luận Bài 35: Trung điểm của đoạn thẳng. Bộ tài liệu tự luận này có 4 mức độ: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao. Phần tự luận này sẽ giúp học sinh hiểu sâu, sát hơn về môn học Toán 6 Kết nối.
Xem: => Giáo án Toán 6 sách kết nối tri thức và cuộc sống
BÀI 35. TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG (21 BÀI)
1. NHẬN BIẾT (5 BÀI)
Bài 1: Cho đoạn thẳng cm. Gọi là điểm nằm giữa và , cm . là trung điểm của . Tính .
Đáp án:
Vì điểm nằm giữa hai điểm và
Nên
Suy ra (cm)
Vì là trung điểm của đoạn thẳng
Nên .
Bài 2: Cho đoạn thẳng cm. là điểm nằm giữa hai điểm và . Gọi và lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng và . Tính độ dài đoạn thẳng .
Đáp án:
Vì điểm nằm giữa hai điểm và nên
Vì và lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng và nên ta có:
, .
Vì nằm giữa và , nằm giữa và , nằm giữa và , suy ra M nằm giữa và
Do đó .
Bài 3: Trên tia cho điểm , , , biết rằng nằm giữa và ; nằm giữa và ; cm, cm, cm và độ dài đoạn gấp đôi độ dài đoạn . Tính độ dài các đoạn , .
Đáp án:
Vì nằm giữa và nên
Vì nằm giữa và ; nằm giữa và nằm giữa và .
Trên tia , ta có ()
Nên điểm D nằm giữa hai điểm và .
Suy ra :
(cm).
Vì nằm giữa hai điểm và
Nên
Từ và ta có:
Theo đề ra: thay vào
Ta có
(cm)
(cm)
Vậy (cm), (cm).
Bài 4: Đoạn thẳng cm được chia thành bốn đoạn thẳng có độ dài không bằng nhau theo thứ tự là các đoạn thẳng . Gọi , , , theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng, , . Biết độ dài của đoạn thẳng cm. Tính độ dài của đoạn thẳng .
Đáp án:
Vì đoạn thẳng được chia thành bốn đoạn thẳng có độ dài không bằng nhau theo thứ tự là các đoạn thẳng , , , nên suy ra các điểm , , nằm giữa hai điểm , theo thứ tự nằm giữa và , nằm giữa và , nằm giữa và .
Mặt khác : , , , theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng, , , nên điểm nằm giữa hai điểm và , điểm nằm giữa hai điểm và .
Do đó ta có:
Mà, .
Suy ra:
Màvà (do và là trung điểm của và )
Từ và ta có :
(cm).
Vì các điểm , , nằm giữa hai điểm , theo thứ tự nằm giữa và , nằm giữa và , nằm giữa và nên ta có:
Suy ra: .
Mặt khác , lần lượt là trung điểm của , nên ta có: ;
Do đó ta có: (*)
Theo đề bài, thứ tự các điểm chia và thứ tự trung điểm các đoạn thẳng thì là điểm nằm giữa hai điểm , và là điểm nằm giữa hai điểm , .
Do đó ta có: ,
Thay vào (*) ta có: (cm)
Vậy độ dài đoạn thẳng là (cm).
Bài 5: Đoạn thẳng có độ dài cm được chia thành ba đoạn thẳng không bằng nhau theo thứ tự , và . Gọi, là trung điểm của đoạn thẳng, . Biết độ dài đoạn cm. Tìm độ dài đoạn .
Đáp án:
Đoạn được chia thành ba đoạn theo thứ tự , và .
Vậy hai điểm, nằm giữa hai điểm và .
Vì là trung điểm của nên
là trung điểm của nên
Từ và có :
Vì điểm và điểm nằm giữa hai điểm , và điểm nằm giữa hai điểm ,
Nên:
Suy ra
Suy ra: (cm)
Vậy đoạn (cm)
2. THÔNG HIỂU (6 BÀI)
Bài 1: Trên tia vẽ 2 đoạn thẳng và sao cho ,
- a) Điểm có nằm giữa hai điểm O và N không? Tại sao?
- b) Tính độ dài đoạn thẳng .
- c) Điểm M có là trung điểm của đoạn thẳng không? Tại sao?
- d) Lấy E là trung điểm của đoạn thẳng . Tính độ dài đoạn thẳng
Đáp án:
- a) Trên tia Ox có (vì ) nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N.
- b) Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N nên ta có:
Þ
- c) Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N; nêm điểm M là trung điểm của đoạn thẳng
- d) Vì E là trung điểm của đoạn thẳng nên ta có:
Trên tia NO có (vì ) nên điểm E nằm giữa hai điểm O và N
Þ
Þ
Bài 2: Cho O là điểm thuộc đường thẳng . Trên tia Ox lần lượt lấy các điểm A; B và C sao cho , , .
- a) Trong ba điểm , điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
- b) Điểm A có là trung điểm của đoạn thẳng không? Vì sao?
- c) Trên tia Oy lấy điểm D sao cho . So sánh độ dài đoạn thẳng và .
Đáp án:
- a) Trên tia có (vì 3cm < 8cm) nêm điểm A nằm giữa hai điểm O và B.
- b) Trên tia có (vì 3cm < 6cm) nên điểm A nằm giữa hai điểm O và C
Þ
Þ (cm)
Vì điểm A nằm giữa hai điểm O và C; nêm điểm A là trung điểm của đoạn thẳng OC.
- c) Vì tia Ox và Oy là hai tia đối nhau mà A Î Ox, D Î Oy ên điểm O nằm giữa hai điểm O và D
Þ (cm)
Vậy (vì )
Bài 3: Trên tia lấy hai điểm và sao cho , .
- Tính độ dài đoạn .
- Vẽ tia là tia đối của tia , trên tia lấy điểm sao cho . Tính và .
|
Đáp án:
- Trên tia : , . Vì nên điểm nằm giữa hai điểm và .
Do đó:
Hay .
- Vì tia là tia đối của tia , trên tia lấy điểm , trên tia lấy hai điểm và nên điểm nằm giữa hai điểm và ; điểm nằm giữa hai điểm và .
+ Ta có:
Hay
+ Có:
Hay
Vậy .
Bài 4: Trên tia Ox lấy hai điểm sao cho , .
- a) Tính độ dài đoạn thẳng AB.
- b) Trên tia đối của tia Ox lấy điểm C sao cho . Tính độ dài đọan thẳng AC.
- c) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng OB. Điểm O có là trung điểm của đoạn thẳng CI không? Vì sao?
Đáp án:
- a) Trên tia Ox có (vì 2cm < 6cm) nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B.
Þ
Þ (cm)
- b) Vì OC là tia đối của tia Ox, nên điểm O nằm giữa hai điểm A và C
Þ (cm)
- c) Vì I là trung điểm của OB nên
Vì OC và Ox là hai tia đối nhau mà
nên điểm O nằm giữa hai điểm I và C, lại có nên O là trung điểm của đoạn thẳng
Bài 5: Cho đoạn thẳng . Gọi và lần lượt là trung điểm của và .
Giả sử cm. Tính .
Đáp án:
Do là trung điểm của nên ta có:
Do là trung điểm của nên ta có:
Vậy
Bài 6: Trên tia Ox, lấy hai điểm A và B sao cho , .
- a) Tính AB.
- b) Vẽ tia Oy là tia đối của tia Ox, trên tia Oy lấy điểm C sao cho . Tính AC.
- c) Điểm A có là trung điểm của BC không? Vì sao?
Đáp án:
- a) Trên tia Ox có ( 2cm < 5cm)
Nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B.
Suy ra:
- b) Vì , và Ox, Oy là hai tia đối nhau nên điểm O nằm giữa hai điểm C và A.
Suy ra:
- c) Điểm A là trung điểm của BC vì:
- Hai điểm O , C nằm cùng phía đối với điểm A. Điểm A lại nằm giữa hai điểm O và B nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C.
và ( = 3cm)
3. VẬN DỤNG (5 BÀI)
Bài 1: Cho đoạn thẳng và điểm nằm giữa hai điểm và . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng là trung điểm của đoạn thẳng .
- a) Tính độ dài đoạn thẳng .
- b) Cần thêm điều kiện gì để điểm là trung điểm của đoạn thẳng ? Tại sao?
Đáp án:
- a) là trung điểm của , nên(1)
là trung điểm của , nên (2)
Hai điểm và thuộc hai tia đối nhau là và , nên điểm nằm giữa hai điểm và .
ta có: (3)
Thay (1), (2) vào (3) ta có :
Vậy.
- b) Muốn cho là trung điểm của thì phải có thêm điểu kiện .
Từ (1) và (2) suy ra :
hay .
Tức là, phải là trung điểm của đoạn (không phải là điểm bất kì ).
Bài 2: Cho đoạn thẳng cm. Trên tia đối của tia lấy điểm . Biết là trung điểm của đoạn thẳng , là trung điểm của đoạn thẳng .
- a) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn lớn hơn độ dài đoạn .
- b) Tìm độ dài đoạn .
Đáp án:
- a) Điểm thuộc tia đối của tia nên điểm nằm giữa hai điểm ,
Suy ra
Mà
Suy ra độ dài đoạn lớn hơn độ dài đoạn .
- b) Vì là trung điểm của đoạn , nên :
Vì là trung điểm của đoạn , nên :
Mà ( câu a), nên , chứng tỏ điểm nằm giữa hai điểm ,
Suy ra :
Thay và vào , ta có : (cm).
Vậy (cm).
Bài 3: Vẽ tia . Trên tia xác định hai điểm và sao cho nằm giữa , và cm, . Tính độ dài các đoạn.
Đáp án:
Vì điểm nằm giữa hai điểm , nên
Mà , cm
Suy ra:
(cm)
Do đó: (cm).
Vậy (cm), (cm).
Bài 4: Trên tia lấy các điểm sao cho cm, cm. Gọi là trung điểm của đoạn thẳng , là trung điểm của đoạn thẳng Tính độ dài các đoạn thẳng , .
Đáp án:
Trên tia , ta có nên điểm nằm giữa hai điểm và .
Do đó:
(cm)
Vì là trung điểm của đoạn thẳng
Nên (cm)
Vì là trung điểm của đoạn thẳng
Nên (cm)
Mà điểm nằm giữa hai điểm và , điểm nằm giữa hai điểm và , nằm giữa hai điểm và nên suy ra nằm giữa hai điểm I và .
Suy ra:
(cm).
Vậy (cm), (cm).
Bài 5: Cho ba điểm , , sao cho cm, cm và cm. Lấy điểm nằm trên đường thẳng sao cho cm. Tính độ dài đoạn thẳng ?
Đáp án:
Vì do nên điểm nằm giữa hai điểm và .
nằm trên đường thẳng và hai tia , đối nhau.
+) Trường hợp 1: nằm trên tia
Ta có: và là hai tia đối nhau nên nằm giữa và
Khi đó: (cm)
+) Trường hợp 2: nằm trên tia
Trên tia , ta có (do ) nên điểm nằm giữa hai điểm và
Khi đó:
(cm)
Vậy (cm), (cm) .
4. VẬN DỤNG CAO (5 BÀI)
Bài 1: Cho đoạn thẳng biết cm. Lấy 2 điểm , trên đoạn (, không trùng với , ) sao cho cm.
- Chứng minh rằng: Điểmnằm giữa hai điểm và .
- Tính độ dài đoạn thẳng .
Đáp án:
1) Vì điểm nằm trên đọan nên điểm nằm giữa hai điểm ,
Suy ra
Theo bài ra ta có:
Từ và suy ra .
Trên tia có nên điểm nằm giữa hai điểm và .
2) Vì điểm nằm giữa và nên
Ta có:
(cm)
Vậy (cm)
Bài 2: Trên tia cho điểm , , , . Biết rằng nằm giữa và ; nằm giữa và ; cm, cm, cm và .
- a) Tính độ dài .
- b) Chứng tỏ rằng: Điểm là trung điểm của đoạn thẳng .
Đáp án:
- a) Đặt (cm) (cm)
Trên tia có ( vì ) Nên điểm nằm giữa hai điểm và
Suy ra:
(cm)
Vì điểm nằm giữa hai điểm và , điểm nằm giữa hai điểm và C
Nên điểm nằm giữa hai điểm và .
Suy ra
Vì nằm giữa và nên: hay
Từ và ta có:
(cm)
Vậy (cm)
- b) Theo ta có: mà .
Mà .
Mặt khác điểm nằm giữa 2 điểm và .
Suy ra là trung điểm của đoạn thẳng .
Bài 3: Trên tia lấy hai điểm và , sao cho cm và cm.
- a) Tính độ dài đoạn thẳng .
- b) Lấy điểm trên tia , sao cho Tính độ dài đoạn thẳng .
- c) Trong trường hợp nằm giữa và . Chứng tỏ rằng là trung điểm của đoạn thẳng .
Đáp án:
- a) Trên tia , ta có: () nên nằm giữa hai điểm và
(cm)
Vậy (cm).
b)TH1: nằm giữa và .
Vì nằm giữa và mà nằm giữa hai điểm và
Nên nằm giữa và
(cm)
TH2: nằm giữa và .
Vì nằm giữa và
Nên
(cm).
c)Vì nằm giữa và nên
(cm)
Trên tia , ta có () nên nằm giữa và
(cm).
Do đó:
Trên tia , ta có: nên nằm giữa và
Từ và suy ra là trung điểm của
Bài 4: Cho các điểm , , nằm trên cùng một đường thẳng. Các điểm , lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng , . Chứng tỏ rằng: . Bài toán có mấy trường hợp, hãy chứng tỏ từng trường hợp đó?
Đáp án:
- Trường hợp 1: Hai điểm , ở cùng phía với , tức là hai tia , trùng nhau.
* Trường hợp này có thể chia làm hai trường hợp nhỏ là : (hai trường hợp chứng minh tương tự).
Giả sử: .
Vì là trung điểm của , nên:
Vì là trung điểm của , nên:
Từ và ta có :
Ta xét , nên điểm nằm giữa hai điểm và .
Suy ra:
nên điểm nằm giữa hai điểm và .
Suy ra:
Thay và vào , ta có: hay
* Trường hợp 2: Hai tia và đối nhau
Mà điểm thuộc tia , điểm thuộc tia
Nên và là hai tia đối nhau
là trung điểm của , nên:
là trung điểm của , nên:
Từ và có:
Vì , là hai tia đối nhau, nên điểm nằm giữa hai điểm , .
Suy ra:
Vì và thuộc hai tia đối nhau, nên điểm nằm giữa hai điểm ,
Suy ra:
Thay và vào , ta có : hay .
Bài 5: Đoạn thẳng có độ dài bằng được chia thành ba đoạn thẳng bởi hai điểm chia , theo thứ tự là đoạn , , sao cho . Tìm khoảng cách giữa:
- a) Điểm và điểm với là trung điểm của .
- b) Điểm và điểm với là trung điểm của đoạn .
Đáp án:
- a) Đoạn được chia thành ba đoạn theo thứ tự , , nên suy ra
.
Mà
Suy ra:
Vậy
Vì là trung điểm của , nên :
là trung điểm của , mà nằm giữa hai điểm , nên cũng nằm giữa hai điểm , .
Suy ra:
Từ ta có:
Thay vào có:
(cm)
- b) Theo ta có: .
Theo ta có: .
Vậy ta suy ra:
Mà là trung điểm của , nên .
mà ,
Vậy : .
Theo đầu bài, đoạn được chia thành ba đoạn thẳng theo thứ tự , ,
Suy ra
Thay , , vào có:
(cm).
Bài 6: Trên tia vẽ các điểm , , sao cho , , . Điểm có là trung điểm của đoạn thẳng hay không? Vì sao?
Đáp án:
Trên tia ta có () nên nằm giữa hai điểm và
Suy ra:
(cm)
Trên tia ta có () nên điểm nằm giữa hai điểm và
Suy ra:
(cm)
Từ và suy ra .
Mặt khác Trên tia ta có
suy ra điểm nằm giữa hai điểm và .
Từ và là trung điểm của đoạn thẳng .
Bài 7: Cho đoạn thẳng và trung điểm của nó. Chứng tỏ rằng nếu là điểm thuộc đoạn thẳng thì .
Đáp án:
Vì điểm nằm giữa hai điểm và nên:
Vì điểm nằm giữa hai điểm và nên:
Vì là trung điểm của nên
Từ , và ta được:
Suy ra:
Bài 8: Trên tia xác định các điểm sao cho (cm), (cm).
- a) Tính độ dài đoạn thẳng , biết .
- b) Xác định điểmtrên tia sao cho .
Đáp án:
- a) Trên tia , ta có: nên điểm nằm giữa điểm và điểm .
Suy ra:
Suy ra:
- b) Vì nằm trên tia và
Þ là điểm thuộc đoạn thẳng sao cho .
Bài 9: 1. Trên tia , lấy điểm và sao cho cm, cm. Tính độ dài đoạn thẳng . Điểm có là trung điểm của đoạn thẳng không? Vì sao?
- Cho đoạn thẳng . Điểm thuộc tia đối của tia . Gọi , theo thứ tự là trung điểm của và . Chứng minh rằng: và .
Đáp án:
1) Chứng minh được nằm giữa và .
Ta có
Điểm có là trung điểm của đoạn thẳng vì : nằm giữa và và
2) Chứng minh rằng: và .
Vì là trung điểm của , điểm thuộc tia đối của tia nên nằm giữa và .
Suy ra:
Lại có nằm giữa và
Từ và
Vậy
Lại có là trung điểm của
Có , , theo thứ tự là trung điiểm của và
nằm giữa và
Bài 10: Trên tia lấy hai điểm , sao cho cm, cm.
- a) Tính độ dài đoạn thẳng .
- b) Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho là trung điểm của đoạn thẳng . Lấy điểm thuộc đoạn thẳng sao cho . Hỏi có là trung điểm của đoạn thẳng không? Vì sao?
Đáp án:
- a) Trên tia có , nên điểm A nằm giữa hai điểm B và O.
Suy ra
(cm)
Vậy (cm) .
- b) Vì điểm là trung điểm của đoạn thẳngnên (cm).
Vì điểm thuộc đoạn thẳng và
Nên điểm là trung điểm của đoạn thẳng .
Suy ra (cm).
Vì hai điểm , nằm trên hai tia đối nhau gốc nên điểm nằm giữa hai điểm , .
Suy ra:
(cm)
Trên tia có nên điểm nằm giữa hai điểm và .
Suy ra:
(cm).
Ta thấy nên điểm không là trung điểm của đoạn thẳng .