Đáp án Toán 12 cánh diều bài 3: Phương trình mặt cầu

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

I. ĐỊNH NGHĨA MẶT CẦU

Hoạt động 1:

Nếu quay đường tròn tâm I, bán kính R quanh đường kính AB một vòng (Hình 39) thì hình tạo thành được gọi là mặt cầu. Những điểm thuộc mặt cầu đó cách I một khoảng bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn chi tiết:

Những điểm thuộc mặt cầu cách I một khoảng bằng bán kính R.

Luyện tập – vận dụng 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và mặt cầu tâm I đi qua điểm A(0; 4; 5). Tính bán kính R của mặt cầu đó.

Hướng dẫn chi tiết:

Bán kính R của mặt cầu bằng độ dài MA. Ta có:

Độ dài MA:

II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Luyện tập – vận dụng 2:

Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình:

Hướng dẫn chi tiết:

Tâm I của mặt cầu: I(0;-5;1)

Bán kính mặt cầu:

Luyện tập – vận dụng 3:

Viết phương trình của mặt cầu, biết:

a) Tâm O bán kính R với O là gốc tọa độ

b) Đường kính AB với A(1;2;1), B(3;4;7)

Hướng dẫn chi tiết:

a) Ta có:

Mặt cầu có tâm O(0;0;0) và bán kính R có phương trình là:

b) Mặt cầu có đường kính AB với A(1;2;1), B(3;4;7)

Tâm I của mặt cầu là trung điểm đoạn thẳng AB:

Bán kính R bằng độ dài đoạn AI:

Phương trình mặt cầu:

Luyện tập – vận dụng 4:

Chứng minh rằng phương trình là phương trình mặt cầu. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu đó?

Hướng dẫn chi tiết:

Ta có:

Tâm của mặt cầu là I=(3,1,2)

Bán kính

III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG THỰC TIỄN

Luyện tập – vận dụng 5:

Trong ví dụ 6 giả sử người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí (21;35;50) đến vị trí D(5 121; 658; 0). Tìm vị trí cuối cùng trên đoạn thẳng ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.

Hướng dẫn chi tiết:

Ta có phương trình mặt cầu mô tả ranh giới ngọn hải đăng:

Vị trí cuối cùng thấy ánh sáng cách tâm mặt cầu 1 đoạn bằng R:

Gọi M(x;y;z) là điểm cuối cùng thấy ánh sáng. Tọa độ M thỏa mãn:

M thuộc đoạn ID. Ta có vector chỉ phương của ID:

Phương trình tham số của đoạn ID:

Thay x,y,z vào phương trình mặt cầu: 

Tính tọa độ M:

GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1:

Tâm của mặt cầu có tọa độ là:

A. (-2; 3; 4)

B. (2; 3; -4)

C. (2; -3; -4)

D. (2; -3; 4)

Hướng dẫn chi tiết:

Phép tính là phương trình mặt cầu có tâm I(2; 3; -4) và bán kính R = 4.

Đáp án: B.

Bài 2:

Bán kính của mặt cầu bằng:

A. 3

B. 9

C. 81

D.

Hướng dẫn chi tiết:

Phép tính là phương trình mặt cầu có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 3.

Đáp án: A. 3

Bài 3:

Mặt cầu (S) tâm I(-5; -2; 3) bán kính 4 có phương trình là:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn chi tiết:

Phương trình mặt cầu có tâm I(-5; -2; 3) và bán kính R = 4 là:

Đáp án: B. 

Bài 4:

Cho mặt cầu có phương trình

a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.

b) Mỗi điểm A(1; 1; 1), B(9; 4; 7), C(9; 9; 10) nằm trong, nằm ngoài hay nằm trên mặt cầu đó?

Hướng dẫn chi tiết:

a)Mặt cầu có tâm I(1; -2; 7) và bán kính R = 10.

b) Ta có:

 Điểm A(1; 1; 1) cách tâm I(1; -2; 7) một khoảng là nhỏ hơn bán kính R = 10. Do đó, điểm A nằm trong mặt cầu.

 Điểm B(9; 4; 7) cách tâm I(1; -2; 7) một khoảng là. Do đó, điểm B nằm trên mặt cầu.

Điểm C(9; 9; 10) cách tâm I(1; -2; 7) một khoảng là lớn hơn bán kính R = 10. Do đó, điểm C nằm ngoài mặt cầu.

Bài 5:

Cho phương trình

Chứng minh rằng phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Hướng dẫn chi tiết:

Ta có:

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu

Từ chứng minh trên, ta thấy mặt cầu có tâm I(2, 1, 5) và bán kính

-------------------------------- 

------------- Còn tiếp -------------