Đáp án Toán 12 cánh diều bài 1: Tính đơn điệu của hàm số
File đáp án Toán 12 cánh diều Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số. Toàn bộ câu hỏi, bài tập ở trong bài học đều có đáp án. Tài liệu dạng file word, tải về dễ dàng. File đáp án này giúp kiểm tra nhanh kết quả. Chỉ có đáp án nên giúp học sinh tư duy, tránh học vẹt.
Xem: =>
BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I. NHẬN BIẾT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ BẰNG DẤU CỦA ĐẠO HÀM
Hoạt động 1:
- Nêu định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên tập K⊂R, trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.
- Cho hàm số y=fx=x2 có đồ thị như Hình 2.
- Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
- Xét dấu của đạo hàm f'x=2x.
- Nêu mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số fx=x2 và dấu của đạo hàm f'x=2x trên mỗi khoảng -∞;0, (0;+∞).
- Hoàn thành bảng biến thiên sau:
x | -∞ | 0 | +∞ | ||
f'x | ? | ? | ? | ||
fx | +∞ | ? | +∞ |
Hướng dẫn chi tiết:
- Cho K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và f(x) là hàm số xác định trên K.
- Hàm số f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi x1, x2 thuộc K và x1<x2 thì fx1<fx2.
- Hàm số f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi x1, x2 thuộc K và x1<x2 thì fx1>fx2.
- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K còn được gọi là hàm số đơn điệu trên K.
- Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞) và nghịch biến trên khoảng (-∞;0).
- Đạo hàm f'x=2x âm khi x<0 và dương khi x>0.
- Hàm số y=fx=x2 nghịch biến khi f'x=2x mang dấu âm và đồng biến khi f'x=2x mang dấu dương.
- Ta có bảng biến thiên sau:
x | -∞ | 0 | +∞ | ||
y' | - | 0 | + | ||
y | +∞ | 0 | +∞ |
Luyện tập 1: Xét dấu y' rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: y=43x3-2x2+x-1.
Hướng dẫn chi tiết:
Tập xác định D=R.
Ta có: y'=4x2-4x+1.
Xét y'=0 ↔ x=12.
x | -∞ | 12 | +∞ | ||
y' | - | 0 | + |
Vậy hàm số đồng biến trên ℝ.
Luyện tập 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: y=x4+2x2-3.
Hướng dẫn chi tiết:
Tập xác định D=R.
Ta có: y'=4x3+4x.
Xét y'=0 ↔ x=0.
Ta có bảng biến thiên:
x | -∞ | 0 | +∞ | ||
y' | - | 0 | + | ||
y | +∞ | -3 | +∞ |
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞) và nghịch biến trên khoảng (-∞;0).
Hoạt động 2:
- Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số fx=x3.
- Xét dấu của đạo hàm f'x=3x2.
- Phương trình f'x=0 có bao nhiêu nghiệm?
Hướng dẫn chi tiết:
- Tập xác định D=R.
Ta có: y'=3x2.
Xét y'=0 ↔ x=0.
Bảng biến thiên:
x | -∞ | 0 | +∞ | ||
y' | + | 0 | + | ||
y | -∞ | -3 | +∞ |
Vậy hàm số đồng biến trên ℝ.
- Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đạo hàm y'=3x2 luôn dương với mọi x.
- Phương trình f'x=0 có một nghiệm.
Luyện tập 3: Chứng minh rằng hàm số y=x2+1 nghịch biến trên nửa khoảng (-∞;0] và đồng biến trên nửa khoảng [0;+∞).
Hướng dẫn chi tiết:
- Tập xác định D=R.
Ta có: y'=xx2+1.
Xét y'=0 ↔ x=0.
Ta có bảng biến thiên:
x | -∞ | 0 | +∞ | ||
y' | - | 0 | + | ||
y | +∞ | 1 | +∞ |
Vậy hàm số y=x2+1 nghịch biến trên nửa khoảng (-∞;0] và đồng biến trên nửa khoảng [0;+∞).
Luyện tập 4: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: y=2x-1x+2.
Hướng dẫn chi tiết:
Tập xác định D=R\{-2}.
Ta có: y'=5(x+2)2.
Nhận xét: y'>0 với mọi xD.
Ta có bảng biến thiên:
x | -∞ | -2 | +∞ | |||
y' | + | + | ||||
y | 2 | +∞ | -∞ | 2 | ||
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞;-2) và (-2;+∞).
II. ĐIỂM CỰC TRỊ, GIÁ TRỊ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Hoạt động 3: Dựa vào đồ thị hàm số y=fx=-x3-3x2+3 ở Hình 3, hãy so sánh:
- f-2 với mỗi giá trị fx, ở đó x∈(-3;-1) và x≠-2;
- f0 với mỗi giá trị fx, ở đó x∈(-1;1) và x≠0.
Hướng dẫn chi tiết:
- Nhận xét: Ta thấy rằng fx>f-2 với mọi x∈(-3;-1) và x≠-2.
- Tương tự: Ta thấy rằng fx<f0 với mọi x∈(-1;1) và x≠0.
Hoạt động 4: Quan sát các bảng biến thiên dưới đây và cho biết:
- x0 có là điểm cực đại của hàm số fx hay không;
- x1 có là điểm cực tiểu của hàm số hx hay không.
x | a | x0 | b | ||
f'x | + | - | |||
fx | fx0 | ||||
x | a | x1 | b | ||
h'x | - | + | |||
hx | hx1 |
Hướng dẫn chi tiết:
- x0 có là điểm cực đại của hàm số fx.
- x1 có là điểm cực tiểu của hàm số hx.
Luyện tập 5: Tìm điểm cực trị (nếu có) của mỗi hàm số sau:
- y=x4-32x+1;
- y=3x+5x-1.
Hướng dẫn chi tiết:
- Tập xác định D=R.
Ta có: y'=4x3-32.
Xét y'=0 ↔ x=2
Ta có bảng biến thiên sau:
x | -∞ | 2 | +∞ | ||
y' | - | 0 | + | ||
y | +∞ | -47 | +∞ |
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x=2.
- Tập xác định D=R\{1}.
Ta có: y'=-8(x-1)2.
Xét: y'<0 với xD
Ta có bảng biến thiên sau:
x | -∞ | 1 | +∞ | |||
y' | - | - | ||||
y | 3 |
-∞ | +∞ |
3 | ||
Vậy hàm số không có điểm cực trị.
GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1: Cho hàm số y=fx có bảng biến thiên như sau:
x | -∞ | -1 | 0 | 1 | +∞ | ||||
f'x | + | 0 | - | 0 | + | 0 | - | ||
fx | -∞ | 2 | 1 | 2 | -∞ |
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
|
|
|
|
Hướng dẫn chi tiết:
Chọn đáp án D.
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số đi lên trong khoảng (0;1) nên hàm số đồng biến trên khoảng (0;1).
Bài 2: Cho hàm số y=fx có bảng biến thiên như sau:
x | -∞ | 0 | 3 | +∞ | |||
f'x | + | 0 | - | 0 | + | ||
fx | -∞ | 2 | -4 | +∞ |
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:
|
|
|
|
Hướng dẫn chi tiết:
Chọn đáp án C.
Bài 3: Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:
| a) y=-x3+2x2-3 | b) y=-x4+2x2+5 |
| c) y=3x+12-x; | d) y=x2-2xx+1 |
Hướng dẫn chi tiết:
- Tập xác định: D=R.
Ta có: y'=-3x2+4x.
Xét y'=0 ↔ [x=0 x=43
Ta có bảng biến thiên sau:
x | -∞ | 0 | 43 | +∞ | |||
y' | - | 0 | + | 0 | - | ||
y | +∞ | -3 | -4927 | -∞ |
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 0; 43 và nghịch biến trên khoảng -∞;0 và 43;+∞.
- Tập xác định: D=R.
Ta có: y'=-4x3-4x.
Xét y'=0 ↔ [x=0 x=±1
Ta có bảng biến thiên sau:
x | -∞ | -1 | 0 | 1 | +∞ | ||||
y' | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + | ||
y | +∞ | 4 | 5 | 4 | +∞ |
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1;0) và (1;+∞) và nghịch biến trên khoảng (-∞;-1) và (0;1).
- Tập xác định: D=R\{2}.
Ta có: y'=5(2-x)2.
Xét y'>0 với xD
Ta có bảng biến thiên sau:
x | -∞ | 2 | +∞ | |||
y' | + | + | ||||
y | -3 | +∞ | -∞ | -3 | ||
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;2) và (2;+∞)
- Tập xác định: D=R\{-1}.
Ta có: y'=2x-2x+1-x2+2x(x+1)2=x2+2x-2(x+1)2.
Xét y'=0 ↔ x=-1±3.
Ta có bảng biến thiên sau:
x | -∞ | -1-3 | -1 | -1+3 | +∞ | |||||
y' | + | 0 | - | - | 0 | + | ||||
y | -∞ | -23-4 | -∞ | +∞ | 23-4 | +∞ | ||||
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;-1-3) và (-1+3;+∞) và nghịch biến trên khoảng -1-3;-1 và -1;-1+3.
Bài 4: Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:
a) y=2x3+3x2-36x-10 | b) y=-x4-2x2+9 | c) y=x-1x |
Hướng dẫn chi tiết:
- Tập xác định: D=R.
Ta có: y'=6x2+6x-36.
Xét y'=0 ↔ [x=2 x=-3
Ta có bảng biến thiên sau:
x | -∞ | -3 | 2 | +∞ | |||
y' | + | 0 | - | 0 | + | ||
y | -∞ | 71 | -54 | +∞ |
Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x=-3 và đạt cực tiểu tại x=2.
- Tập xác định: D=R.
Ta có: y'=-4x3-4x
Xét y'=0 ↔ x=0
Ta có bảng biến thiên sau:
x | -∞ | 0 | +∞ | ||
y' | + | 0 | - | ||
y | -∞ | 9 | -∞ |
Vậy hàm số đạt cực đại tại x=0.
- Tập xác định: D=R\{0}.
Ta có: y'=1+1x2.
Xét y'>0 với xD
Ta có bảng biến thiên sau:
x | -∞ | 0 | +∞ | |||
y' | + | + | ||||
y | -∞ | +∞ | -∞ | +∞ | ||
Vậy hàm số không có điểm cực tiểu và điểm cực đại.
Bài 5: Cho hai hàm số y=fx, y=gx có đồ thị lần lượt được cho ở Hình 6a, Hình 6b. Nêu khoảng đồng biến, nghịch biến và điểm cực trị của mỗi hàm số đó.
Hướng dẫn chi tiết:
- Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;-1), (0;1), (2;+∞) và nghịch biến trên khoảng (-1;0), (1;2).
Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và x=1. Hàm số đạt cực tiểu tại x=0 và x=2.
- Hàm số đồng biến trên khoảng (-2;0), (1;+∞) và nghịch biến trên khoảng (-∞;-2), (0;1).
Hàm số đạt cực đại x=0. Hàm số đạt cực tiểu tại x=-2 và x=1.
Bài 6: Thể tích V (đơn vị: centimét khối) của 1 kg nước tại nhiệt độ T (0oC≤T≤30oC) được tính bởi công thức sau:
VT=999,87-0,06426T+0,0085043T2-0,0000679T3
(Nguồn: J.Stewart, Calculus, Seventh Edition, Brooks/Cole, CENGAGE Learning 2012)
Hỏi thể tích VT, 0oC≤T≤30oC, giảm trong khoảng nhiệt độ nào?
Hướng dẫn chi tiết:
Tập xác định: D=R.
Ta có: V'T=-0,06426+2×0,0085043×T-3×0,0000679T2
Xét V'T=0 ↔ [T≈79,5 T≈3,97
Ta có bảng biến thiên sau:
x | -∞ | 0 | 3,97 | 30 | 79,5 | +∞ | |||
y' | - | 0 | + | 0 | - | ||||
y | +∞ | V(3,97) | -∞ | ||||||
Vậy thể tích giảm trong khoảng nhiệt độ từ 0o;3,97o.
Bài 7: Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm t=0 (s) cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm t=126 (s), cho bởi hàm số sau:
vt=0,001302t3-0,09029t2+23
(v được tính bằng ft/s, 1 feet = 0,3048 m)
(Nguồn: J.Stewart, Calculus, Seventh Edition, Brooks/Cole, CENGAGE Learning 2012)
Hỏi gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian nào tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi?
Hướng dẫn chi tiết:
Tập xác định: D=R.
Ta có: v't=3×0,001320t2-2×0,09029t.
Xét at=v't=0 ↔ [t=0 t≈45,6
x | -∞ | 0 | 45,6 | +∞ | |||
y' | - | 0 | + | 0 | - | ||
y | +∞ | 23 | v(45,6) | -∞ |
Vậy gia tốc tàu con thoi tăng trong khoảng 45,6s đầu tiên.
=> Giáo án Toán 12 cánh diều Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số