Dạng 1. Mệnh đề và tính đúng sai của mệnh đề

Phương pháp giải:

- Khẳng định đúng là mệnh đề đúng, khẳng định sai là mệnh đề sai.

- Câu không phải là câu khẳng định hoặc câu khẳng định mà không có tính đúng sai đều không phải là mệnh đề.

- Tính đúng - sai có thể chưa xác định hoặc không biết nhưng chắc chắn hoặc đúng hoặc sai  cũng là mệnh đề. Không có mệnh đề vừa đúng vừa sai hoặc không đúng cũng không sai.

- Mệnh đề đúng, mệnh đề sai.

+  đúng ⇔ P sai, và ngược lại.

+ (P => Q) chỉ sai khi P đúng và Q sai.

- (P ⇔ Q) chỉ đúng khi P và Q cùng đúng hoặc cùng sai.

- Mệnh đề  đúng ⇔  đúng

- Mệnh đề  đúng ⇔ có  đúng

- Mệnh đề  sai ⇔ mọi  sai

Bài 1. Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.

1. Không được đi lối này!

2. Bây giờ là mấy giờ?

3. 7 không phải là số nguyên tố.

4. là số vô tỉ

Gợi ý lời giải:

- Câu không phải mệnh đề là 1 và 2.

- Câu 3 là mệnh đề sai.

- Câu 4 là mệnh đề đúng.

Bài 2. Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy cho biết mệnh đề đó đúng hay sai? ABCD

1. Số  có lớn hơn 3 không?

2. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.

3. Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.

4. Phương trình  vô nghiệm.

Gợi ý lời giải:

- Câu 1 không phải là mệnh đề, vì là câu hỏi.

- Câu 2, 3, 4 là những mệnh đề sai.

Bài 3. Cho tam giác ABC. Xét hai mệnh đề P: “tam giác ABC vuông” và Q:

“ ”. Phát biểu và cho biết mệnh đề sau đúng hay sai?

1. P => Q

2. Q => P

Gợi ý lời giải:

1. Mệnh đề P => Q là: “Nếu tam giác ABC vuông thì ”

Mệnh đề P => Q sai vì chưa chắc tam giác đã vuông tại A

2. Mệnh đề Q => P là “Nếu tam giác ABC có  thì tam giác vuông”

Mệnh đề Q => P đúng (Theo định lí Pytago)

Bài 4. Cho tam giác ABC . Lập mệnh đề P Þ Q và mệnh đề đảo của nó, rồi xét tính đúng sai của chúng khi

1. P: “Góc A bằng 90º” và Q: “Cạnh BC lớn nhất”

2. P: “A = B” và Q: “Tam giác ABC cân”

Gợi ý lời giải:

1. P: “Góc A bằng 90°” và Q : “Cạnh BC lớn nhất”.

w Mệnh đề P => Q là “Nếu góc A bằng 90° thì cạnh BC lớn nhất”. Đây là mệnh đề đúng.

w Mệnh đề Q => P là “Nếu cạnh BC lớn nhất thì góc A bằng 90°”. Đây là mệnh đề sai.

2. P: “A = B” và Q: “tam giác ABC cân”.

w Mệnh đề P => Q là “Nếu A = B thì tam giác ABC cân”. Đây là mệnh đề đúng.

w Mệnh đề Q => P là “Nếu tam giác ABC cân thì A = B”. Đây là mệnh đề sai vì tam giác ABC chưa chắc cân tại C

Bài 5. Phát biểu mệnh đề P => Q và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó.

1. P: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật” và Q: “Tứ giác ABCD có hai đường thẳng AC và BD vuông góc với nhau”

2. P: “ ” và Q: “ ”.

3. P: “Tam giác ABC có A = B + C” và Q: “Tam giác ABC có ”

4. P: “Tố Hữu là nhà Toán học lớn của Việt Nam” và Q : “Évariste Galios là nhà thơ lỗi lạc của Thế giới”.

Gợi ý lời giải:

1. P: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật” và Q: “Tứ giác ABCD có hai đường thẳng AC và BD vuông góc với nhau”.

w Mệnh đề P => Q là “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường thẳng AC và BD vuông góc với nhau”. Đây là mệnh đề sai.

w Mệnh đề đảo Q => P là “Nếu tứ giác ABCD có hai đường thẳng AC và BD vuông góc với nhau thì tứ giác ABCD có là hình chữ nhật”. Đây là mệnh đề sai.

2. P: “ ” và Q: “ ”

- Mệnh đề P => Q là “Nếu  thì ”. Đây là mệnh đề đúng.

- Mệnh đề Q => P là “Nếu  thì ”. Đây là mệnh đề sai.

3. P: “Tam giác ABC có A = B + C” và Q: “Tam giác ABC có ”.

- Mệnh đề P => Q là “Nếu tam giác ABC có A = B + C thì nó có ”. Đây là mệnh đề đúng.

- Mệnh đề Q => P là “Nếu tam giác ABC có  thì A = B + C”. Đây là mệnh đề đúng.

4. P: “Tố Hữu là nhà Toán học lớn của Việt Nam” và Q: “Évariste Galios là nhà thơ lỗi lạc của Thế giới”.

- Mệnh đề P => Q là “Nếu Tố Hữu là nhà Toán học lớn của Việt Nam thì Évariste Galois là nhà thơ lỗi lạc của Thế giới”. Đây là mệnh đề đúng.

- Mệnh đề đảo Q => P là “Nếu Évariste Galois là nhà thơ lỗi lạc của Thế giới thì Tố Hữu là nhà Toán học lớn của Việt Nam”. Đây là mệnh đề đúng.

Bài 6. Phát biểu mệnh đề P => Q và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó.

1. P: “Tứ giác ABCD là hình thoi” và Q: “Tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”.

2. P: “2 > 9” và Q: “4 < 3”

3. P: “Tam giác ABC vuông cân tại A” và Q: “Tam giác ABC có A = 2B”

Gợi ý lời giải:

1. P: ”Tứ giác ABCD là hình thoi” và Q: “Tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”.

- Mệnh đề P => Q là “Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”. Đây là mệnh đề đúng.

- Mệnh đề đảo Q => P là “Nếu tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì ABCD là hình thoi”. Đây là mệnh đề sai.

2. P: “2 > 9” và Q: “4 < 3”

- Mệnh đề P => Q là: “Nếu 2 > 9 thì 4 < 3”. Đây là mệnh đề đúng.

- Mệnh đề đảo Q => P là “Nếu 4 < 3 thì 2 > 9”. Đây là mệnh đề đúng.

3. P: “Tam giác ABC vuông cân tại A” và Q: “Tam giác ABC có A = 2B”

- Mệnh đề P => Q là “Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì A = 2B”. Đây là mệnh đề đúng.

- Mệnh đề đảo Q => P là “Nếu tam giác ABC có A = 2B thì nó vuông cân tại A”. Đây là mệnh đề sai.

Bài 7. Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng các thuật ngữ “khi và chỉ khi”, “nếu và chỉ nếu” và xét tính đúng sai của nó.

1. P: “Tứ giác ABCD là hình thoi” và Q: “Tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau”

2. P: “Bất phương trình  có nghiệm” và Q: “ ”

Gợi ý lời giải:

1. P: “Tứ giác ABCD là hình thoi” và Q: “Tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

+ Cách 1: “Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

+ Cách 2: “Tứ giác ABCD là hình thoi nếu và chỉ nếu tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

Mệnh đề P ⇔ Q đúng vì mệnh đề P => Q đúng và mệnh đề Q => Q đúng.

2. P: “Bất phương trình  có nghiệm” và Q: “ ”

+ Cách 1: “Bất phương trình  có nghiệm khi và chỉ khi ”

+ Cách 2: “Bất phương trình có nghiệm nếu và chỉ khi ”

Mệnh để P ⇔ Q đúng vì mệnh đề P, Q đều đúng nên mệnh đề P => Q và Q => P đều đúng.

Bài 8. Lập mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương của hai mệnh đề sau đây và cho biết tính đúng, sai của chúng:

P: “Điểm M nằm trên phân giác của góc Oxy” và Q: “Điểm M cách đều hai cạnh Ox, Oy”

Gợi ý lời giải:

- Mệnh đề P => Q là “Nếu điểm M nằm trên phân giác của góc Oxy thì M cách đều hai cạnh Ox , Oy”. Đây là mệnh đề đúng.

- Mệnh đề Q => P là “Nếu điểm M cách đều hai cạnh Ox , Oy thì M nằm trên phân giác của góc Oxy”. Đây là mệnh đề đúng.

- Mệnh đề P ⇔ Q là “Điểm M nằm trên phân giác của góc Oxy nếu và chỉ nếu (khi và chỉ khi) điểm M cách đều hai cạnh Ox, Oy”. Đây là mệnh đề đúng.

Bài 9. Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q  bằng hai cách và xét tính đúng sai của nó.

1. Cho tứ giác ABCD . Xét hai mệnh đề P: “Tứ giác ABCD là hình vuông” và Q: ”Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo bằng và vuông góc với nhau”.

2. P: “Bất phương trình  có nghiệm” và Q: “Bất phương trình

 vô nghiệm”.

Gợi ý lời giải:

1. Cho tứ giác ABCD . Xét hai mệnh đề P: “Tứ giác ABCD là hình vuông” và Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo bằng và vuông góc với nhau”.

- Ta có mệnh đề P ⇔ Q đúng vì mệnh đề P => Q và Q => P đều đúng và được phát biểu bằng hai cách như sau:

+ Cách 1: “Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo bằng và vuông góc với nhau”.

+ Cách 2: “Tứ giác ABCD là hình vuông nếu và chỉ nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo bằng và vuông góc với nhau”.

2. P: “Bất phương trình  có nghiệm” và Q: “Bất phương trình

 vô nghiệm”

Ta có mệnh đề P ⇔ Q vì mệnh đề P đúng còn Q sai

Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng hai cách như sau:

+ Cách 1: “Bất phương trình  có nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình  vô nghiệm”.

+ Cách 2: “Bất phương trình  có nghiệm nếu và chỉ nếu bất phương trình  vô nghiệm”.

Dạng 2: Mệnh đề chứa biến

Phương pháp giải:

Mệnh đề chứa biến là 1 câu khẳng định chứa một hay một số biến số, chưa phải là một mệnh đề nhưng nếu cho các biến một số cụ thể thì ta được một mệnh đề.

Bài 1. Cho mệnh đề chứa biến “ ”, xét tính đúng sai của các mệnh đề sau

1. P(1)

2.

3.

4.

Gợi ý lời giải:

1. P(1)

Ta có: “ ”. Đây là mệnh đề sai

2.

Ta có: “ ”. Đây là mệnh đề đúng

3.

Ta có: “ ”. Đây là mệnh đề sai và P(1) là mệnh đề sai

4.

Ta có: “ ”. Đây là mệnh đề sai vì:

 với mọi số tự nhiên.

Bài 2. Thực hiện các yêu cầu sau:

1. Với , cho mệnh đề chứa biến  chia hết cho 4”. Xét tính đúng sai của mệnh đề P(2015)

2. Xét tính đúng sai của mệnh đề ,  chia hết cho 11”

Gợi ý lời giải:

1. Với , cho mệnh đề chứa biến  chia hết cho 4”. Xét tính đúng sai của mệnh đề P(2015)

Với n = 2015 thì  là số lẻ nên không chia hết cho 4.

à Vậy P(2015) là mệnh đề sai.

2. Xét tính đúng sai của mệnh đề ,  chia hết cho 11”

Xét biểu thức , với . Ta có: với n = 10 thì  chia hết cho 11

à Vậy mệnh đề đã cho là mệnh đề đúng.

Bài 3: Xét các mệnh đề chứa biến sau. Tìm một giá trị của biến để được mệnh đề đúng; mệnh đề sai.

1. P(x): “ ”

2. Q(x): “  chia hết cho 3, với ”

Gợi ý lời giải:

1. P(x): “ ”

- Với x = 3, ta có: P(3): “ ” là mệnh đề đúng

- Với x =1, ta có: P(1): “ ” là mệnh đề sai

2. Q(x): “  chia hết cho 3, với ”

- Với n = 6, ta có Q(6): “6 chia hết cho 3” là mệnh đề đúng

- Với n = 5, ta có Q(5): “5 chia hết cho 3” là mệnh đề sai

Bài 4: Dùng các kí hiệu  để viết các câu sau

1. Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho sáu.

2. Với mọi số thực, bình phương của nó là số không âm.

3. Có một số nguyên mà bình phương của nó bằng chính nó.

4. Có một số hữu tỉ mà nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó.

Gợi ý lời giải:

1. Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho sáu.

P(n): “ ”

2. Với mọi số thực, bình phương của nó là số không âm.

P(x): “ ”

3. Có một số nguyên mà bình phương của nó bằng chính nó.

P(n): “ ”

4. Có một số hữu tỉ mà nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó.

P(q): “ ”

Bài 5: Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau

1.

2.

3.  là các số lẻ ⇔  là số chẵn

4.

Gợi ý lời giải:

1.

Mệnh đề sai do: x = 1

2.

Mệnh đề đúng

3.  là các số lẻ ⇔  là số chẵn

Mệnh đề sai, cho m = n = 2, ta có:  là số chẵn

4.

Mệnh đề sai, cho x = -3

Bài 6: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

1.

2.  không chia hết cho 3

3.

4.

Gợi ý lời giải:

1.

Mệnh đề sai vì:

2.  không chia hết cho 3

Mệnh đề đúng

- Xét  suy ra  không chia hết cho 3

- Xét , suy ra:

 à Không chia hết cho 3

- Xét , suy ra:

 à Không chia hết cho 3

3.

Mệnh đề đúng vì

Thấy

4.

Mệnh đề sai vì với

=>

Bài 7: Cho số tự nhiên n . Xét hai mệnh đề chứa biến A(n): “n là số chẵn” và B(n): “  là số chẵn”.

1. Hãy phát biểu mệnh đề A(n) => B(n). Cho biết mệnh đề này đúng hay sai?

2. Hãy phát biểu mệnh đề “ ”

3. Hãy phát biểu mệnh đề “ ”

Gợi ý lời giải:

1. Hãy phát biểu mệnh đề A(n) => B(n). Cho biết mệnh đề này đúng hay sai?

- Mệnh đề: A(n) => B(n) là “Nếu n là số chẵn thì  là số chẵn”

- Đây là mệnh đề đúng, vì n là số chẵn khi đó  suy ra  là số chẵn.

2. Hãy phát biểu mệnh đề “ ”

- Mệnh đề “ ” là “Với mọi số tự nhiên n, nếu  là số chẵn thì n là số chẵn”

3. Hãy phát biểu mệnh đề “ ”

- Mệnh đề “ ” là “Với mọi số tự nhiên n, n là số chẵn khi và chỉ khi  là số chẵn”

Bài 8: Cho mệnh đề P : “Với mọi số thực x , nếu x là số hữu tỉ thì 2x là số hữu tỉ”.

1. Dùng kí hiệu  viết P và xác định tính đúng – sai của nó.

2. Phát biểu mệnh đề đảo của P và chứng tỏ mệnh đề đó là đúng. Phát biểu mệnh đề dưới dạng mệnh đề tương đương.

Gợi ý lời giải:

1. Dùng kí hiệu  viết P và xác định tính đúng – sai của nó.

- Mệnh đề P(x): “ ” Đây là mệnh đề đúng.

2. Phát biểu mệnh đề đảo của P và chứng tỏ mệnh đề đó là đúng. Phát biểu mệnh đề dưới dạng mệnh đề tương đương.

- Mệnh đề đảo của mệnh đề P(x) là: “ ”

Đây là mệnh đề đúng, thật vậy nếu  thì  với \{0}

 với \{0} cũng thuộc Q

- Mệnh đề tương đương: “Với mọi số thực x,  khi và chỉ khi ”

Hay: “ ”

Bài 9: Cho mệnh đề A: “6 là số nguyên tố”; B: “ ”. Phát biểu các mệnh đề

A =>B; B => A; A ⇔ B.

Gợi ý lời giải:

- Mệnh đề A => B là: “Nếu 6 là một số nghuyên tố thì ”

- Mệnh đề B => A là: “Nếu  thì 6 là một số nguyên tố”

- Mệnh đề A ⇔ B là: “6 là một số nguyên tố khi và chỉ khi ”

Bài 10: Tìm tất cả các cặp số (x; y) sao cho cả ba mệnh đề P, Q, R sau đây đều đúng:

 “  Q(x; y): “ ”, R(x): “ ”

Gợi ý lời giải:

- Giả sử P(x; y) đúng, suy ra:

- Thay vào Q(x; y) ta được:

- Lại có:

(2)

Từ (1) và (2), suy ra

Mà R(x) đúng nên  hoặc  hoặc

Thử trực tiếp ta thấy chỉ  thỏa mãn

Vậy ta tìm được hai cặp số thỏa mãn: