Giáo án hệ thống kiến thức toán 7 cánh diều

CHƯƠNG VI: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

------------------------------------------------------------

KIẾN THỨC LÝ THUYẾT

Sơ đồ 1: Biểu thức đại số

1. Biểu thức số. Biểu thức đại số

Biểu thức số

- Các số được nối với nhau bởi dấu các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa) tạo thành một biểu thức số. Đặc biệt, mỗi số cũng được coi là một biểu thức số.

- Trong biểu thức số có thể có các dấu ngoặc để chỉ thứ tự thực hiện các phép tính.

- Khi thực hiện các phép tính trong một biểu thức số, ta nhận được một số. Số đó được gọi là giá trị của biểu thức số đã cho.

Biểu thức đại số

- Các số, biến số được nối với nhau bởi dấu các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa làm thành một biểu thức đại số. Đặc biệt, biểu thức số cũng là biểu thức đại số.

- Trong biểu thức đại số có thể có các dấu ngoặc để chỉ thứ tự thực hiện các phép tính.

- Để cho gọn, khi viết các biểu thức đại số ta thường:

+ Không viết dấu nhân giữa các chữ, cũng như giữa số và chữ.

Chẳng hạn: viết  thay cho ; viết  thay cho 2 . .

+ Viết  thay cho ; viết  thay cho .

- Trong biểu thức đại số, vì chữ đại diện cho số nên khi thực hiện các phép tính trên các chữ, ta có thể áp dụng những tính chất, quy tắc phép tính như trên các số.

Chẳng hạn: .

Giá trị của biểu thức đại số

Để tính giá trị của một biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của các biến, ta thay những giá trị cho trước đó vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính.

1. II. Đa thức một biến. Nghiệm của đa thức một biến

Đơn thức một biến. Đa thức một biến

- Đơn thức một biến là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc tích của một số với luỹ thừa có số mũ nguyên dương của biến đó.

- Chú ý

+ Mỗi đơn thức (một biến  ) nếu không phải là một số thì có dạng , trong đó  là số thực khác 0 và  là số nguyên dương. Lúc đó, số  được gọi là hệ số của đơn thức .

+ Để thuận tiện cho việc thực hiện các phép tính (trên các đơn thức, đa thức, ...), một số thực khác 0 được coi là đơn thức với số mũ của biến bằng 0.

- Đa thức một biến là tổng những đơn thức của cùng một biến.

- Chú ý

+ Mỗi số được xem là một đa thức (một biến). Số 0 được gọi là đa thức không. Mỗi đơn thức cūng là một đa thức.

+ Thông thường ta kí hiệu đa thức một biến  là  hoặc

Cộng, trừ đơn thức có cùng số mũ của biến

Để cộng (hay trừ) hai đơn thức có cùng số mũ của biến, ta cộng (hay trừ) hai hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến:

Sắp xếp đa thức một biến

- Sắp xếp đa thức (một biến) theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến là sắp xếp các đơn thức trong dạng thu gọn của đa thức đó theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến.

- Chú ý:

Trong dạng thu gọn của đa thức, hệ số của mỗi đơn thức được gọi là hệ số của đa thức đó.

Bậc của đa thức một biến

- Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ cao nhất của biến trong đa thức đó.

- Chú ý:

+ Trong dạng thu gọn của đa thức, hệ số của luỹ thừa với số mũ cao nhất của biến còn gọi là hệ số cao nhất của đa thức; số hạng không chưa biến còn gọi là hệ số tự do của đa thức.

+ Một số khác 0 là đa thức bậc 0.

+ Đa thức không (số 0) không có bậc.

Nghiệm của đa thức một biến

- Nếu tại  đa thức  có giá trị bằng 0 thì  (hoặc ) gọi là một nghiệm của đa thức đó.

- Chú ý:

+  là nghiệm của đa thức P(x) nếu P(a) = 0.

+ Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ... hoặc không có nghiệm. Số nghiệm của một đa thức không vượt quá bậc của đa thức đó.

III. Phép cộng, phép trừ đa thức một biến

Cộng hai đa thức một biến

- Để cộng hai đa thức một biến (theo cột dọc), ta có thể làm như sau:

+ Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;

+ Đặt hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột;

+ Cộng hai đơn thức trong từng cột, ta có tổng cần tìm.

- Khi cộng đa thức theo cột dọc nếu một đa thức khuyết số mũ nào của biến thì khi viết đa thức đó, ta bỏ trống cột tương ứng với số mũ trên.

- Để cộng hai đa thức một biến (theo cột ngang), ta có thể làm như sau:

+ Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;

+ Viết tổng hai đa thức theo hàng ngang;

+ Nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau.

+ Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được tổng cần tìm.

Trừ hai đa thức một biến

- Để trừ đa thức  cho đa thực  (theo cột dọc), ta có thể làm như sau:

+ Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;

+ Đặt hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột sao cho đơn thức của  ở trên và đơn thức của  ở dưới;

+ Trừ hai đơn thức trong từng cột, ta có hiệu cần tìm.

- Để trừ đa thức  cho đa thưc  (theo hàng ngang), ta có thế làm như sau:

+ Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;

+ Viết hiệu  theo hàng ngang, trong đó đa thức  được đặt trong dấu ngoặc;

+ Sau khi bỏ dấu ngoặc và đối dấu mỗi đơn thức trong dạng thu gọn của đa thức , nhóm các đơn thực có cùng số mũ của biến với nhau;

+ Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được hiệu cần tìm.

1. Phép nhân đa thức một biến

Nhân đơn thức với đơn thức

- Muốn nhân đơn thức  với đơn thức , ta làm như sau:

+ Nhân hệ số của đơn thức A với hệ số của đơn thức B;

+ Nhân luỹ thừa của biến trong  với luỹ thừa của biến đó trong B;

+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

- Chú ý:

Nhân đơn thức với đa thức

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Nhân đa thức với đa thức

- Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

- Tích của hai đa thức là một đa thức.

- Chú ý:

+ Sau khi thực hiện phép nhân hai đa thức, ta thường viết đa thức tích ở dạng thu gọn và sắp xếp các đơn thức theo số mũ tăng dần hoặc giảm dần của biến.

+ Chúng ta có thế trình bày phép nhân  theo cột dọc như sau:

+ Khi thực hiện phép nhân hai đa thức theo cột dọc, các đơn thức có cùng số mũ (của biến) được xếp vào cùng một cột.

1. Phép chia đa thức một biến

Chia đơn thức cho đơn thức

- Muốn chia đơn thức  cho đơn thức  khi số mũ của biến trong  lớn hơn hoặc bằng số mū của biến đó trong , ta làm như sau:

+ Chia hệ số của đơn thức  cho hệ số của đơn thức B;

+ Chia luỹ thừa của biến trong  cho luỹ thừa của biến đó trong B;

+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

- Chú ý:

Chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia đa thức  cho đơn thức  khi số mũ của biến ở mỗi đơn thức của P lớn hơn hoặc bằng số mũ của biến đó trong , ta chia mỗi đơn thức của đa thức  cho đơn thức  rồi cộng các thương với nhau.

Chia đa thức một biến đã sắp xếp

- Để chia một đa thức cho một đa thức khác đa thức không (cả hai đa thức đều đã thu gọn và sắp xếp các đơn thức theo số mũ giảm dần của biến) khi bậc của đa thức bị chia lớn hơn hoặc bằng bậc của đa thức chia, ta làm như sau:

Bước 1:

+ Chia đơn thức bậc cao nhất của đa thừc bị chia cho đơn thức bậc cao nhất của đa thức chia

+ Nhân kết quả trên với đa thức chia và đặt tích dưới đa thức bị chia sao cho hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột

+ Lấy đa thức bị chia trừ đi tích đặt dưới để được đa thức mới.

Bước 2: Tiếp tục quá trình trên cho đến khi nhận được đa thức không hoặc đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

- Khi chia đa thức  cho đa thức  của cùng một biến , có hai khả năng xảy ra:

+ Phép chia có dư bằng 0 . Trong trường hợp này ta nói đa thức  chia hết cho đa thức .

+ Phép chia có dư là đa thức  với bậc của  nhỏ hơn bậc của . Phép chia trong trường hợp này được gọi là phép chia có dư.

- Người ta chứng minh được rằng đối với hai đa thức tùy ý  và  của cùng một biến , tồn tại duy nhất một cặp đa thức  và  sao cho , trong đó  bằng 0 hoặc bậc của  nhỏ hơn bậc của . Như vậy, đa thức  chia hết cho đa thức  khi và chi khi .

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VÀ TỰ LUẬN 1

1. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Khoanh tròn chữ cái trước câu trả lời đúng:

Câu 1: Trống đồng Ngọc Lũ là một trong những chiếc trống đồng cổ hiện được lưu trữ ở Bảo tàng Lịch sử Quốc gia. Mặt chiếc trống đồng Ngọc Lũ đó có dạng hình tròn với đường kính 79,3 cm. Biểu thức số nào sau đây biểu thị diện tích của mặt chiếc trống đồng Ngọc Lũ đó (lấy )?

A.

Câu 2: Cho các giá trị của x là 0; -1; 1; 2; -2. Giá trị nào của x là nghiệm của đa thức

1. x = 0; x = -1; x = -2
2. x = 1; x = -2
3. x = 1; x = 2
4. x = 1; x = -2; x = 2.

Câu 3: Tập các giá trị  là nghiệm của đa thức  là?

1. {4; 14}
2. {-4; 14}
3. {-4; -14}
4. {4; -14}

Câu 4: Cho P(x) = 5x⁴ + 4x³ - 3x² + 2x - 1 và Q(x) = -x⁴ + 2x³ - 3x² + 4x - 5

Tính P(x) + Q(x) rồi tìm bậc của đa thức thu được

1. P(x) + Q(x) = 6x³ - 6x² + 6x - 6 có bậc là 6
2. P(x) + Q(x) = 4x⁴ + 6x³ - 6x² + 6x + 6 có bậc là 4
3. P(x) + Q(x) = 4x⁴ + 6x³ - 6x² + 6x - 6 có bậc là 4
4. P(x) + Q(x) = 4x⁴ + 6x³ + 6x - 6 có bậc là 4.

Câu 5: Tìm đa thức H(x) biết A(x) - H(x) = G(x) biết: A(x) = x² + x + 1;

G(x) = 4 - 2x³ + x⁴ + 7x⁵

1. H(x) = -7x⁵ - x⁴ + 2x³ + x² + x - 3
2. H(x) = 7x⁵ - x⁴ + 2x³ + x² + x + 3
3. H(x) = -7x⁵ - x⁴ + 2x³ + x² + x + 3
4. H(x) = 7x⁵ + x⁴ + 2x³ + x² + x + 3

Câu 6: Tìm hệ số cao nhất của đa thức K(x) biết A(x) + K(x) = G(x) và          A(x) = x⁴ - 4x² + 6x³ + 2x - 1; G(x) = x + 3

1. -1
2. 1
3. 4
4. 6

Câu 7: Tính:

Câu 8: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào đúng?

Câu 9: Tính

Câu 10: Số dư của phép chia đa thức  cho

1. 313
2. 3x
3. 21x
4. 21
5. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1: Tính giá trị của biểu thức

1. a) khi
2. b) khi
3. c) khi

Câu 2:

1. a) Cho  và  . Tính rồi sắp xếp kết quả theo lũy thừa tăng dần của biến.
2. b) Cho hai đa thức  và Tính  và tìm bậc của

Câu 3:
Cho hai hình chữ nhật như hình vẽ.

Viết đa thức theo biến x biểu thị diện tích của phần được tô màu xanh.

Câu 4: Tìm đa thức chia của các phép chia các đa thức sau

1. a) Phép chia đa thức cho đa thức

b) Phép chia đa thức cho đa thức