Bài tập file word Toán 6 Cánh diều Bài 19: Phép chia hết hai số nguyên. Quan hệ chia hết trong tập hợp số nguyên

BÀI 19. PHÉP CHIA HẾT HAI SỐ NGUYÊN. QUAN HỆ CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ NGUYÊN (21 BÀI)

1. NHẬN BIẾT (6 BÀI)

Bài 1: Thực hiện phép chia

a, 735 : (-5);              b, (-528) : (-12);                c, (-2 020) : 101

Đáp án:

a, 735 : (-5) = -147          b, (-528) : (-12) = 44         c, (-2 020) : 101 = -20

Bài 2: Tính

1. a) b)  

Đáp án:

1. a)
2. b)

Bài 3: Tính

1. a) b)

Đáp án:

a )  

1. b)

Bài 4: Tính

1. a) b)  

Đáp án:

1. a)
2. b)

Bài 5: Tính

1. a) b) 

Đáp án:

a )  

1. b)

Bài 6: Kết quả của phép tính  là?

Đáp án:

2. THÔNG HIỂU (4 BÀI)

Bài 1: Tìm các số nguyên x sao cho 2x  (n + 5)

Đáp án:

Ta có: 2x = 2x + 10 – 10 = 2 (n + 5) – 10

            2x  (n + 5) khi 10  (n + 5) => n + 5  {; 10}

            => n  {-4; -6; -3; -7; 0; -10; 5; -15}

Bài 2: Tìm x   , biết  chia hết cho

Đáp án:

Ta có:

Để chia hết cho  thì  phải là ước của 2

Ta có tập hợp các ước của 2 là {

Vậy  = 1;

Bài 3: Tìm số nguyên x sao cho:

1. chia hết cho
2. là ước số của

Đáp án:

2. 2x – 5 = 2. (x – 1) – 3, nên 2x – 5 chia hết cho x – 1 khi và chỉ khi 3 x – 1.

Vậy x – 1  {-3; -1; 1; 3} nên x  {-2; 0; 2; 4}

1. Do

ó12 

Vậy   {-12; -6; -4; -3; -1; 1; 3; 4; 6; 12}

Do đó   {-14; -8; -6; -5; -3; -1; 0; 1; 2; 4; 10}

Bài 4: Tìm số nguyên x sao cho x – 1 là bội của 15 và x + 1 là ước của 1001

Ư (1001) = {1001; -1001; 143; -143; 91; -91; 77; -77; 13; -13; 11; -11; 7; -7; 1; -1}

Ta có  là bội của 15 nên  ó  =  (với   )

Mà  là ước của 1001 nên kiểm tra thấy  ó  (thỏa mãn)

3. VẬN DỤNG (6 BÀI)

Bài 1: Chứng minh rằng tổng của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.

Đáp án:

Gọi ba số nguyên liên tiếp là n – 1; n; n + 1, n  

• n – 1 + n + n + 1 = 3n 3 (đpcm)

Bài 2: Chứng minh: S = 2 +  +  +  +  +  +  +  chia hết cho (-6)

Đáp án: Ta có:

S = (2 + ) + ( + ) + ( + ) + ( + )

   = 6 +  . 6 +  . 6 +  . 6

Mỗi số hạng có tổng S đều chia hết cho (-6) nên S chia hết cho (-6)

Bài 3: Cho a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 6a + 11b chia hết cho 31 thì a + 7b cũng chia hết cho 31. Điều ngược lại có đúng không?

Đáp án:

Ta có: 6a + 11b = 6.(a + 7b) – 31b          (1)

Do 31b  31 và 6a + 11b 31, từ (1) suy ra 6. (a + 7b)  31, mà 6 và 31 nguyên tố cùng nhau, nên suy ra a + 7b  31

Ngược lại, nếu a + 7b  31 mà 31b  31, Từ (1) suy ra 6a + 7b  31

Vậy điều ngược lại cũng đúng.

Bài 4: Cho a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng 5a + 2b chia hết cho 17 khi và chỉ khi 9a + 7b chia hết cho 17.

Đáp án:

Xét hiệu 5. (9a + 7b) – 9 . (5a + 2b) = 17b

Ta thấy 17b  17 nên:

Nếu 9a + 7b  17 thì 9. (5a + 2b)  17, mà (9, 17) = 1 nên 5a + 2b 17

Nếu 5a + 27  17 thì 5. (9a + 7b)  17, mà (5, 17) = 1 nên 9a + 7b  17

Bài 5: Một trường muốn chở  đi tham quan khu di tích Địa Đạo Củ Chi. Biết rằng mỗi xe chở được  học sinh. Hỏi nhà trường cần ít nhất bao nhiêu chiếc xe?

Đáp án:

Số xe để chở học sinh đi tham quan là:

xe (dư   học sinh)

Số xe nhà trường cần sử dụng là (xe)

Vậy cần ít nhất xe          

Bài 6: Bạn Minh dùng  đồng để mua bút. Có hai loại bút: bút bi xanh và bút bi đen. Bút bi xanh có giá  đồng một chiếc. Bút bi đen có giá  đồng một chiếc. Bạn Minh sẽ mua được nhiều nhất bao nhiêu chiếc bút nếu:

1. Minh chỉ mua mỗi loại bút bi xanh?
2. Minh chỉ mua mỗi loại bút đi đen?

Đáp án:

1. Số bút bi xanh bạn Minh mua nhiều nhất là (cây)
2. Số bút bi xanh bạn Minh mua nhiều nhất là (cây) ( dư đồng)

4. VẬN DỤNG CAO (5 BÀI)

Bài 1: Chứng minh rằng

1. a) 2⁵¹ - 1 chia hết cho 7
2. b) 2⁷⁰ + 3⁷⁰ chia hết cho 13
3. c) 17¹⁹ + 19¹⁷ chi hết cho 18

Đáp án:

1. a) 2⁵¹ - 1 = (2³)¹⁷ - 1 2³ - 1 = 7
2. b) 2⁷⁰ + 3⁷⁰ (2²)³⁵ + (3²)³⁵ = 4³⁵ + 9³⁵ 4 + 9 = 13
3. c) 17¹⁹ + 19¹⁷ = (17¹⁹ + 1) + (19¹⁷ - 1)

17¹⁹ + 1  17 + 1 = 18 và 19¹⁷ - 1  19 - 1 = 18 nên  (17¹⁹ + 1) + (19¹⁷ - 1)

hay 17¹⁹ + 19¹⁷  18

Bài 2: Chứng minh rằng

1. a) 36⁶³ - 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 37
2. b) 2⁴ⁿ -1 chia hết cho 15 với nÎ N

Đáp án:

1. a) 36⁶³ - 1 36 - 1 = 35 7

36⁶³ - 1 = (36⁶³ + 1) - 2  chi cho 37 dư - 2

1. b) 2 ⁴ⁿ - 1 = (2⁴) ⁿ - 1 2⁴ - 1 = 15

Bài 3: Chứng minh rằng

1. a) n⁵ - n chia hết cho 30 với n Î N ;   
2. b) n⁴ -10n² + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ nÎ Z
3. c) 10ⁿ +18n -28 chia hết cho 27 với nÎ N ; 

Đáp án:

1. a) n⁵ - n = n(n⁴ - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n² + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n² + 1) chia hết cho 6 vì (n - 1).n.(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 (*)

Mặt khác n⁵ - n = n(n² - 1)(n² + 1) = n(n² - 1).(n² - 4 + 5)

= n(n² - 1).(n² - 4 ) + 5n(n² - 1) = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n  + 2) + 5n(n² - 1)

Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n  + 2) là tích 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5

5n(n² - 1) chia hết cho 5

Suy ra (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n  + 2) + 5n(n² - 1) chia hết cho 5 (**)

Từ (*) và (**) suy ra đpcm

1. b) Đặt A = n⁴ -10n² + 9 = (n⁴ -n² ) - (9n² - 9) = (n² - 1)(n² - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3)

Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 (k  Z) thì

A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2)

 A chia hết cho 16 (1)

Và  (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2, 3, 4 nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16. 24 = 384

1. c) 10 ⁿ +18n -28 = ( 10 ⁿ - 9n - 1) + (27n - 27)

+ Ta có: 27n - 27  27 (1)

+ 10 ⁿ - 9n - 1 = [( + 1) - 9n - 1] =   - 9n  = 9(  - n)  27 (2)

vì 9  9 và  - n  3 do  - n  là một số có tổng các chữ số chia hết cho 3

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì

1. a) a³ - a chia hết cho 3
2. b) a⁷ - a chia hết cho 7

Đáp án:

1. a) a³ - a = a(a² - 1) = (a - 1) a (a + 1)  là tích của ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 3 nên  (a - 1) a (a + 1) chia hết cho 3
2. b) ) a⁷ - a = a(a⁶ - 1) = a(a² - 1)(a² + a + 1)(a² - a + 1)

Nếu a = 7k (k  Z) thì a chia hết cho 7

Nếu a = 7k + 1 (k Z)  thì a² - 1 = 49k² + 14k  chia hết cho 7

Nếu a = 7k + 2 (k Z)  thì a² + a + 1 = 49k² + 35k  + 7 chia hết cho 7

Nếu a = 7k + 3 (k Z)  thì a² - a + 1 = 49k² + 35k  + 7 chia hết cho 7

Trong trường hợp nào củng có một thừa số chia hết cho 7

Vậy: a⁷ - a  chia hết cho 7

Bài 5: Chứng minh rằng 

A = 1³ + 2³ + 3³ + ...+ 100³ chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 100

Đáp án:

Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + ...+ (50 + 51) = 101. 50

Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101

Ta có: A = (1³ + 100³) + (2³ + 99³) + ... +(50³ + 51³)

= (1 + 100)(1² + 100 + 100²) + (2 + 99)(2² + 2. 99 + 99²) + ... + (50 + 51)(50² + 50. 51 + 51²) = 101(1² + 100 + 100² + 2² + 2. 99 + 99² + ... + 50² + 50. 51 + 51²) chia hết cho 101 (1)

Lại có:    A = (1³ + 99³) + (2³ + 98³) + ... + (50³ + 100³)

Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B