Đáp án Toán 12 cánh diều bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

BÀI 2: CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN. CÔNG THỨC BAYES

I. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN

Hoạt động 1:

Một hộp có 24 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, ..., 24; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét các biến cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4”.

a) Viết các tập con của không gian mẫu tương ứng với các biến cố

b) So sánh:

Từ đó, hãy chứng tỏ rằng:

c) So sánh:

Từ đó, hãy chứng tỏ rằng:

Hướng dẫn chi tiết::

a)

Không gian mẫu S:

Biến cố A: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3"

Biến cố B: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4"

Biến cố A∩B: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3 và 4" (chia hết cho 12)

Biến cố A∩B̅: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4"

b) Ta có:

Vậy

Ta có:

Vậy 

c) Ta có: 

Vậy

• So sánh và

Vậy

Ta có:

Vậy:

Luyện tâp – vận dụng 1:

Hãy giải bài toán trong phần mở đầu bằng cách lập bảng thống kê nhưtrong Ví dụ 2, biết rằng cả hai nhà máy sản xuất được 10 000 linh kiện.

Hướng dẫn chi tiết::

Số linh kiện ở nhà máy 1:

Số linh kiện đạt tiêu chuẩn ở nhà máy 1:

Số linh kiện không đạt tiêu chuẩn ở nhà máy I:

Số link kiện ở nhà máy 2:

Số linh kiện đạt tiêu chuẩn ở nhà máy 2:

Số linh kiện không đạt tiêu chuẩn ở nhà máy 2:

Ta có bảng sau:

Xét các biến cố sau:

A: biến cố linh kiện được lấy ra là sản phẩm của nhà máy I.

A’: biến cố linh kiện được lấy ra là sản phẩm của nhà máy II.

B: biến cố linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn.

P(A) =

 P(B/A) =

P(B/A’) =

Xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn là:

Vậy, xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn là 0,8925 hoặc 89,25%

Luyện tập – vận dụng 2:

Luyện tập 2: Hãy giải bài toán trong phần mở đầu bằng phương pháp sử dụng sơ đồ hình cây như trong ví dụ 3:

Hướng dẫn chi tiết::

Xét các biến cố 

A: biến cố linh kiện được lấy ra là sản phẩm của nhà máy I.

B: biến cố linh kiện được lấy ra là sản phẩm của nhà máy II

C: biến cố linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn.

D: biến cố linh kiện được lấy ra không đạt tiêu chuẩn.

Sơ đồ hình cây biểu diễn bài toán:

Xác suất để linh kiện được lấy ra đạt tiêu chuẩn là:

II. CÔNG THỨC BAYES

Hoạt động 2:

Xét hai biến cố A, B trong Hoạt động 1.

a) Tính: P(A), P(B), và P(B|A).

b) So sánh: P(B|A) và

Hướng dẫn chi tiết::

Không gian mẫu S:

Biến cố A: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3"

Biến cố B: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4"

a) Ta có:

Biến cố A ∩ B: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho cả 3 và 4" (chia hết cho 12):

Ta có:

b) Ta có:

Vậy  P(B|A) =

Luyện tập – vận dụng 3:

Cho hai biến cố A, B sao cho P(A) = 0,4, P(B) = 0,8, P(B|A) = 0,3

Tính P(A|B).

Hướng dẫn chi tiết::

Sử dụng công thức Bayes:

Luyện tập – vận dụng 4:

Được biết có 5% đàn ông bị mù màu, và 0,25% phụ nữ bị mù màu (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics - Understanding why and how, Springer, 2005). Giả sử số đàn ông bằng số phụ nữ. Chọn một người bị mù màu một cách ngẫu nhiên. Hỏi xác suất để người đó là đàn ông là bao nhiêu?

Hướng dẫn chi tiết::

Xét các biến cố:

- D: Chọn ngẫu nhiên một người bị mù màu.

- M: Người đó là đàn ông.

- W: Người đó là phụ nữ.

- Xác suất để một người đàn ông bị mù màu:

- Xác suất để một người phụ nữ bị mù màu: .

- Giả sử số đàn ông bằng số phụ nữ: .

Tính xác suất để một người ngẫu nhiên bị mù màu

Xác suất để 1 người đàn ông bị mù màu:

Xác suất để một người ngẫu nhiên bị mù màu là đàn ông là khoảng 0.9524 hay 95,24%

--------------------------------

------------- Còn tiếp -------------