Kênh giáo viên » File word đáp án Toán 12 cánh diều

Đáp án Toán 12 cánh diều bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân

File đáp án Toán 12 cánh diều bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân. Toàn bộ câu hỏi, bài tập ở trong bài học đều có đáp án. Tài liệu dạng file word, tải về dễ dàng. File đáp án này giúp kiểm tra nhanh kết quả. Chỉ có đáp án nên giúp học sinh tư duy, tránh học vẹt.

Xem: =>

Tải về

BÀI 4: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI ĐỒ THỊ HÀM SỐ (Y=F(X)), TRỤC HOÀNH VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG (X=A, X=B)

Hoạt động 1:

Cho hàm số có đồ thị được minh họa ở Hình 11.

a) Quan sát Hình 11, hãy cho biết các hình phẳng lần lượt được giới hạn bởi các đường thẳng và đồ thị hàm số nào.

b) Tính diện tích của các hình phẳng đó.

c) Gọi H là hợp của các hình phẳng .Hình phẳng H được gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm ,trục hoành và các đường thẳng x=0, x=3. Chứng tỏ rằng diện tích của hình phẳng H bằng:

Hướng dẫn chi tiết:

a) Quan sát Hình 11, ta thấy:

Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và các đường thẳng x=0, x=A

Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=A, x=B

Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=B, x=3

b) Tính diện tích của các hình phẳn

Diện tích H₁ bằng diện tích của tam giác được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và đường thẳng x=A,x=0. Diện tích này có thể được tính bằng công thức:

Diện tích H₂ bằng diện tích của tam giác được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và đường thẳng x=A, x=B. Diện tích này có thể được tính bằng công thức:

Diện tích H₃ bằng diện tích của tam giác được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và đường thẳng x=B,x=3. Diện tích này có thể được tính bằng công thức:

c) Ta có:

Vậy diện tích của hình phẳng H bằng:

Luyện tập – vận dụng 1:

Trong Hình 13, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số trục Ox và hai đường thẳng .

Hướng dẫn chi tiết:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số trục Ox và hai đường thẳng là:

2. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ (Y=F(X) Y=G(X)) VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG (X=A X=B)

Hoạt động 2:

Cho các hàm số

Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x=1 x=2 và đồ thị hàm số

Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x=1 x=2 và đồ thị hàm số y=x

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số và hai đường thẳng x=1 x=2 (Hình 14).

a) Biểu diễn S theo

b) So sánh S và

Hướng dẫn chi tiết:

a) Dựa vào đồ thị 2 hàm số trong hình 14, ta thấy S₁ bao hàm 2 hình phẳng S₂ và S. Vì vậy diện tích của S sẽ bằng

b) Ta có:

Vậy:

Luyện tập – vận dụng 2:

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số và 2 đường thẳng x=-2, x=2

Hướng dẫn chi tiết:

Với

Vậy diện tích hình phẳng đó là:

II. TÍNH THỂ TÍCH HÌNH KHỐI

1. THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ:

Hoạt động 3:

Cắt khối lập phương có cạnh bằng 1 bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại x, với ta nhận được một hình phẳng với diện tích là S(x) (Hình 17).

a) Tính S(x)

b) So sánh thể tích khối lập phương đó với

Hướng dẫn chi tiết:

a) Khi cắt khối lập phương bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x, ta thu được một hình phẳng có chiều dài là 1 và chiều rộng là 1. Do đó, diện tích của hình phẳng này là:

b) Ta có:

Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 1 là:

Tích phân của S(x) trên đoạn [0;1] :

Vậy thể tích khối lập phương đó bằng với

Luyện tập – vận dụng 3:

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x = 1 và x = 2. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại x (1 ≤ x ≤ 2) cắt vật thể đó theo hình phẳng có diện tích là S(x) = 2x. Tính thể tích V của phần vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng trên.

Hướng dẫn chi tiết:

Ta có: Thể tích V của phần vật thể được giới hạn bởi 2 mặt phẳng đã cho là:

Vậy thể tích V của phần vật thể được giới hạn bởi 2 mặt phẳng đã cho bằng 3 đơn vị khối.

Luyện tập – vận dụng 4:

Cho khối chóp cụt đều tạo bởi khối chóp đỉnh S, diện tích hai đáy lần lượt là B, B' và chiều cao h. Chọn trục Ox chứa đường cao của khối chóp và gốc O trùng với đỉnh S (Hình 21). Hai mặt phẳng đáy của khối chóp cụt đều lần lượt cắt Ox tại I và I'.

Đặt OI = b, OI' = a (a < b). Một mặt phẳng P vuông góc với trục Ox tại x (a≤x≤b), cắt khối chóp cụt đều theo hình phẳng có diện tích S(x). Người ta chứng minh rằng Tính thể tích khối chóp cụt đều đó.

Hướng dẫn chi tiết:

Thể tích khối chóp đó là:

2. THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

Hoạt động 4:

Xét nửa hình tròn tâm O, bán kính r(Hình 24). Nửa hình tròn đó là hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y=f(x)

a) Tìm hàm số y = f(x)

b) Quay nửa hình tròn đó quanh trục hoành, ta nhận được hình cầu tâm O bán kính r. Xét điểm M(x; f(x)) (-r ≤ x ≤ r) nằm trên nửa đường tròn tâm O bán kính r. Gọi H(x ; 0) là hình chiếu của điểm M trên trục Ox. Khi quay nửa hình tròn quanh trục hoành, đoạn thẳng HM tạo nên một hình tròn tâm H bán kính f(x).

Tính diện tích S(x) của hình tròn đó theo f(x).

Từ đó, sử dụng công thức tính thể tích vật thể, hãy tính thể tích V của hình cầu tâm Q bán kính r.

Hướng dẫn chi tiết:

Để tìm hàm số y = f(x), ta cần xác định phương trình của nửa hình tròn.

Ta có hình tròn tâm O, bán kính r có phương trình là:

Do đồ thị của nửa hình tròn nằm ở nửa trên trục Ox, tức là phần dương của đồ thị. Vậy nửa hình tròn giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y = f(x) có phương trình là:

Diện tích S(x) của hình tròn tâm H bán kính f(x) là:

Thể tích V của hình cầu tâm O tính theo công thức tính thể tích của vật thể là:

Luyện tập – vận dụng 5:

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox.