Giáo án Toán 12 cánh diều Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân

Gốm Bát Tràng là tên gọi chung của các loại đồ gốm Việt Nam được sản xuất tại làng Bát Tràng, thuộc xã Bát Tràng nổi tiếng ở trong và ngoài nước về chất lượng gốm và độ tinh xảo của các sản phẩm. Những chiếc chén trong bộ ấm chén uống trà ở Hình 10 có dạng khối tròn xoay.

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- HS trả lời HĐ1.

Cho hàm số có đồ thị minh họa ở Hình 11.

+ GV cho HS quan sát và trả lời các ý a, b, c.

+ Sử dụng tích phân để tính diện tích của các hình phẳng đó.

+ Nhắc lại tính chất của tích phân để trả lời ý c).

Từ đó, GV giới thiệu ứng dụng của tích phân để tính diện tích của một hình phẳng.

- GV hướng dẫn Ví dụ 1:

- HS thực hiện Luyện tập 1 dựa theo ví dụ 1.

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành yêu cầu của HĐ2.

+ Áp dụng kết luận trên tính diện tích .

+ Tính và so sánh và .

- GV dẫn dắt HS nhận biết công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số.

- HS quan sát Ví dụ 2, 3:

- HS thực hiện Luyện tập 2:

- GV gới thiệu kí hiệu nguyên hàm.

+ GV chú ý cho HS:   Ta có

• GV hướng dẫn HS tìm hiểu Ví dụ 4.

+ Xác định dạng của đồ thị là parabol có đạng . Tìm các điểm mà đồ thị hàm số đi qua, giải hệ tìm hai hàm số của đồ thì đã cho.

+ Xác định phần hình phẳng được giới hạn bởi hai hàm số.

+ Sử dụng tích phân để tính diện tích.

+ Tính lượng ánh sáng khi đi qua toàn bộ cửa sổ sau khi làm logo.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

I. Tính diện tích hình phẳng

1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .

HĐ1:

a) Quan sát Hình 11, ta thấy:

+ Hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng , trục và đồ thị hàm số .

+ Hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng , trục và đồ thị hàm số .

+ Hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng , trục và đồ thị hàm số .

b) Ta có:

Do đó, ; .

c) Ta có:

Kết luận

Cho hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó, diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng là:

Ví dụ 1 (SGK -tr.29)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.29

Luyện tập 1

Ta có:

2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số và hai đường thẳng .

HĐ2

a) Quan sát Hình 14, ta thấy

b) Ta có:

Khi đó

Vậy

Kết luận

Cho các hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số và hai đường thẳng là:

Ví dụ 2 (SGK -tr.30)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.30-31.

Ví dụ 3 (SGK -tr.31)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.31.

Luyện tập 2

Ta có: với mọi .

Ví dụ 4 (SGK -tr.31)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.32 - 33

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- HS trả lời HĐ3.

+ Mặt cắt của hình khối có hình gì? Tính thể tích của mặt cắt dó.

+ Tính thể tích khối lập phương và so sánh.

- GV dẫn dắt giới thiệu trường hợp tổng quát.

- GV hướng dẫn Ví dụ 5:

Sử dụng chú ý để trả lời câu hỏi.

- HS thực hiện Luyện tập 3.

- GV hướng dẫn Ví dụ 6, từ đó dẫn dắt đến nhận xét.

- HS thực hiện Luyện tập 4.

- GV hướng dẫn Ví dụ 7:

+ Xác định hàm số của đồ thị là các đường cong .

+ Sử dụng tích phân để tính diện tích phần con đường.

+ Tính thể tích khối bê tông.

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành yêu cầu của HĐ4.

……………….

II. Tính thể tích của hình khối

1. Thể tích của vật thể

HĐ3:

a) Ta có: .

b) Thể tích khối lập phương là .

Ta có:

Vậy Thể tích khối lập phương đó bằng .

Định lí

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục   tại và (). Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với tại cắt vật thể đó theo hình phẳng có diện tích là . Giả sử hàm số liên tục trên . Khi đó, thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên được tính bởi công thức

Chú ý: Nếu không đổi với mỗi thì .

Ví dụ 5 (SGK -tr.35)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.35

Luyện tập 3

Ví dụ 6 (SGK -tr.35)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.35

Nhận xét:

- Cho khối lăng trụ có chiều cao bằng và diện tích đáy bằng . Thể tích và diện tích đáy bằng . Thể tích của khối lăng trụ đó được tính bởi công thức .

- Cho khối chóp có chiều cao bằng và diện tích đáy bằng . Thể tích của khối chóp đó được tính bởi công thức .

Luyện tập 4

.

Vì hay và

Nên . 

Ví dụ 7 (SGK -tr.36)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.37

2. Thể tích của khối tròn xoay

HĐ4

………………..