Đáp án Toán 12 cánh diều bài tập cuối chương V

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V

Bài 1:

 Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là:

A.

B. .

C. .

D.

Hướng dẫn chi tiết:

Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là

Đáp án: B

Bài 2:

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn chi tiết:

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là:

Đáp án D

Bài 3:

a) Mặt cầu có bán kính là:

A. 10 .

B. 11 .

C. 12 .

D. 13 .

b) Toạ độ tâm của mặt cầu là:

A..

B..

C. .

D. .

Hướng dẫn chi tiết:

a) Mặt cầu có

Đáp án A

b) Toạ độ tâm của mặt cầu là:

Đáp án C

Bài 4:

Khoảng cách từ điểm M(a;b;c) đến mặt phẳng là:

A. |a+b|

B. |b+c|

C. |c+a|

D.

Hướng dẫn chi tiết:

Khoảng cách từ điểm M(a;b;c) đến mặt phẳng là:

Đáp án B.

Bài 5:

Cho bốn điểm

a) Tìm toạ độ của hai vectơ và một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đó.

b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của hai đường thẳng AB và AC.

c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).

d) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

e) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC)

Hướng dẫn chi tiết:

a) Ta có:

Tọa độ của vectơ

Tọa độ của vectơ

Vectơ vuông góc với cả hai vectơ và

Vậy một vectơ vuông góc với và là (1; 1; 1).

b) 

Phương trình tham số của đường thẳng AB chứa điểm A có tọa độ (0; 1;3) và vectơ chỉ phương

Phương trình tham số là:

Phương trình tham số của đường thẳng AC điểm A có tọa độ (0;1;3) và vectơ chỉ phương :

Phương trình chính tắc của đường thẳng AB:

Phương trình chính tắc của đường thẳng AC:

c) Mặt phẳng (ABC) nhận \vec{n} = (1;1;1). là vector pháp tuyến và đi qua A (0;1;3)

Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng:

d) Ta có: Điểm D có tọa độ (1; 1; -2) thay vào phương trình mặt phẳng (ABC):

Vì điểm D không thỏa mãn phương trình mặt phẳng (ABC), nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

e) Khoảng cách từ điểm D (1;1; -2) đến mặt phẳng ( x + y + z - 4 = 0 ) được tính bằng công thức:

Bài 6:

Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) đi qua điểm M(-3;1;4) và có một vectơ pháp tuyến là ;

b) (P) đi qua điểm N(2;-1;5) và có cặp vectơ chỉ phương là và

c) (P) đi qua điểm I(4;0;-7) và song song với mặt phẳng ;

d) (P) đi qua điểm K(-4;9;2) và vuông góc với đường thẳng

Hướng dẫn chi tiết:

a) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-3;1;4) và có một vectơ pháp tuyến là

b) Tính vector pháp tuyến của mặt phẳng (P):

Phương trình mặt phẳng (P) là:

c) Nếu (P) song song với (Q), thì chúng có cùng vectơ pháp tuyến (2; 1; -1).

Phương trình mặt phẳng (P) là:

d) Vectơ chỉ phương của đường thẳng là (2; 1; 5), nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (2; 1; 5) do

Phương trình mặt phẳng (P) là:

Bài 7:

Viết phương trình của mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau:

a) (S) có tâm I(4;-2;1) và bán kính R=9;

b) (S) có tâm I(3;2;0) và đi qua điểm M(2;4;-1);

c) (S) có đường kính là đoạn thẳng AB với A(1;2;0) và B(-1;0;4)

Hướng dẫn chi tiết: 

a) Mặt cầu (S) có tâm I(4; -2; 1) và bán kính R = 9:

b) Mặt cầu (S) có tâm I(3; 2; 0) và đi qua điểm M(2; 4; -1)

Để tìm bán kính R, ta tính khoảng cách từ điểm M đến tâm I:

Phương trình của mặt cầu là:

 c) 

Tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tọa độ của trung điểm I là:

Để tìm bán kính R, ta tính khoảng cách từ điểm A đến tâm I:

Phương trình của mặt cầu là:

Bài 8:

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng và trong mỗi trường hợp sau:

a) = và =

b = và =

c) = và =

Hướng dẫn chi tiết:

 a) 

Vectơ chỉ phương của là

Vectơ chỉ phương của là

Ta xét tỉ lệ:

  và không tỉ lệ

Phương trình tham số của

Phương trình tham số của

Cho

Ta có:

Thay t vào các phương trình còn lại:

Hệ phương trình có 1 nghiệm (t;s)=(1;3). Vậy 2 đường thẳng cắt nhau.

 b)

Vectơ chỉ phương củalà

Vectơ chỉ phương của là

Xét tỉ lệ:

và tỉ lệ với nhau. Xét điểm (2;-1;4) thuộc . Thay vào :

Vậy 2 đường thẳng song song.

c) 

Vectơ chỉ phương của là

Vectơ chỉ phương của là

Xét 2 tỉ lệ:

và không tỉ lệ

Xét:

Điểm trên

Điểm trên

Cho

Từ phương trình đầu tiên, ta có:

Từ phương trình thứ 2, ta có:

Cho (1)=(2)

Thay s vào phương trình 2:

Thay s vào phương trình 1:

Phương trình 1 mâu thuẫn với phương trình 2

Hệ phương trình không có nghiệm, do vậy 2 đường chéo nhau.

Bài 9:

Tính góc giữa hai đường thẳng và, biết và (t₁,t₂ là tham số) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Hướng dẫn chi tiết:

Vectơ chỉ phương của là

Vectơ chỉ phương của là

Góc giữa hai đường thẳng và được tính bằng công thức cosine của góc giữa hai vectơ chỉ phương

Bài 10: Tính góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng (P) (làm tròn kết quả đĉ́n hàng đơn vị của độ), biết (t là tham số) và

Hướng dẫn chi tiết:

Vectơ chỉ phương của là

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):

Bài 11:

Tính góc giữa hai mặt phẳng (P₁) và (P₂) biết và

Hướng dẫn chi tiết:

Ta có:

Vectơ pháp tuyến của là

Vectơ pháp tuyến của là

Góc giữa hai mặt phẳng chính là góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng:

--------------------------------

------------- Còn tiếp -------------