Đề thi chính thức Toán tốt nghiệp THPTQG 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi có 06 trang) KÌ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2018
Môn thi thành phần: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Họ, tên thí sinh: ……………………………………………….
Số báo danh: …………………………………………………..

Câu 1. Với a là số thực dương tùy ý, bằng
A. . B. . C. D.
Câu 2. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.
Câu 3. Thể tích của khối trụ tròn xoay có bán kính đáy r và chiều cao h bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường . Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay xung quanh trục Ox. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 5. Từ các chữ số lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 6. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .
Câu 7. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
A. (- 1; 0) . B. (1; ) . C. ( ; 1) . D. (0; 1) .
Câu 8. Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 4a. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. B. C. D.
Câu 9. Trong không gian , cho mặt cầu . Tâm của có tọa độ là
A. . B. . C. . D. .
Câu 10. bằng
A. . B. . C. . D. 0.
Câu 11. Số phức có phần thực bằng
A. - 5. B. 5. C. - 6. D. 6.
Câu 12. Trong không gian , mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
A. . B. . C. . D.
Câu 13. Tập nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 14. Nguyên hàm của hàm số là
A. . B. . C. D. .
Câu 15. Trong không gian , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 16. Từ một hộp chứa 9 quả cầu màu đỏ và 6 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 17. Trong không gian , cho ba điểm . Mặt phẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng BC có phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 18. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là
A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.
Câu 19. Tích phân bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 20. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại C, . SA vuông góc với mặt phẳng đáy và . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 21. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng
A. - 4. B. - 16. C. 0. D. 4.
Câu 22. Cho hàm số liên tục trên đoạn và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình trên đoạn là
A. 3. B. 1. C. 2. D. 4.

Câu 23. Tìm hai số thực x và y thỏa mãn với i là đơn vị ảo.
A. . B. . C. . D. .
Câu 24. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh vuông góc với mặt phẳng đáy và . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 25. Một người gửi tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 6,6%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra ?
A. 11 năm. B. 10 năm. C. 13 năm. D. 12 năm.
Câu 26. Cho với là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. . B. . C. . D. .

Câu 27. Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật (m/s) , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đàu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng a (m/s2) (a là hằng số) . Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đưởi kịpA. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng
A. 15(m/s) . B. 9(m/s) . C. 42(m/s) . D. 25(m/s) .
Câu 28. Xét các số phức z thỏa mãn là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng
A. 2. B. . C. 4. D. .
Câu 29. Hệ số của trong khai triển biểu thức bằng
A. - 1272. B. 1272. C. - 1752. D. 1752.
Câu 30. Ông A dự định sử dụng hết 5 m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể) . Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) ?
A. 1,01 m3. B. 0,96 m3. C. 1,33 m3. D. 1,51 m3.
Câu 31. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng ?
A. 3. B. Vô số. C. 0. D. 6.
Câu 32. Cho tứ diện có đôi một vuông góc với nhau, và . Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 33. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao chho phương trình có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử ?
A. 3. B. 5. C. 2. D. 1.
Câu 34. Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng 3 mm và chiều cao bằng 200 mm. Thân bút được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì. Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn có bán kính 1 mm. Giả định 1 m3 gỗ có giá a (triệu đóng) , 1 m3 than chì có giá 9a (triệu đồng) . Khi đó giá nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây ?
A. 97,03.a (đồng) . B. 10,33.a (đồng) . C. 9,7.a (đồng) . D. 103,3.a (đồng) .
Câu 35. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng . Đường thẳng nằm trong đồng thời cắt và vuông góc với có phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 36. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn ?
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Câu 37. Cho thỏa mãn log_(4a+5b+1)⁡〖(16a^2+b^2+1)〗+log_(8ab+1)⁡〖(4a+5b+1〗)=2. Giá trị của bằng
A. 9. B. 6. C. . D. .
Câu 38. Cho hình lập phương có tâm . Gọi là tâm của hình vuông và là điểm thuộc đoạn sao cho (tham khảo hình vẽ) .

Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 39. Trong không gian , cho đường thẳng . Gọi là đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi và có phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 40. Cho hàm số (x-2)/(x+2) có đồ thị . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của . Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A,B thuộc , đoạn thẳng AB có độ dài bằng
A. . B. 4. C. 2. D. .
Câu 41. Cho hàm số thỏa mãn và với mọi . Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 42. Cho phương trình với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đã ch có nghiệm ?
A. 9. B. 25. C. 24. D. 26.
Câu 43. Cho hai hàm số và . Biết rằng đồ thị của hàm số và cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là ; ; (tham khảo hình vẽ bên) .

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 44. Cho hai hàm số , . Hai hàm số và có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số . Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?

A. . B. . C. . D. .
Câu 45. Cho khối lăng trụ , khoảng cách từ đến đường thẳng bằng 2, khoảng cách từ đến các đường thẳng và lần lượt bằng 1 và , hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là trung điểm M của và . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. . B. 2. C. . D. 1.
Câu 46. Trong không gian , cho mặt cầu và điểm . Xét các điểm thuộc sao cho đường thẳng tiếp xúc với , luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 47. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số đạt cực tiểu tại ?
A. 8. B. Vô số. C. 7. D. 9.
Câu 48. Trong không gian , cho mặt cầu có tâm và đi qua điểm . Xét các điểm thuộc sao cho đôi một vuông góc với nháu. Thể tích của khối tứ diện có giá trị lớn nhất bằng
A. 256. B. 128. C. . D. .
Câu 49. Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn . Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 50. Cho hàm số có đồ thị . Có bao nhiêu điểm thuộc sao cho tiếp tuyến của tại cắt tại hai điểm phân biệt ( khác ) thỏa mãn ?
A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.

ĐÁP ÁN
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Đ.A C B D A D D D A B D
Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Đ.A B C B B C D A C C C
Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Đ.A B A B B A C D D A A
Câu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Đ.A A D D C C B C D B B
Câu 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Đ.A B C C A C B A C A B

LỜI GIẢI CỤ THỂ
Câu 1:
ln (7a) – ln(3a) = ln7a/ln3a = ln7/ln3=ln 7/3
Đáp án : C
Câu 2:

Các điểm cực trị được đánh dấu đỏ. Có 3 điểm cực trị.
Đáp án: B
Câu 3:
V_trụ= .
Đáp án: D
Câu 4:
Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox là: .
Đáp án: A
Câu 5:
Số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau được lấy ra từ 7 chữ số trên là: .
Đáp án: D
Câu 6:
Đồ thị là đồ thị của hàm số bậc 3 nên loại A và B
Đồ thị của hàm số bậc ba có hệ số a > 0 nên D đúng
Đáp án: D
Câu 7: Đáp án: D
Câu 8:
V= S_đáy.h=a^2.4a=〖4a〗^3
Đáp án: A
Câu 9:
Tâm của (S) có tọa độ là (-3;-1;1)
Đáp án: C
Câu 10:
Ta có: lim1/(2n+7)=lim (1/n)/(2+7/n)=0
Đáp án: D
Câu 11:
Số phức 5 + 6i có phần thực bằng 5, phần ảo bằng 6
Đáp án : B
Câu 12:
Véc tơ pháp tuyến của (P) là (2;3;1).
Đáp án: C
Câu 13:
Điều kiện x^2-7>0
〖log〗_3 (x^2-7)=2↔x^2-7=9↔x=4 (t/m) hoặc x = -4(t/m)
Đáp án: B
Câu 14:
∫▒〖f(x)dx=∫▒〖(x^4+x^2 )dx=〗〗 .
Đáp án: B
Câu 15:
đường thẳng đi qua điểm
Đáp án: C
Câu 16:
Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ 15 quả cầu đã cho có C_15^3 cách
Lấy được 3 quả màu xanh từ 6 quả cầu màu xanh đã cho có C_6^3 cách
Vậy xác suất để lây được 3 quả cầu màu xanh là P = (C_6^3)/(C_15^3 )=4/91
Đáp án: D
Câu 17:
Ta có BC = (-1;-2;2) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) cần tìm
n = -BC = (1;2;-2) cũng là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là x + 2y -2z +1 = 0
Đáp án: A
Câu 18:
Tập xác định D = [-25; +∞)\{-1;0}
Ta có lim┬(x→0)⁡y=lim┬(x→0)⁡〖x/(x(x+1)(√(x+25)+5))=lim┬(x→0)⁡〖1/((x+1)(√(x+25)+5))=1/10〗 〗
lim┬(x→〖(-1)〗^+ )⁡〖y=lim┬(x→〖(-1)〗^+ )⁡〖1/((x+1)(√(x+25)+5))=+∞〗 〗
Vì lim┬(x→(-1)^+ ) (√(x+25)+5)=√24+5>0,lim┬(x→(-1)^+ ) (x+1)=0 và x→〖(-1)〗^+ thì x> -1
=> x +1 > 0
Tương tự ta có lim┬(x→〖(-1)〗^- ) y=-∞
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng x = -1
Đáp án: C
Câu 19:
=1/3 ∫_1^2▒〖(d(3x-2))/(3x-2)=1/3 ln⁡|3x-2| |2¦1〗=1/3.ln4=2/3 ln2
Đáp án: C
Câu 20:

SA vuông góc với (ABC) suy ra ((SB;(ABC)) ̂)=((SB;AB) ̂ )=(ABA) ̂
Xét tam giác vuông ABC có AB = √(〖AC〗^2+〖BC〗^2 )=a√3
SA vuông góc với (ABC) suy ra SA vuông góc với AB => tam giác SAB vuông tại A
Do đó tan (SBA) ̂=SA/AB=a/(a√3)=1/√3=>(SBA) ̂=30°
Đáp án : C
Câu 21:
Ta có: y’ = 3x^2+6x;y^'=0=>3x^2+6x=0 suy ra x = 0 ∉ [-4;-1] hoặc x = - 2 ∉ [-4;-1]
Khi đó y(-4) = -16; y(-2) = 4; y (-1) = 2
Nên min y = -16
Đáp án: B
Câu 22:
Ta có 3f(x) -4 = 0 suy ra f(x) = 4/3
Dựa vào đồ thị , ta thấy đường thẳng y = 4/3 cắt y = f(x) tại 3 điểm phân iệt nên phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt
Đáp án: A
Câu 23:
(3x + yi) + (4 – 2i) = 5x + 2i  2x – 4 + (4 – y)i = 0  {█(2x-4=0@4-y=0) ┤{█(x=2@y=4)┤
Đáp án: B
Câu 24:

Ta có: {█(BC⊥AB@BC⊥SA)┤ => BC ⊥ (SAB) => {█((SAB)⊥(ABC)@(SAB)∩(SBC)=SB)┤
Trong mặt phẳng (SAB); kẻ AH ⊥ SB => AH = d(A, (SBC))
1/〖AH〗^2 =1/〖SA〗^2 +1/〖AB〗^2 =1/a^2 +1/a^2 =4/〖3a〗^2
d(A, (SBC))= AH =(√3 a)/2
Đáp án: B
Câu 25:
Gọi số tiền gửi ban đầu là a , lãi suất d%/năm
Số tiền có được sau 1 năm là T_1=a+ad=a(1+d)
Số tiền có được sau 2 năm là: T_2=a(1+d)+a(1+d)d=〖a(1+d)〗^2
Số tiền có được sau 3 năm là: T_3=〖a(1+d)〗^2+〖a(1+d)〗^2 d=〖a(1+d)〗^3
Số tiền có được sau n năm là: T_n=2a  〖(1+d)〗^n=2
Thay số ta được: 〖(1+0,006)〗^n=2 => n = log_1,006⁡2=>n≈10,85
Vậy sau ít nhất 11 năm
Đáp án A
Câu 26:
Ta có: ∫_1^e▒(1+xlnx)dx=∫_1^e▒1dv+∫_1^e▒xlnxdx
Đặt v = lnx, dv = xdx => dv = 1/x dx; v = x^2/2
∫_1^e▒xlnxdx=x^2/2 lnx|e¦1-1/2 ∫_1^e▒xdx=(x^2/4 lnx)| e¦1-1/4 x^2 |e¦1=e^2/4+1/4
∫_1^e▒(1+xlnx)dx=e^2/4+e-3/4 => a = 1/4, b =1 , c = 3/4
a – b =c
Đáp án: C
Câu 27:
Ta có: v_B (t)=∫▒adt=at+C,v_B (0)=0=>C=0=> v_B (t)=at
Quãng đường chất điểm A đi được trong 25 giây là
S_A=∫_0^25▒〖(1/100 t^2+13/30 t〗)dt=〖(1/300 t〗^3+13/60 t^2)|25¦0=375/2
Quãng đường chất điểm B đi được trong 15 giây là:
S_B=∫_0^15▒〖at.dt=〖at〗^2/2|15¦0=225a/2〗
Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là
v_B (15)=5/3.15=25 (m/s)
Đáp án D
Câu 28:
Giả sử z = x + yi với x, y ∈R
Vì (z ̅+2i)(z-2)=[x+(2-y)i][(x-2)+yi]
=[x(x-2)-y(2-y)]+[xy+(x2)(2-y)]i là số thuần ảo nên có phần thực bằng 0 do đó x(x – 2) – y(2 – y) = 0  〖(x-1)〗^2+〖(y-1)〗^2=2
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng √2
Đáp án D
Câu 29:
Hệ số của x^5 trong khai triển biểu thức 〖x(2x-1)〗^6 là C_6^4 2^4 〖(-1)〗^2=240
Hệ số của x^5 trongkhai triển biểu thức 〖(x-3)〗^8 là C_8^5 〖(-3)〗^3=-1512
Suy ra hệ số của x^5 trong khai triển 〖x(2x-1)〗^6+〖(x-3)〗^8 là 240 – 1512 = -1272
Đáp án: A
Câu 30:

Gọi chều dài, chiều rộng và chiều cao của bể cá lần lượt là a;b;c(a;b;c>0)
Theo đề bài ta có a=2b
Vì ông A sử dụng 5m^2 kính để làm bể cá không nắp nên diện tích toàn phần (bỏ 1 mặt đáy) của hình hộp là 5m^2
Hay ab + 2bc + 2ac = 5 mà a = 2b nên 〖2b〗^2+2bc+4bc=5  〖2b〗^2+6bc=5
=> c = (5-2b^2)/6b
Thể tích bể cá là V = abc = 2b.b.(5-2b^2)/6b=(-2b^3+5b)/3
Xét hàm số f(b) = (-2b^3+5b)/3 (b > 0) => f’(b) = (-6b^2+5)/3=0
=> [├ █(b=-√(5/6) (không tm)@b=√(5/6) (tm))┤┤ (vì b > 0)
Ta có bảng biến thiên của y = f(b)

Từ bảng biến thiên suy ra max f(b) = (5√30)/27≈1,01 b = √(5/6)
Đáp án : D
Câu 31:
Tập xác định D = R\{-3m}; y’ = (3m-1)/〖(x+3m)〗^2
Hàm số y = (x+1)/(x+3m) nghịch biến trên khoảng (6;+∞) khi và chỉ khi:
{█(y^'<0@(6;+∞)⊂D)┤ {█(3m-1<0@-3m≤6)┤ {█(m<1/3@m≥-2)┤ -2≤m<1/3
Đáp án: A
Câu 32:

Dựng AE // OM, khi đó OM // (CAE). Do đó d(Om,AC) = d(OM,(CAE)) = d(O,(CAE))
Dựng OK ⊥ AE, ta có:
{█(AE⊥OK@AE⊥OC(Vì CO⊥(ABC)))=>AE⊥(COK)┤
Mà AE ⊂ (CAE) nên (CAE) ⊥(COK)
Ta có (CAE) ∩ (COK) = CK.
Kẻ OH ⊥CK, khi đó OH ⊥(COK). Suy ra d(O,(CAE))=OH
Xét tam giác OAB ta có:
AB = √(〖OA〗^2+〖OB〗^2 )=a√2
Dễ thấy OKAM là hình chữ nhật nên
OK = AM = AB/2=(a√2)/2
Xét tam giác COK ta có:
1/〖OH〗^2 =1/〖OK〗^2 +1/〖OC〗^2 =>1/〖OH〗^2 =1/〖((a√2)/2)〗^2 +1/〖(2a)〗^2 =>OH=2/3 a
Đáp án : D
Câu 33:
Đặt 2^x=t(t>0), ta có t^2-2mt+〖2m〗^2-5=0 (*)
Để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm dương phân biệt.
=>{█(∆^'>0@S>0@P>0)┤=>{█(m^2-〖2m〗^2+5>5@2m>0@〖2m〗^2-5>0)┤ {█(-√5<m<√5@m>0@[├ █(m>√(5/2)@m<-√(5/2))┤┤ )=> √(5/2)<m<√5┤,
mà m ∈ Z => m = 2
Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án: D
Câu 34:

Diện tích lục giác đều là S_1=(3√3)/2.3^2=(27√3)/2(〖mm〗^2)
Thể tích một chiếc bút chì là
V_1=S_1 h=(27√3)/2.200=2700√3 (〖mm〗^3 )=27√3.10^(-7) (m^3)
Thể tích lõi chì là V_2=h.S_2=200.π.1^2=200π(〖mm〗^2 )=2π.10^(-7) (m^3)
Thể tích khối gỗ làm bút chì là V_3=V_1-V_2=(27√3-2π).10^(-7) (m^3 )
Giá nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì là:
T = a . (27√3-2π).10^(-7)+9a.2.10^(-7) π≈9,7.10^(-6) a (triệu đồng)
Hay giá nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì gần bằng 9,7a (đồng)
Đáp án: C
Câu 35:
Đường thẳng d nằm trong (P) đồng thời cắt và vuông gí với ∆ nên có vecto chỉ phương (u_d ) ⃗=|(n_((p) ) ) ⃗,(u_∆ ) ⃗ |=(1;-4;-3) là vecto chỉ phương của d.
Tọa độ giao điểm của (P) và ∆ là M(3;-2;2), khi đó d đi qua M(3;-2;2)
Vậy phương trình d là .
Đáp án: C
Câu 36:
Đặt |z| = a ≥0, a∈R, khi đó ta có:
|z|(z – 6 – i) + 2i = (7 – i)z  a(z – 6 – i) + 2i = (7 – i)z  (a – 7 + i)z = 6a + ai – 2i
 [〖(a-7)〗^2+1]a^2=〖36a〗^2+〖(a-2)〗^2  a^4-〖14a〗^3+13a^2+4a-a=0
 (a – 1)( a^3-13a^2+4)=0  [├ █(a=1@a=11,97@a=0,59@a=-0,56 (l))┤┤
Thay giá trị mô đun của z vào (a – 7 + i)z = 6a + ai – 2i được ba số phức thỏa mãn điều kiện
Đáp án : B
Câu 37:
Ta có 〖16a〗^2+b^2+1≥2√(16a^2 b^2 )+1=8ab+1
Do đó: log_(4a+5b+1)⁡〖(16a^2+b^2+1)〗+log_(8ab+1)⁡〖(4a+5b+1〗)≥log_(4a+5b+1)⁡〖(8ab+1)+log_(8ab+1)⁡〖(4a+5b+1)〗 〗
Mặt khác log_(4a+5b+1)⁡〖(8ab+1)+log_(8ab+1)⁡(4a+5b+1) 〗
〖=log〗_(4a+5b+1)⁡〖(8ab+1)+〗 1/log_(4a+5b+1)⁡〖(8ab+1)〗 ≥2
log_(4a+5b+1)⁡〖(〖16a〗^2+b^2+1)+log_(8ab+1)⁡〖(4a+5b+1)≥2〗 〗
Dấu “=” xảy ra {█(〖16a〗^2=b^2@8ab+1=4a+5b+1)┤{█(a=3/4@b=3)┤
Vậy a + 2b = 27/4
Đáp án C
Câu 38:

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, cạnh hình lập phương là 1, ta được tọa độ các điểm như sau:
M(1/2;1/2;1/6), C(0;1;0), D’(1;1;0) và A(1;0;1), B(0;0;1)
Khi đó n_((MC^' D^'))=(0;1;3);n_((MAB))=(0;5;3) nên cos((MAB),(MC’D’))=(|5.1+3.3|)/(√(5^2+3^2 ).√(1^2+3^2 ))=(7√85)/85
Suy ra sin((MAB),(MC’D’) = √(1-〖((7√85)/85)〗^2 )=(6√85)/85
Đáp án: D
Câu 39:
Dễ dàng nhận thấy A∈d => d∩∆ = A => Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và ∆ đi qua A
Phương trình ∆:{█(x=1@y=2-7t@z=3-t)┤
Ta có cos((u_d ) ⃗.(u_∆ ) ⃗=((u_d ) ⃗.(u_∆ ) ⃗)/(|(u_d ) ⃗ |.|(u_∆ ) ⃗|)=(1.0+1.(-7)+0.(-1))/(√2.√50)<0=>((u_d ) ⃗;(u_∆ ) ⃗) là góc tù
Lấy B(2; 3; 3) ∈d; C(1; -5; 2) ∈∆ => {█(x=1+5t@y=2+12t@z=3+t)┤(d^')
Cho t = -1 => B(-4; -10; 2) ∈(d’), do đó (d’) cũng được viết dưới dạng {█(x=-4+5t@y=-10+12t@z=2+t)┤
Đáp án: B
Câu 40:
Dễ thấy hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = (x-2)/(x+2) là x = -2 và y = 1 => I(-2;1)
Ta có: y = (x-2)/(x+2)=1-4/(x+2)
Gọi A(a - 2; 1 - 4/a);B(b-2;1-4/b) ∈(C) (a≠b)
Gọi M là trung điểm của AB => M((a+b)/2-2;1-2(1/a+1/b))
Do tam giác IAB đều => (IM) ⃗.(AB) ⃗=0  (a+b)/2.(b-a)-2(1/a+1/b).(4/a-4/b)=0
 ((b^2-a^2))/2-8(1/a^2 -1/b^2 )=0
(b^2-a^2)/2-8 (b^2-a^2)/(a^2 b^2 )=0
 (b^2-a^2 )(1/2-8/(a^2 b^2 ))=0
 [├ █(b^2-a^2=0@a^2 b^2=16)┤┤ [├ █(a=-b@a^2 b^2=16)┤┤
TH1: a = -b => a + b = 0 => M(-2;1) ≡ I => I là trung điểm của AB (không t/m vì tam giác IAB đều)
TH2: a^2 b^2=16
Do tam giác IAB đều => IM = AB√3/2 〖4IM〗^2=〖3AB〗^2
4[(a+b)^2/4+4(1/a+1/b)^2 ]=3[(b-a)^2+(4/b-4/a)^2]
 〖(a+b)〗^2+16 〖(a+b)〗^2/16=3〖(a-b)〗^2+3.(16〖(a-b)〗^2)/16
 2〖(a+b)〗^2=〖6(a-b)〗^2
 〖2a〗^2+4ab+〖2b〗^2=〖6a〗^2-12ab+〖6b〗^2
 a^2+b^2=4ab=>ab≥0  ab = 4
{█(a^2+b^2=16@ab=4)┤
〖AB〗^2=〖(b-a)〗^2+(4/b-4/a )^2=a^2+b^2-2ab+16(a^2+b^2-2ab)/(a^2 b^2 )=16
AB = 4
Đáp án: B
Câu 41:
Ta có f’(x) = 〖4x〗^3 〖[f(x)]〗^2=> -(f^' (x))/[f(x)]^2 =〖-4x〗^3
Tích phân hai vế từ 1 đến 2 ta có:
∫_1^2▒〖(f^' (x))/[f(x)]^2 dx=〗 ∫_1^2▒〖〖4x〗^3 dx〗
 ∫_1^2▒〖(d(f(x)))/〖[f(x)]〗^2 =15〗
 -1/(f(x))|2¦1=15
1/(f(1))-1/f(2) =15 => f(1) = -1/10
Đáp án: B
Câu 42:
Điều kiện: x > m.
Đặt t=log_7⁡〖(x-m)〗 ta có {█(7^x+m=t@7^t+m=x)=>7^x+x=7^t+t┤ (1)
Do hàm số f(u)=7^u+u đồng biến trên R, nên ta có (1)  t = x .
Khi đó 7^x+m=x m=x-7^t.
Xét hàm số g(x) = x - 7^x=>g^' (x)=1-7^x ln7=0  x = -log_7⁡〖(ln7)〗
Bảng biến thiên:

Từ đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m≤g(-log_7⁡〖(ln7))≈-0,856〗 (các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện vì x-m=7^x>0).
Do m nguyên thuộc khoảng [-25;25] nên m∈{-24;-16;…;-1}
Vậy có 24 giá trị nguyên của m
Đáp án: C
Câu 43:
Do đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là -3;-1;2 nên
f(x) – g(x) = a(x +3)(x + 1)(x – 2) ∀x∈R f(x) – g(x) = a(x^3+〖2x〗^2-5x-6) ∀x∈R
Hay 〖ax〗^3+(b-d) x^2+(c-c)x-3/2=a(x^3+2x^2-5x-6) ∀x∈R  a = 1/4
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên là:
S = ∫_(-3)^2▒〖|1/4(〗 x^3+2x^2-5x-6)|dx
=∫_(-3)^(-1)▒〖1/4 (x^3+2x^2-5x-6)dx+∫_(-1)^2▒〖-1/4 (x^3+2x^2-5x-6)dx=253/48〗〗
Đáp án: C
Câu 44:
h(x)=f(x+3)-g(2x-7/2)=>h^' (x)=f^' (x+3)-2g'(2x-7/2)
Hàm số h(x) đồng biến => h^' (x)≥0=>f^' (x+3)-2g^' (2x-7/2)≥0
=>f^' (x+3)≥2g'(2x-7/2)
Dựa vào đồ thị f^'≥2g' khi {█(3≤x+3≤8@3≤2x-7/2≤8)┤=>{█(0≤x≤5@13/2≤2x≤23/2)┤  {█(0≤x≤5@13/4≤x≤23/4)┤
 13/4≤x≤5
Đáp án: A
Câu 45:

Gọi M’ là trung điểm BC; E, F lần lượt là hình chiếu của A lên BB’, CC’
K = MM’ ∩EF => K là trung điểm EF
D(A, BB’) = EF = 2
Tam giác AEF vuông tại A suy ra AK=EF/2=1
Tam giác AMN vuông tại A, đường cao AH ( do MM’ ⊥(AEF) suy ra
AM=(AH.AM')/√(〖AM'〗^2-〖AK〗^2 )=2
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên EF => AH ⊥(BCC’B’)
Ta có: 1/〖AH〗^2 =1/〖AE〗^2 +1/〖AF〗^2 =>AH=√3/2
〖MM'〗^2=〖AM〗^2+〖AM'〗^2=16/3=>MM^'=4/√3=BB'
S_BB'C'C=d(C,BB^' ).BB^'=8/√3
Suy ra V_(ABC.A^' B^' C^' )=3/2 V_(A.BCC^' B^' )=3/2.1/3 AH.S_(BB^' C^' C)=3/2.√3/2.8/√3=2
Đáp án: B
Câu 46:
Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R = 1
Ta có IA = √3. Khi đó AM=√(〖IA〗^2-R^2 )=√2
Hạ MH ⊥AI thì AH=〖AM〗^2/AI=2/√3 hay AH = 2/3 AI  (HA) ⃗+2(HI) ⃗=0 ⃗=>H(4/3;7/3;10/3)
Khi đó ta có M thuộc mặt phẳng (P) đi qua H và nhận vecto (IA) ⃗=(1;1;1) làm vecto pháp tuyến
nên M ∈(P) : x + y + z – 7 = 0
Đáp án: B
Câu 47:
Ta có: y^'=8x^7+〖5(m-4)x〗^4-4(m^2-16)x^3
y^''=〖56x〗^6+20(m-4) x^3-12(m^2-16)x^2
Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0  {█(y^' (0)=0@y^'' (0)≥0)┤ => m ∈R
Đáp án: B
Câu 48:

Bán kính mặt cầu là R = IA = 4√3
Do AB, AC, AD đối một vuông góc với nhau => R=√(〖AB〗^2+〖AC〗^2+〖AD〗^2 )/2 => 〖AB〗^2+〖AC〗^2+〖AD〗^2=4R^2
Áp dụng bất đẳng thức Côsin
〖AB〗^2+〖AC〗^2+〖AD〗^2≥3∛(〖AB〗^2.〖AC〗^2.〖AD〗^2 )
〖4R〗^2≥3∛(〖AB〗^2.〖AC〗^2.〖AD〗^2 )
AB.AC.AD≤(8√3)/9 R^3=512
V_ABCD=1/6 AB.AC.AD≤256/6
Đáp án: C
Câu 49:
n(Ω)=14^3
Gọi ba chữ số mà bạn đó viết lần lượt là a; b; c => (a + b + c) ⋮ 3
Gọi A = {(a + b + c) ⋮3; a;b;c ∈[1;14]}
TH1: {█(a ⋮3@b ⋮3@c ⋮3)┤=>a;b;c∈{3;6;9;12} => có 4^3 số
TH2: a⋮3, b chia 3 dư 1, c chia 3 dư 2
⇒a ∈ {3; 6; 9; 12} ⇒ có 4 cách chọn a.
B ∈ {1;4;7;10;13} ⇒ có 5 cách chọn b.
C ∈ {2;5;8;11;14} ⇒có 5 cách chọn c.
⇒ Trường hợp này có 4.5.5=100 số chia hết cho 3.
Tương tự 5 trường hợp còn lai (trong 3 chữ số a; b; c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1 và 1 số chia 3 dư 2) đều có 100 số chia hết cho 3
TH3: a; b; c đều chia 3 dư 1 => a; b ; c ∈{1; 4; 7; 10; 13} => có 5^3 số
TH4: a; b; c đều chia 3 dư 2 => a; b; c ∈{2;5;8;11;14}=> có 5^3 số
N(A) = 4^3+100.6+2.5^3=914
Vậy P(A) = 914/2744=457/1372
Đáp án: A
Câu 50:
Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại A
y^'=4/3 x^3-28/3 x=>y^'=0[├ █(x=-√7@x=0@x=√7)┤┤. Ta có y_1-y_2=8(x_1-x_2 )=>(y_1-y_2)/(x_1-x_2 )=8
=> k_d=8
Do đó tiếp tuyến tại A cắt (C) tại M, N
x_A∈(-√7;0). Vì 4/3 x_A^3-28/3 x_A=8[├ █(x_A=3@x_A=-1@x_A=-2)┤┤
Đối chiếu điều kiện có hai giá trị thỏa mãn x_A=-1 và x_A=-2
Đáp án: B