Giáo án hệ thống kiến thức toán 12

CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

------------------------------------------------------------

KIẾN THỨC LÝ THUYẾT

Sơ đồ 1: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng

1. Nguyên hàm

Nguyên hàm và tính chất

Nguyên hàm

• Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên .

Hàm số  được gọi là nguyên hàm của hàm số  trên nếu  với mọi .

• Định lí 1: Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên thì với mỗi hằng số , hàm số  cũng là một nguyên hàm của hàm số  trên

mọi nguyên hàm của  trên đều có dạng , với  là một hằng số.

• Định lí 2: Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên thì mọi nguyên hàm của  trên đều có dạng , với  là một hằng số.
• Kí hiệu:
• Biểu thức chính là vi phân của nguyên hàm của , vì

Tính chất của nguyên hàm

• Tính chất 1:
• Tính chất 2:
• Tính chất 3:

Sự tồn tại nguyên hàm

Mọi hàm số  liên tục trên đều có nguyên hàm trên .

Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp

Phương pháp tính nguyên hàm

Phương pháp đổi biến số

Nếu  và  là hàm số có đạo hàm liên tục thì

Hệ quả: Với , ta có

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Nếu hai hàm số  và  có đạo hàm liên tục trên thì

1. Tích phân

Khái niệm tích phân

• Cho là hàm số liên tục trên đoạn . Giả sử là một nguyên hàm của hàm  trên đoạn .

Hiệu số được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn ) của hàm số , kí hiệu là .

Ta gọi là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cạn trên,  là biểu thức dưới dấu tích phân và  là hàm số dưới dấu tích phân.

- Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước

• Nếu hàm số liên tục và không âm trên đoạn , thì tích phân là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của , trục  và hai đường thẳng x = a, x = b.

Tính chất của tích phân

• Tính chất 1: (k là hằng số)
• Tính chất 2:
• Tính chất 3:

Phương pháp tính tích phân

Phương pháp đổi biến số

Cho hàm số  liên tục trên đoạn . Giả sử hàm số  có đạo hàm liên tục trên đoạn  sao cho và  với mọi . Khi đó

Phương pháp tính tích phân từng phần

Nếu  và là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn  thì

III. Ứng dụng của tích phân trong hình học

Tính diện tích hình phẳng

Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số  liên tục, trục hoành và hai đường thẳng  được tính theo công thức

Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Cho hai hàm số  và  liên tục trên đoạn . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đó và các đường thẳng . Khi đó diện tích S của hình D là

Tính thể tích

Thể tích của vật thể :  

Thể tích của khối chóp và khối chóp cụt

• Cho khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B.

Một mặt phẳng  vuông góc với  tại    cắt khối chóp theo thiết diện có diện tích là  Ta có

Khi đó, thể tích V của khối chóp là  

• Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy lần lượt là B, B’ ; chiều cao là h. Ta có, V của khối chóp cụt là

Thể tích khối tròn xoay:

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VÀ TỰ LUẬN 1

1. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Khoanh tròn chữ cái trước câu trả lời đúng:

Câu 1: Nguyên hàm của hàm số  là

Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số .

Câu 3: Biết là một nguyên hàm của hàm số  và Tính

1. .
2. .
3. .
4. .

Câu 4: Biết  và , khi đó bằng

1. .
2. .
3. .
4. .

Câu 5: Cho , . Tính .

1. .
2. .
3. .
4. .

Câu 6: Cho ,  là hai hàm liên tục trên đoạn  thoả mãn

, . Tính .

7. 7.
8. 6.
9. 8.
10. 9.

Câu 7: Biết  với  là các số hữu tỷ. Tính .

1. .
2. .
3. .
4. .

Câu 8: Cho  với  là các số nguyên. Giá trị  bằng

9. 9.
10. 2.
11. 1.
12. 7.

Câu 9: Cho tích phân nếu đổi biến số  thì ta được.

1. .
2. .
3. .
4. .

Câu 10: Giả sử  với là số nguyên. Khi đó giá trị  

1. .
2. 5.
3. .
4. .
5. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1: Tính nguyên hàm của các hàm số

1. a)
2. b)
3. c)

Câu 2: Tính các tích phân sau

1. a)
2. b)
3. c)

Câu 3: Cho  là hình phẳng giới hạn bởi parabol , cung tròn có phương trình  (với  ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích của ?

Câu 4: Kí hiệu  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  trục tung và trục hoành. Tính thể tích  của khối tròn xoay thu được khi quay hình  xung quanh trục .

III. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM VÀ TỰ LUẬN

Phần trắc nghiệm

Phần tự luận

Câu 1:

1. a) .
2. b) Ta có .

Đặt .

---------Còn tiếp ------------