Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12

Dạng 1. Xét tính đồng biến, nghịch biến, hàm hằng.

Phương pháp giải: 

- Tìm tập xác định.

- Tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm, lập bảng biến thiên.

- Kết luận

Bài 1. Xét chiều biến thiên của hàm số:

a)                                            b)

c)                                   d)

Gợi ý lời giải:

a) Tập xác định: . Ta có:

Cho

Bảng biến thiên: 

Vậy hàm số nghịch biến trên , đồng biến trên .

b) Tập xác định: . Ta có:  với mọi

. Vậy hàm số đồng biến trên .

c) Tập xác định: . Ta có:

Cho

Bảng biến thiên:

	0                     0

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  và , nghịch biến trên khoảng .

d) Tập xác định: . Ta có:

Vì  nên  với mọi  do đó hàm số nghịch biến trên .

Bài 2. Xét chiều biến thiên của hàm số:

a)                b)                      c)                d)

Gợi ý lời giải:

a) Tập xác định: .

Ta có:

Bảng biến thiên: 

	0                   ||

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  và , nghịch biến trên mỗi khoảng  và .

b) Tập xác định: .

Ta có:  với mọi  nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  và .

c) Tập xác định: .

Ta có:  với mọi  nên hàm số nghịch biến trong các khoảng  và .

d) Tập xác định: .

Ta có:

trên khoảng  nên  nghịch biến trên khoảng .

trên khoảng  nên  đồng biến trên khoảng .

Bài 3. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:

a)                                                      b)  

Gợi ý lời giải:

a) Tập xác định: . Ta có:

Bảng biến thiên:

	0                     0

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  và nghịch biến trên các khoảng  và .

b) Tập xác định: . Ta có: .

Do đó  trên các khoảng  và  nên hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng đó.

Bài 4. Xét sự biến thiên của hàm số:

a)                                            b)

c)                                               d)

Gợi ý lời giải:

a) Tập xác định:

Với  thì .

Bảng biến thiên: 

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  và nghịch biến trên khoảng .

Do hàm số  liên tục trên đoạn  nên hàm số đồng biến trên đoạn  và nghịch biến trên đoạn .

b) Tập xác định: .

Ta có:

nên hàm số nghịch biến trên khoảng  và đồng biến trên khoảng .

c) Tập xác định: .

Ta có:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .

d) Tập xác định: .

Với

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên  và nghịch biến trên .

Bài 5. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

a)                                            b)

c)                                                 d)

Gợi ý lời giải:

a) Tập xác định: . Với , ta có:

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng  và đồng biến trên khoảng .

b) Tập xác định: .

Với , ta có:

hoặc .

.

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng  và , nghịch biến trên khoảng .

c) Tập xác định: .

Ta có:

Bảng biến thiên:

	||             ||

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng  và , nghịch biến trên các khoảng  và .

d) Tập xác định: .

Ta có:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .

Bài 6. Xét sự biến thiên của hàm số:

a)                                            b)

Gợi ý lời giải:

a) Tập xác định: .

Ta có:  nên hàm số nghịch biến trên .

b) Tập xác định: .

Ta có:

Hàm số liên tục trên mỗi đoạn  nên đồng biến trên mỗi đoạn .

Vậy hàm số đồng biến trên .

Bài 7. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a)  trên                  b) trên .

Gợi ý lời giải:

a) . Ta có:  và

hoặc . Vì hàm số liên tục trên đoạn  nên hàm số đồng biến trên đoạn .

b) . Trên khoảng

hoặc

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên mỗi khoảng  và .

Bài 8. Chứng minh các hàm số sau nghịch biến trên .

a)                         b)

Gợi ý lời giải:

a) Ta có:

Vì  nên  do đó hàm số  nghịch biến trên .

b)  với mọi .

.

Hàm số liên tục trên mỗi đoạn và  trên mỗi khoảng  nên hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn .

Vậy hàm số nghịch biến trên .

Bài 9. Chứng minh:

a)                         b) .

Gợi ý lời giải:

a) Xét

Có

Do đó  là hàm hằng trên  nên

b) Xét

Có

                 với mọi

Suy ra hàm số  là một hàm hằng trên khoảng .

Do đó  với mọi .

Bài 10. Chứng minh các hàm số sau là hàm không đổi

a)                        

b) .

Gợi ý lời giải:

a)

, với mọi .

Do đó  là hàm hằng trên  nên

b) Đạo hàm theo biến  ( là hằng số).

.

.

Do đó  là hàm hằng trên  nên

Bài 11. Tìm các giá trị của  để hàm số đồng biến trên

a)                        

b)

Gợi ý lời giải:

a)

- Nếu  hay  thì  với mọi  nên hàm số đồng biến trên .

- Nếu  thì  với mọi  nên hàm số đồng biến trên .

- Nếu  thì  với mọi  nên hàm số đồng biến trên .

- Nếu  hoặc  thì  có hai nghiệm phân biệt nên  có đổi dấu. (Loại).

Vậy hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi .

b) .

Xét  thì  có đổi dấu. (Loại)

Xét , vì  không phải là hàm hằng ( tối đa 2 điểm) nên điều kiện hàm số đồng biến trên  là

Bài 12. Tìm các giá trị của  để hàm số nghịch biến trên

a)                        

b)

Gợi ý lời giải:

a)

- Nếu  thì  với mọi  nên  nghịch biến trên .

- Nếu  thì  với mọi , đẳng thức chỉ xảy ra với  nên hàm số nghịch biến trên .

- Nếu  thì

Bảng biến thiên:

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng : loại

Vậy hàm số nghịch biến trên  khi và chỉ khi .

b) Vì  không là hàm hằng với mọi  và  nên  nghịch biến trên  . 

Bài 13. Tìm các giá trị của  để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định:

a)                        

b)

Gợi ý lời giải:

a) Tập xác định: . Ta có:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định  hoặc .

b) Ta có:  với mọi

- Nếu  thì  với mọi . Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  và .

- Nếu  thì

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  và : Loại

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi và chỉ khi .

Bài 14. Tìm  để hàm số:

a)  nghịch biến trên khoảng .                       

b)  đồng biến trên khoảng .

Gợi ý lời giải:

a)

Hàm số nghịch biến trên khoảng  khi và chỉ khi  với mọi .

b) . Ta có

hoặc .

Vì  ở ngoài khoảng nghiệm nên hàm số đồng biến với mọi  khi và chỉ khi

Bài 15. Tìm  để hàm số  chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3.

Gợi ý lời giải:

Tập xác định:

Có

Xét  thì : hàm số luôn đồng biến (loại).

Xét  thì  có 2 nghiệm  nên

Bảng biến thiên:

Theo đề bài:

 (thỏa mãn)

Dạng 2. Ứng dụng tính đơn điệu vào giải phương trình, bất phương trình,..

Phương pháp giải: 

- Xét  là hàm số vế trái, nếu cần thì biến đổi, chọn xét hàm, đặt ẩn phụ,…Tính đạo hàm rồi xét tính đơn điệu.

Nếu hàm số  đơn điệu trên  thì phương trình có tối đa 1 nghiệm. Nếu thuộc  thì  là nghiệm duy nhất của phương trình .

Nếu  có đạo hàm cấp 2 không đổi dấu thì  là hàm đơn đệu nên phương trình  có tối đa 2 nghiệm. Nếu  và  với  thì phương trình  chỉ có 2 nghiệm là  và .

Bài 1. Giải phương trình:

Gợi ý lời giải:

Đặt  thì phương trình trở thành:

Xét hàm số

Với thì  nên  đồng biến trên .

Ta có:  nên phương trình:

Bài 2. Giải phương trình:

Gợi ý lời giải:

Điều kiện xác định:

Phương trình tương đương:

Xét hàm số

Ta có:  nên  đồng biến mà , do đó phương trình trở thành

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

Bài 3. Giải phương trình:

Gợi ý lời giải:

Điều kiện:

Ta có:

Chia 2 vế cho  thì phương trình:

Xét  thì

Do đó hàm số  nghịch biến trên khoảng  mà  nên phương trình có nghiệm duy nhất .

Bài 4. Giải phương trình:

Gợi ý lời giải:

Điều kiện: . 

Phương trình trở thành:

Xét  với

Ta có:  nên hàm số đồng biến trên

Phương trình:

hoặc

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là .

Bài 5. Giải bất phương trình:

Gợi ý lời giải:

Bất phương trình trở thành:

Xét hàm số

Ta có:  nên  đồng biến trên .

Khi đó:

Xét  thì bất phương trình nghiệm đúng.

Xét  thì  nên bất phương trình trở thành:  (đúng)

Vậy tập nghiệm là .

Bài 6. Giải bất phương trình:

Gợi ý lời giải:

Điều kiện:

Bất phương trình viết lại:

Xét  là hàm số vế trái, . Ta có:

nên hàm số  đồng biến trên .

Ta có:  nên bất phương trình:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .

Bài 7. Giải bất phương trình: 

Gợi ý lời giải:

Điều kiện: . Đặt  thì

Ta có:  nên hàm số  đồng biến, mà

Mặt khác  nên dấu “=” đồng thời xảy ra .

Bài 8. Giải hệ phương trình:

Gợi ý lời giải:

Xét hàm số  thì

Nên  đồng biến trên .

Ta có hệ phương trình:

Giả sử  thì  nên  do đó  tức là : Vô lý

Giả sử  thì  nên  do đó  tức là : Vô lý

Giả sử  thì  nên  do đó . Thế vào hệ:

Thử lại  thì hệ nghiệm đúng.

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm .

Bài 9. Giải hệ phương trình:

Gợi ý lời giải:

Ta có:

Tương tự . Đặt  thì  nên  đồng biến trên .

Ta có hệ:

Giả sử  thì  nên .

Do đó : Vô lý.

Tương tự : vô lý nên

Ta có:

Vậy hệ có nghiệm duy nhất .

Bài 10. Giải hệ phương trình:

Gợi ý lời giải:

Ta có: . Tương tự

Đặt  thì  nên  đồng biến trên  và nghịch biến trên . Đặt  thì  nên  đồng biến trên . Ta có hệ:

Giả sử . Xét

- Nếu  thì  nên .

Ta có phương trình:  nên chọn nghiệm

- Nếu  thì  nên .

Do đó

nên .

Ta có phương trình  nên chọn nghiệm:

Xét  thì cùng nhận được kết quả trên.

Vậy hệ có 2 nghiệm .

Bài 11. Giải hệ phương trình:

Gợi ý lời giải:

Điều kiện: . Hệ phương trình tương đương với:

Xét hàm số , với .

Ta có:  với mọi  nên  đồng biến trên .

Phương trình (1) có dạng  nên , thay vào (2) ta được

Vậy nghiệm của phương trình là .

Bài 12. Giải hệ bất phương trình:

Gợi ý lời giải:

Ta có (1)

Xét (2): Đặt

nên  đồng biến:

Do đó

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là .

Bài 13. Chứng minh rằng phương trình  có một nghiệm duy nhất.

Gợi ý lời giải:

Hàm  là hàm số liên tục và có đạo hàm trên .

Vì  nên tồn tại một số  sao cho , tức là phương trình  có nghiệm.

Mặt khác, ta có  nên hàm số đã cho luôn đồng biến.

Vậy phương trình đó chỉ có một nghiệm duy nhất.

Bài 14. Tìm số nghiệm của phương trình:

Gợi ý lời giải:

Phương trình tương đương:

Xét phương trình:

Do đó

Do đó nghiệm của phương trình  nếu có thì .

Đặt

Do đó  đồng biến. Vì  và  nên  có nghiệm duy nhất .

Vậy phương trình có đúng 2 nghiệm.

Dạng 3. Ứng dụng tính đơn điệu vào chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp giải: 

Nếu  có  thì  đồng biến:

Đối với  thì ta có bất đẳng thức ngược lại.

Việc xét dấu  đôi khi phải cần đến  hoặc xét dấu bộ phận, chẳng hạn tử số của một phân số có mẫu dương,…

Nếu  thì  đồng biến từ đó ta có đánh giá  rồi ,…

Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) với mọi  với mọi .

b)  với mọi .

Gợi ý lời giải:

a) Với  thì  nên

Với  thì hàm số  liên tục trên nửa khoảng  và  với mọi . Do đó hàm số đồng biến trên  nên  với mọi .

Với , giải tương tự thì

Với  thì  nên  (Đpcm)

b) Với  thì hàm số  liên tục trên nửa khoảng  và . Theo a) thì  với mọi .

Do đó hàm số  đồng biến trên  nên  với mọi

với mọi

Suy ra với mọi  ta có

Bài 2. Chứng minh:

Gợi ý lời giải:

Bất đẳng thức trở thành:

Xét thì  liên tục trên

nên  nghịch biến trên :

nên  nghịch biến trên :

nên  nghịch biến trên :

đpcm.

Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức với mọi

a)                                                b)

c)                                  d)

Gợi ý lời giải:

a) Hàm số  liên tục trên nửa khoảng  và có đạo hàm  với mọi . Do đó hàm số  đồng biến trên nửa khoảng  nên  với mọi .

b) Hàm số  liên tục trên nửa khoảng  và có đạo hàm  với mọi . (Suy ra từ a)

Do đó, hàm số f đồng biến trên nửa khoảng  và ta có  với mọi  (đpcm).

c) Hàm số  liên tục trên nửa khoảng  và có đạo hàm

Do đó hàm số f đồng biến trên  nên

Kết quả: Tam giác  có 3 góc nhọn thì .

d) Hàm số  liên tục trên nửa khoảng  và

Do đó hàm số f đồng biến trên  nên .

Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức:

a)                                                

b)

Gợi ý lời giải:

a) Xét hàm số .

hoặc . Với  ta có  và dấu bằng chỉ xảy ra tại hai điểm. Vậy  đồng biến trên nửa khoảng  nên  với mọi  đpcm.

b) Nếu  thì bất đẳng thức đúng.

Nếu  thì bất đẳng thức tương đương:

Xét

Vì  nên  do đó  nên f đồng biến trên , suy ra  đpcm 

Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức:

a)  với                                                

b)  với  và

Gợi ý lời giải:

a)

Xét

Xét .  nên  đồng biến: . Do đó  nên f đồng biến trên . Vì  đpcm.

b) Xét hàm số:  với

Ta có:

Nếu  thì do

Nếu  thì  và

Nếu  thì do .

Do đó  nên f là hàm số nghịch biến trên khoảng .

Từ giả thiết có

Do  và  nên từ đó có 

  đpcm (vì  và ).

Bài 6. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)  với 4 số  dương.                                               

b) , với .

Gợi ý lời giải:

a) Không mất tính tổng quát, giả sử

Xem vế trái là hàm số

nên  đồng biến trên

. Vì  nên  đồng biến trên  đpcm.

b) Xét hàm số  trên . Ta có:

với  nên  đồng biến trên nửa khoảng . Do đó  với mọi .

Xét hàm số  trên .

Ta có:  nên  đồng biến trên , do đó . Suy ra  đồng biến trên  nên  với mọi  đpcm.

Bài 7. Cho  và . Chứng minh:

Gợi ý lời giải:

Giả sử  là số bé nhất thì . Ta có:

Và ta có

Xét  thì  trên  đồng biến trên , do đó .