Người ta muốn sản xuất một chi tiết máy được cắt ra từ một ống trụ thép gia công cơ khí chính xác (Hình 1). Để làm chi tiết máy đó, người ta cần xác định phương trình của mặt cắt trong một hệ tọa độ thích hợp và đưa những dữ liệu đó vào hệ thống máy tính điều khiển các máy gia công cơ khí kĩ thuật số.

Trong không gian với hệ tọa độ , phương trình của mặt phẳng là gì?

Làm thế nào để lập được phương trình của mặt phẳng?

CHƯƠNG V: PHƯƠNG TRÌNH

MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG,

MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

NỘI DUNG BÀI HỌC

I. Vectơ pháp tuyến. Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

III. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng biết một số điều kiện

IV. Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng

V. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

VI. Một số ứng dụng của phương trình mặt phẳng trong thực tiễn

I. VECTƠ PHÁP TUYẾN. CẶP VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA MẶT PHẲNG

1. Vectơ pháp tuyến

HĐ1

Cho hình hộp chữ nhật (Hình 2). Giá của vectơ có vuông góc với mặt phẳng hay không?

Giải:

Giá của vectơ là đường thẳng .

Vì là hình hộp chữ nhật nên .

Vậy giá của vectơ vuông góc với mặt phẳng

Khái niệm

Cho mặt phẳng . Nếu vectơ khác và có giá vuông góc với mặt phẳng thì được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Ở hình 3, vectơ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Nhận xét:

Nếu là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Giải:

Vectơ có giá là trục và nên là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

LUYỆN TẬP 1

Trong không gian với hệ toạ độ , hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của:

a) Mặt phẳng b) Mặt phẳng

Giải:

a) Vectơ có giá là trục và nên là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

b) Vectơ có giá là trục và nên là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

2. Cặp vectơ chỉ phương

HĐ2

Cho hình hộp . Cho biết hai vecto có cùng phương hay không. Nhận xét về vị trí tương đối giữa giá của mỗi vectơ và mặt phẳng (Hình 5).

Giải:

Vì là hình hộp nên hai đường thẳng và chéo nhau. Do đó, hai vectơ không cùng phương.
Vì nên giá của vectơ nằm trong mặt phẳng .
Vì nên giá của vectơ song song mặt phẳng .

Kết luận

Cho mặt phẳng . Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Ví dụ 2: Quan sát Hình 5.

a) có là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng hay không? Vì sao?

b) có là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng hay không? Vì sao?

Giải:

a) Do hai vectơ không cùng phương và có giá cùng nằm trong mặt phẳng nên là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

b) Do hai vectơ không cùng phương và có giá cùng song song với mặt phẳng nên là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

LUYỆN TẬP 2

Trong không gian với hệ toạ độ , hãy chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương của mỗi mặt phẳng

Giải:

Do hai vectơ không cùng phương và có giá cùng nằm trong mặt phẳng nên là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng .
Do hai vectơ không cùng phương và có giá cùng nằm trong mặt phẳng nên là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng .
Do hai vectơ không cùng phương và có giá cùng nằm trong mặt phẳng nên là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng .

3. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết cặp vectơ chỉ phương

------------------------- Còn tiếp -------------------------

CHÀO MỪNG CÁC EM QUAY LẠI VỚI MÔN HỌC!

KHỞI ĐỘNG

Một lớp học có 17 học sinh nữ và 13 học sinh nam. Ở lớp học đó, có 3 học sinh tên là Thanh , trong đó có 1 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên một học sinh lên bảng. Xét hai biến cố sau:

A: “Học sinh được gọi lên bảng có tên là Thanh”.

B: “Học sinh được gọi lên bảng là học sinh nữ”

Xác suất của biến có A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính như thế nào?

CHƯƠNG VI: MỘT SỐ YẾU TỐ XÁC SUẤT

BÀI 1: XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

NỘI DUNG BÀI HỌC

I. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

HĐ1.

Trong bài toán ở phần mở đầu, hãy tính:

a) Xác suất để học sinh được gọi lên bảng có tên là Thanh, biết rằng học sinh đó là nữ;

Giải

a) Số cách chọn 1 học sinh nữ là 17. Vì chỉ có 1 bạn nữ tên là Thanh nên

b) Do số cách chọn ngẫu nhiên 1 bạn là 30 và có 17 bạn nữ nên:

Biến cố : “Học sinh được gọi lên bảng có tên Thanh và là học sinh nữ”.

Do số cách chọn ngẫu nhiên 1 bạn là 30 và chỉ có 1 bạn nữ tên Thanh nên

KẾT LUẬN

Cho hai biến cố và . Xác suất của biến cố với điều kiện biến cố đã xảy ra được gọi là xác suất của với điều kiện , kí hiệu là .

Nhận xét:

Từ định nghĩa của xác suất có điều kiện, ta suy ra: Nếu thì

Người ta chứng minh được rằng: Nếu là hai biến cố bất kì thì

Công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất.

Ví dụ 1: Cho hai biến cố có ;; Tính các xác suất sau:

Giải

Ví dụ 2:Trong kì kiểm tra môn Toán của một trường trung học phổ thông có 200 học sinh tham gia, trong đó có 95 học sinh nam và 105 học sinh nữ. Khi công bố kết quả của kì kiểm tra đó, có 50 học sinh đạt điểm giỏi, trong đó có 24 học sinh nam và 26 học sinh nữ. Chọn ra ngẫu nhiên một học sinh trong số 200 học sinh đó. Tính xác suất để học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi, biết rằng học sinh đó là nữ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Giải

Xét hai biến cố sau: : “Học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi”;

: “Học sinh được chọn ra là học sinh nữ”.

Khi đó, xác suất để học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi, biết rằng học sinh đó là nữ, chính là xác suất của với điều kiện .

Vậy xác suất để học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi, biết rằng học sinh đó là nữ, là 0,25.

Nhận xét:

Luyện tập 1. Một hộp có 6 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng trong hộp, lấy không hoàn lại. Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ, biết rằng lần thứ nhất đã lấy được quả bóng màu xanh.

Giải

Xét hai biến cố sau:

: “Lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ”;

: “Lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh”.

Xác suất để chọn được 1 quả bóng màu xanh ở lần thứ nhất là:

Biến cố : “Lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh và lần thứ hai lất được quả bóng màu đỏ”.

Ví dụ 3:Trong 10 000 áo sơ mi xuất khẩu của một doanh nghiệp dệt may có 1 000 áo sơ mi trắng. Các áo sơ mi trắng đó gồm ba cỡ: 40, 41, 42, trong đó có 200 áo cỡ 40. Chọn ra ngẫu nhiên một chiếc áo trong 10 000 áo sơ mi xuất khẩu. Giả sử chiếc áo sơ mi được chọn ra là áo sơ mi trắng. Tính xác suất để chiếc áo sơ mi đó có cỡ 40.

Giải

Xét hai biến cố sau: : “Áo được chọn ra có cỡ 40” ;

: “Áo được chọn ra là áo sơ mi trắng”.

Khi đó, xác suất để chiếc áo sơ mi được chọn ra có cỡ 40, biết rằng chiếc áo sơ mi đó là áo sơ mi trắng, chính là xác suất có điều kiện .

Vậy xác suất để chiếc áo sơ mi được chọn ra có cỡ 40, biết rằng chiếc áo sơ mi đó là áo sơ mi trắng, là 0,2.

Luyện tập 2. Trong hộp đựng 500 chiếc thẻ cùng loại có 200 chiếc thẻ màu vàng. Trên mỗi chiếc thẻ màu vàng có ghi một trong nămsố: 1, 2, 3, 4, 5. Có 40 chiếc thẻ màu vàng ghi số 5. Chọn ra ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp đựng thẻ. Giả sử chiếc thẻ được chọn ra có màu vàng. Tính xác suất để chiếc thẻ đó ghi số 5.

------------------------- Còn tiếp -------------------------

II. BÀI TẬP TỰ LUẬN KÌ 2 TOÁN 12 CÁNH DIỀU

BÀI 3: TÍCH PHÂN

(20 câu)

1. NHẬN BIẾT (4 câu)

Câu 1: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên R và . Tính giá trị của .

Trả lời:

Ta có:

Câu 2: Nếu hàm số thoả mãn và thì giá trị của bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Ta có:

Suy ra:

Câu 3: Cho , . Tính

Trả lời:

Ta có:

Câu 4: Cho hàm số liên tục trên R, biết . Tính giá trị của .

Trả lời:

Ta có:

Lại có

Suy ra

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Câu 1: Tính:

Trả lời:

Câu 2: Tính:

Trả lời:

Câu 3: Tính:

Trả lời:

Câu 4: Tính:

Trả lời:

a) Ta có: hoặc

Do đó

Lại có:

Vậy

Ta có:

Lại có

Vậy

Ta có:

Lại có

Vậy

Suy ra

Câu 5: Cho là hai hàm số liên tục trên thoả mãn và . Tính .

Trả lời:

Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta được: ,

------------------------- Còn tiếp -------------------------

BÀI 2. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN. CÔNG THỨC BAYES

(19 câu)

3. VẬN DỤNG (8 câu)

Câu 1: Tại một địa phương có 500 người cao tuổi, bao gồm 260 nam và 240 nữ. Trong nhóm người cao tuổi nam và nữ lần lượt có 40% và 55% bị bệnh tiểu đường. Chọn ngẫu nhiên một người. Xác suất để chọn được một người không bị bệnh tiểu đường là bao nhiêu?

Trả lời:

Xét các biến cố:

: “Chọn được người không bị bệnh tiểu đường”;

: “Chọn được người cao tuổi là nam”;

: “Chọn được người cao tuổi là nữ”.

Từ giả thiết, ta có:

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

Vậy xác suất để chọn được một người không bị bệnh tiểu đường là .

Câu 2: Năm 2001, Cộng đồng châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bị bệnh bò điên. Không có xét nghiệm nào cho kết quả chính xác 100%. Một loại xét nghiệm, mà ở đây ta gọi là xét nghiệm A, cho kết quả như sau: Khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là 70%, còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là 10%. Biết rằng tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 13 con trên 1 000 000 con (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics – Understanding why and how, Springer, 2005). Hỏi khi một con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A thì xác suất để nó bị mắc bệnh bò điên là bao nhiêu?

Trả lời:

Xét các biến cố

M: “Con bò ở Hà Lan bị bệnh bò điên”;

D: “Con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A”.

Theo giả thiết, ta có:

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

Theo công thức Bayes, ta có:

Vậy khi một con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A thì xác suất để nó bị mắc bệnh bò điên là .

Câu 3: Một xí nghiệp mỗi ngày sản xuất ra 1 600 sản phẩm, trong đó có 35 sản phẩm lỗi. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên 2 sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra. Tính xác suất của các biến cố:

A: “Sản phẩm lấy ra lần thứ hai không bị lỗi, biết sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi”;

B: “Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi, biết sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi”;

C: “Sản phẩm lấy ra lần thứ hai không bị lỗi, biết sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi”;

D: “Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi, biết sản phẩm lấy ra lần thứ nhất bị lỗi”; E: “Sản phẩm lấy ra lần thứ hai bị lỗi”.

Trả lời:

Xét các biến cố:

M: “Sản phẩm lấy ra lần thứ nhất không bị lỗi”;

N: “Sản phẩm lấy ra lần thứ hai không bị lỗi”.

Khi đó, .

Sau khi lấy một sản phẩm không bị lỗi thì số sản phẩm còn lại 1599, số sản phẩm lỗi là 35 nên xác suất của biến cố A là:

Xác suất của biến cố B là:

Sau khi lấy một sản phẩm bị lỗi thì số sản phẩm còn lại 1599, số sản phẩm lỗi là 34 nên xác suất của biến cố C là:

xác suất của biến cố D là

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất của biến cố E là:

Câu 4: Thực hiện khảo sát tại một địa phương mà số trẻ em nam gấp 1,5 lần số trẻ em nữ, có 8% số trẻ em nam bị hen phế quản, 5% số trẻ em nữ bị hen phế quản. Chọn ngẫu nhiên 1 trẻ em. Giả sử trẻ em được chọn bị hen phế quản. Xác suất chọn được trẻ em nam là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Trả lời:

Xét các biến cố:

A: “Chọn được trẻ em nam”;

B: “Chọn được trẻ em bị hen phế quản”.

Khi đó,

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

Theo công thức Bayes, xác suất chọn được trẻ em nam, biết trẻ em đó bị hen phế quản là:

Câu 5: Trường Bình Phúc có 20% học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc, trong số học sinh đó có 85% học sinh biết chơi đàn guitar. Ngoài ra, có 10% số học sinh không tham gia câu lạc bộ âm nhạc cũng biết chơi đàn guitar. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. Giả sử học sinh đó biết chơi đàn guitar. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc là bao nhiêu?

Trả lời:

Xét các biến cố:

A: “Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc”;

B: “Chọn được học sinh biết chơi đàn guitar”.

Khi đó,