Giáo án NLS chuyên đề Toán 10 Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV chia lớp thành các nhóm 3 – 4 HS, yêu cầu các nhóm thảo luận thực hiện HĐ1.

Hãy quan sát các đẳng thức sau:

Có nhận xét gì về các số ở vế trái và ở vế phải của các đẳng thức trên? Từ đó hãy dự đoán công thức tính tổng của n số lẻ đầu tiên 

.

- GV yêu cầu HS nhắc lại khái niệm số nguyên tố sau đó tiếp tục cho HS làm việc nhóm thực hiện HĐ2.

Xét đa thức

a) Hãy tính , , , , và chứng tỏ rằng các kết quả nhận được đều là số nguyên tố.

b) Hãy đưa ra một dự đoán cho trong trường hợp tổng quát.

- GV nhận xét: Nếu HS dự đoán “Với mọi số tự nhiên , là một số nguyên tố” thì dự đoán này sai (sai khi ), do đó dẫn đến nhu cầu phải chứng minh mệnh đề về mặt toán học, dù đã kiểm nghiệm với bao nhiêu cụ thể đi chăng nữa.

GV giới thiệu phương pháp quy nạp toán học.

- GV giao nhiệm vụ cho HS: 

Sử dụng công cụ số (máy tìm kiếm hoặc Chatbot AI) tìm hiểu:

+ Hiệu ứng domino là gì?

+ Một số ví dụ của hiệu ứng domino trong thực tiễn.

- GV cho HS xem video về hiệu ứng domino https://acesse.one/fijrlog, từ đó rút ra bản chất của phương pháp quy nạp toán học (hoặc sử dụng Chatbot AI để tìm hiểu).

Phương pháp quy nạp toán học đôi khi được minh hoạ mô phỏng gắn liền với tác dụng tuần tự của hiệu ứng domino: Nếu

• Quân domino đầu tiên bị đổ;
• Mỗi quân domino đổ kéo theo quân domino kế tiếp bị đổ;

thì tất cả các quân domino sẽ bị đổ.

Bản chất của phương pháp quy nạp toán học là chứng minh một mệnh đề đúng với vô hạn các số tự nhiên bằng cách kiểm tra bước khởi đầu và chứng minh tính lan truyền từ số này sang số tiếp theo giống như hiệu ứng của các quân cờ domino.

- Dựa vào phần  Nhận xét SGK tr.26, GV yêu cầu HS mô tả các bước chứng minh tính đúng đắn của mệnh đề toán học bằng phương pháp quy nạp toán học.

- GV chốt kiến thức.

- GV lưu ý HS: Phương pháp quy nạp toán học gồm hai bước. Khi cả hai bước này là đúng thì ta mới kết luận được mệnh đề là đúng.

- GV yêu cầu HS đọc và trình bày lại Ví dụ 1 để rèn luyện cách trình bày hai bước cơ bản của phương pháp quy nạp toán học.

- HS thực hiện cá nhân Luyện tập 1.

- GV chữa Luyện tập 1 và giải thích nguyên lí quy nạp suy rộng thông qua phần Chú ý.

- GV yêu cầu HS đọc và trình bày lại Ví dụ 2 để củng cố nguyên lí quy nạp suy rộng.

- HS thực hiện cá nhân Luyện tập 2.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu.

- HS tương tác với công cụ số để hoàn thành nhiệm vụ học tập.

- GV quan sát hỗ trợ. 

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày.

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.  

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Phương pháp quy nạp toán học

HĐ1:

Vế trái là tổng của các số lẻ, vế phải là một số chính phương (hay bình phương của một số tự nhiên).

Dự đoán công thức tính tổng của số lẻ đầu tiên: .

HĐ2:

a) , , , . Các số đó chỉ có hai ước là 1 và chính nó nên đều là số nguyên tố.

b) HS có thể dự đoán như sau: Với mọi số tự nhiên , là một số nguyên tố.

Chú ý. Khẳng định là số nguyên tố với mọi số tự nhiên là một khẳng định sai. Mặc dù khẳng định này đúng với , ,..., , nhưng nó lại sai khi  . Thật vậy, với ta có là hợp số (vì nó chia hết cho 41).

Nhận xét. Để khẳng định một mệnh đề toán học phụ thuộc số tự nhiên là đúng, ta cần phải chứng minh dù đã kiểm nghiệm nó với bao nhiêu giá trị đi nữa.

Để chứng minh tính đúng đắn của những mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên ∈ , ta không thể thử trực tiếp với mọi số tự nhiên ∈ . Tuy nhiên, ta có thể tiến hành như sau:

1. Trước hết ta kiểm tra rằng mệnh đề là đúng với .
2. Ta chứng minh rằng: từ giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên suy ra nó cũng đúng với .

Như thế mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên ∈ .

Phương pháp lập luận trên đây gọi là phương pháp quy nạp toán học (thường gọi tắt là phương pháp quy nạp).

Ví dụ 1 (SGK tr.27)

Hướng dẫn giải (SGK tr.27)

Luyện tập 1 (SGK tr.27)

Bước 1. Với , ta có:

Như vậy công thức ở trên đúng cho trường hợp .

Bước 2. Giả sử công thức trên đúng với , tức là ta có:

Ta sẽ chứng minh rằng công thức trên cũng đúng với , nghĩa là chứng minh:

Ta có:

Vậy công thức đúng với mọi số tự nhiên .

Chú ý. Nếu phải chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên ( là một số tự nhiên nào đó) thì:

• Bước 1. Kiểm tra mệnh đề là đúng với .
• Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên  và chứng minh mệnh đề đúng với . Kết luận.

Ví dụ 2 (SGK tr.27)

Hướng dẫn giải (SGK tr.27 – 28)

Luyện tập 2 (SGK tr.28)

Bước 1. Với , ta có:

Như vậy đẳng thức đúng với .

Bước 2. Giả sử đẳng thức đã cho đúng với , tức là:

Cần chứng minh đẳng thức đó đúng với , tức là:

Xét VP:

(giả thiết quy nạp)

VT

Vậy đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên . 

- 5.2.NC1b: HS sử dụng YouTube để xem video.

- 1.1.NC1a: HS khai thác được thông tin về hiệu ứng domino từ video do GV cung cấp.

- 1.1.NC1b: HS áp dụng kỹ thuật tìm kiếm trên môi trường số để tìm hiểu về hiệu ứng domino và một số ví dụ trong thực tế.

- 10.C2.3: HS sử dụng Chatbot AI để giải thích về bản chất của phương pháp quy nạp toán học.

- Hiệu ứng domino là một phản ứng chuỗi xảy ra khi một thay đổi hoặc tác động nhỏ ban đầu tại điểm xuất phát làm lật đổ hoặc gây ra hàng loạt các sự kiện tương tự tiếp theo.

- Ví dụ của hiệu ứng domino:

+ Kinh tế và Tài chính:

• Ngân hàng phá sản: Một ngân hàng lớn mất khả năng thanh khoản Người gửi tiền hoảng loạn rút tiền ồ ạt Các ngân hàng khác mất niềm tin, đóng băng cho vay Gây khủng hoảng tài chính toàn hệ thống.
• Chuỗi cung ứng đứt gãy: Một nhà máy linh kiện nhỏ đóng cửa Thiếu hụt nguyên liệu cho nhà máy lắp ráp lớn Đình trệ việc giao sản phẩm hoàn thiện ra thị trường.

+ Đời sống cá nhân và thói quen:

• Thay đổi lối sống: Bạn quyết định tập thể dục 15 phút mỗi sáng Cơ thể khỏe khoắn hơn Tự động ăn uống lành mạnh hơn Ngủ sớm hơn và tinh thần làm việc hiệu quả hơn suốt cả ngày.
• Thức khuya: Tối lướt điện thoại muộn Sáng hôm sau dậy muộn Bỏ bữa sáng và vội vã đi làm Cả ngày mệt mỏi, cáu gắt và giảm năng suất công việc.

+ Xã hội và Truyền thông:

• Mạng xã hội: Một người đăng tải bài viết bóc phốt hoặc khen ngợi một dịch vụ Hàng nghìn người vào bình luận, chia sẻ Truyền thông chính thống vào cuộc Thương hiệu đó hoặc phải xin lỗi bồi thường, hoặc đột ngột đắt khách.