Nội dung chính Toán 10 Kết nối tri thức Chương 4 Bài 9: Tích của một vectơ với một số

CHƯƠNG IV: VECTƠ

BÀI 9. TÍCH CỦA MỘT SỐ VECTƠ VỚI MỘT SỐ

1. TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ

HĐ1:

1. a) Theo quy tắc ba điểm,

a+a=AB+BC=AC

Do đó hai vectơ và AC bằng nhau.

Vectơ a+a cùng hướng với vectơ AB, có độ dài gấp hai lần độ dài của vectơ AB.

1. b) Vì AB=a và BC=a nên B là trung điểm của AC. Do đó vectơ a+a=AC cùng hướng với vectơ a=AB và độ dài của a+a gấp đôi độ dài của a.

Định nghĩa:

Tích của một vectơ a0 với một số thực k>0 là một vectơ, kí hiệu là ka, cùng hướng với vectơ a và có độ dài bằng k|a|.

Câu hỏi:

1a=a

HĐ2: 

+) OM và a cùng hướng, ON và a ngược hướng.

+) OM=2a

ON=2a

+ OM=2.a

Định nghĩa:

Tích của một vectơ a0 với một số thực k<0 là một vectơ, kí hiệu là ka, ngược hướng với vectơ a và có độ dài bằng (-k)|a|.

Chú ý:

Ta quy ước ka=0 nếu a=0 hoặc k = 0.

Nhận xét: 

Vectơ ka có độ dài bằng |k||a| và cùng hướng với a nếu k≥0, ngược hướng với a nếu a0 và k<0.

Câu hỏi:

-a=(-1)a

Ví dụ 1 (SGK -tr 56)

Chú ý:

Hai vectơ a và b (b0) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k để a=kb.

Luyện tập 1:

Khẳng định đúng: a, c.

Khẳng định sai: b.

2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ 

HĐ3:  

Mệnh đề đúng: a, b, c, d.

HĐ4: 

3(u+v)=3OM, 3u+3v=OC.

Do hai vectơ OC,OM cùng hướng và OC = 3OM nên OC=3OM.

Do đó 3(u+v) =

Tính chất:

Với hai vectơ a,b và hai số thực k, t, ta luôn có:

• -kta=kta;

• k+ta=ka+ta

• ka+b=ka+kb;

ka-b=ka-kb

• 1a=a;-1a=-a

Ví dụ 2 (SGK – tr57)

Luyện tập 2:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có: GA+GB+GC=0

OA-OG+OB-OG+OC-OG=0

Vậy OA+OB+OC=3OG

Nhận xét:

- Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA+IB=0

- Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB, với điểm O tùy ý, ta có: OA+OB=2OI.

- Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA+GB+GC=0.

- Điểm G là trọng tâm tam giác ABC, với điểm O tùy ý, ta có: OA+OB+OC=3OG

Luyện tập 3:

u=a+2b; v=-2a+3b

Chú ý:

Cho hai vectơ không cùng phương a và b. Khi đó, mọi vectơ u đều biểu thị (phân tích) được một cách duy nhất theo hai vectơ a,b, nghĩa là có duy nhất cặp số (x; y) sao cho u=xa+yb.

Ví dụ 3 (SGK – tr58)

Nhận xét:

Ta trở lại vấn đề đã được nêu trong phần đầu bài học. Điểm khối tâm M của hệ các chất điểm A1,A2,…,An với các khối lượng tương ứng m1,m2,…,mn được xác địinh bởi đẳng thức vectơ

m1MA1+m2MA2+⋯+mnMAn=0.

Vì vậy, việc xác định điểm khối tâm được quy về việc xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ tương ứng.