Nội dung chính Toán 10 Kết nối tri thức Chương 4 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

CHƯƠNG IV: VECTƠ

BÀI 11. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1. GÓC GIỮA HAI VECTƠ

HĐ1:

+ Số đo góc giữa hai vectơ BC và BD là số đo góc CBD và bằng 30o.

+ Số đo góc giữa hai vectơ DA và DB là số đo góc ADB và bằng 50o.

Kết luận:

Cho hai vectơ u  và v khác 0. Từ một điểm A tùy ý, vẽ các vectơ AB=u và AC=v. Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo góc giữa hai vectơ u  và v hay đơn giản là góc giữa hai vectơ u , v, kí hiệu là (u , v).

Chú ý:

+ Quy ước rằng góc giữa hai vectơ u  và v có thể nhận một giá trị tùy ý từ 0o đến 180o.

+ Nếu (u , v)= 90othì ta nói rằng u  và v vuông góc với nhau, kí hiệu là u v hoặc v u.

Đặc biệt, 0 được coi là vuông góc với mọi vectơ.

Câu hỏi:

Góc giữa hai vectơ bằng 0o khi hai vectơ cùng hướng.

Góc giữa hai vectơ bằng 180o khi hai vectơ ngược hướng.

Ví dụ 1 (SGK -tr66)

Luyện tập 1:

Vẽ AD=BC, khi đó ADBC là hình bình hành

AB,BC=AB,AD=BAD

Do AD//BC nên ta có:

BAD=1800-ABD=1800-600=120o

Vậy AB,BC=120o

2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 

Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không u và v là một số, kí hiệu là u.v được xác định bởi công thức sau:

u.v=u.v.cos⁡(u,v).

Câu hỏi:

+ Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không u,v là một số dương khi góc giữa hai vectơ u,v là góc lớn hơn 00 và nhỏ hơn 900.

+ Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không u,v là một số âm khi góc giữa hai vectơ u,v là góc lớn hơn 900 và nhỏ hơn 1800.

Chú ý:

+) uvu.v=0

+) u.u còn được viết là u2 và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ u. Ta có u2=u.u.cos 00 =u2.

Câu hỏi:

(u.v)2=u.v.cos ( u.v)2=u2.v2.( u.v)

Nên (u.v)2=u2.v2 thì cos ( u.v)=0, hay là u,v cùng phương.

Ví dụ 2 (SGK-tr67)

Luyện tập 2:

Theo định lí cô sin, ta có:

cos A =b2+c2-a22bc

Từ đó:

AB.AC=AB.AC.cos ( AB,AC)

=c.b.cos A =bc.b2+c2-a22bc

=b2+c2-a22.

3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

HĐ2: 

1. a) u = 0 nên u.v=0

u = 0 ⇒ {x=0 y=0

Lại có: k(x2+y2)=k(02+02)=0

Vậy u.v=k(x2+y2).

1. b) Vì k≥0 nên hai vectơ u, v cùng hướng.

⇒(u,v)=0o

Ta có:

u.v=uv.cos ( u,v)

=x2+y2.(kx)2+(ky)2.cos 0o

=k(x2+y2)=k(x2+y2).

Vậy u.v=k(x2+y2).

1. c) Vì k<0 nên hai vectơ u, v ngược hướng.

⇒(u,v)=180o

Ta có:

u.v=uv.cos ( u,v)

=x2+y2.(kx)2+(ky)2.cos 1 80o

=k(x2+y2)(-1)=k(x2+y2).

Vậy u.v=k(x2+y2).

HĐ3:

1. a) Tọa độ các điểm là A(x; y) và B(x'; y')

2. b) 

AB2=(x'-x)2+(y'-y)2

OA2=x2+y2

OB2=x'2+y'2

1. c) Ta có:

OA.OB=OA2+OB2-AB22=xx'+yy'

Kết luận:

Tích vô hướng của hai vectơ u=(x;y) và v=x';y' được tính theo công thức:

u.v= xx'+yy'

Nhận xét:

+ Hai vectơ u và v vuông góc với nhau khi và chỉ khi  xx'+yy'=0.

+ Bình phương vô hướng của u=(x;y) là  u2=x2+y2.

+ Nếu  u≠0 và v≠0 thì

cos ( u,v)=u.v|u|.|v|=xx'+yy'x2+y2.x'2+y'2

Ví dụ 3 (SGK -tr68)

Luyện tập 3:

u.v=0.3+(-5).1=-5

cos ( u,v)=0.3+(-5).10+52.3+1=-12

⇒(u,v)=120o.

HĐ4:

1. a) 

(v+w) = (x2+x3;y2+y3)

u.(v+w) = x1.(x2+x3)+y1.(y2+y3).

u.v+u.w = x1.x2+y1.y2+x1.x3+y1.y3= x1.(x2+x3)+y1.(y2+y3).

1. u.(v+w) = u.v+u.w.

2. u.v=x1.x2+y1.y2

v.u=x2.x1+y2.y1.

Suy ra: u.v = v.u

Tính chất của tích vô hướng:

Với ba vectơ u,v,w bất kì và mọi số thực k, ta có:

• u.v=v.u (tính chất giao hoán)

• u.(v+w)=u.v+u.w (tính chất phân phối đối với phép cộng)

• (ku).v=k(u.v)=u.(kv)

Chú ý: Từ các tính chất trên, ta có thể chứng minh được

u.v-w=u.v-u.w

u+v2=u2+2u.v+v2

u-v2=u2-2u.v+v2;

u+vu-v=u2-v2

Ví dụ 4 (SGK-tr69)

Luyện tập 4:

1. a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên 

AH⊥BC,BH⊥CA

Suy ra: AH.BC=0,BH.CA=0

1. b) Gọi tọa độ điểm H(x; y)

AH(x+1;y-2)

BC(0;9)

BH(x-8;y+1)

CA(-9;-6)

Ta có: AHBC,BHCA nên:

{(x+1).0+(y-2).9=0 (x-8).(-9)+(y+1).(-6)=0

{x=6 y=2

Vậy H(6; 2)

1. c) AB(9;-3);BC(0;9);CA(-9;-6)

AB=92+32=310AC=92+62=313BC=02+92=9

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC:

cosA=AB2+AC2-BC22.OA.OB≈0,61

A≈52o

Tương tự áp dụng định lí cô sin ta có:

cos B ≈0,32⇒B=71,6o

C≈56,4o

Vận dụng:

1. a) Công sinh bởi lực F1 bằng: F1.AB (1)

Công sinh bởi lực F2 bằng F2.AB (2)

Công sinh bởi lực Fbằng: 

F.AB=F1+F2.AB (3)

Từ (1), (2), (3) và theo tính chất phân phối đối với phép cộng của tích vô hướng suy ra công sinh bởi lực Fbằng tổng của các công sinh bởi lực F1 và F2.

2. b) Vì F2 có phương vuông góc với phương chuyển động nên công sinh bởi lực F2 bằng F2.AB=0. Từ đó và kết quả phần a), suy ra công sinh bởi lực F bằng:

F1.AB+F2.AB=F1.AB 

Do đó công sinh bởi lực F bằng công sinh bởi lực F1